Hydro- und Aerodynamik Die Volumenstromdichte Die Kontinuitätsgleichung Die Bernoulli-Gleichung

So fliegen die Vögel! sowas …und die Flugzeuge

Inhalt Strömung idealer Flüssigkeiten Strömung realer Flüssigkeiten Die Volumenstromstärke Die Kontinuitätsgleichung Die Gleichung von Daniel Bernoulli Strömung realer Flüssigkeiten Laminare Strömung, Newtonsche Gleichung Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz Reibungskraft auf eine Kugel: Das Gesetz von Stokes Die Grenzschicht und die Reynoldssche Zahl, Turbulenz

Ideale Flüssigkeit Inkompressibel Keine Reibung innerhalb des Mediums zwischen Medium und Wänden Auch ein Gas kann -in diesem Sinne- eine ideale Flüssigkeit sein

Ideale Strömung Strömung eines Mediums konstanter Dichte (Inkompressibel) Strömung ohne Reibungskräfte innerhalb des Mediums zwischen dem Medium und den Wänden

Die Volumenstromstärke Volumen der Flüssigkeit, das in einer Zeiteinheit ein Rohr mit Querschnittsfläche A durchströmt Zeit dt 10 5 ds A dV

Die Volumenstromstärke Einheit 1 m3/s Volumenstromstärke A 1 m Querschnittsfläche des Rohres v 1 m/s Strömungsgeschwindigkeit Zeit dt 10 ds A 5 dV

Die Kontinuitätsgleichung für ideale Strömungen Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt Die Kontinuitätsgleichung besagt: Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt Zeit dt 10 5

Die Kontinuitätsgleichung dV dV Das in einem Zeitintervall transportierte Volumen ist in beiden Röhren gleich

Die Kontinuitätsgleichung Einheit 1 m3 In gleichen Zeiten werden gleiche Volumina bewegt 1 m3/s Division durch die Zeit ergibt die Kontinuitätsgleichung Kontinuitätsgleichung: Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt

Der Bernoulli Effekt Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt Im Bereich des kleineren Querschnitts nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu, der Druck aber ab

Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck Der Bernoulli-Effekt Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck

Versuch zur Bernoulli-Gleichung Drucke in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit: Niederer Druck in den Rohren mit kleinem Querschnitt, also hoher Strömungsgeschwindigkeit Hoher Druck im Rohr mit großem Querschnitt und kleiner Strömungsgeschwindigkeit

Arbeit zur Bewegung eines Volumens dV des Mediums: Kraft mal Weg Die Wege ds1 und ds2 werden in der Zeit dt zurückgelegt

Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen Volumen links Volumen rechts 1 J Kraft mal Weg Arbeit gegen den Druck A1 A2 Die Kraft wird durch Druck mal Fläche ersetzt

Kontinuitätsgleichung beim Übergang Einheit 1 m3/s Kontinuitätsgleichung, v1, v2 unterschiedliche Fließgeschwindigkeiten 1 m3 Konstante Volumina Zeit dt 10 A1 5 A2 Das Volumen, das um sich selbst versetzt wird, ist zu beiden Seiten gleich

Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen Volumen links Volumen rechts 1 J Arbeit gegen den Druck in beiden Rohren 1J A1 A2 Zur Beachtung: Das Volumen im kleinerer Rohr bewegt sich schneller

Die „Überraschung“ der Bernoulli Gleichung Die in einer Zeiteinheit versetzten Volumina sind in beiden Röhren gleich Aber: Die dazu benötigte Arbeit ist unterschiedlich, wenn sich der Druck in beiden Röhren unterscheidet Q: Weshalb ist in den Rohren unterschiedliche Arbeit zum Versetzen zu erwarten? A: Weil die Flüssigkeit beim Übergang in das Rohr mit kleinerem Querschnitt beschleunigt wird

…und um ein Volumen dV zu beschleunigen Volumen links Volumen rechts 1 J Arbeit gegen den Druck und zur Beschleunigung 1J Energieerhaltung dV dV Bei Übergang vom großen zum kleinen Rohr wird das Medium beschleunigt

Die Bernoulli-Gleichung 1 J Die Masse wird durch m=ρ·dV ersetzt 1 Pa Bernoulli Gleichung: Bei Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck ab p1, p2 Drucke in beiden Bereichen v1, v2 1m/s Geschwindigkeiten in beiden Bereichen ρ 1 kg/m3 Dichte des strömenden Mediums

Versuche zum Bernoulli-Effekt Das hydrodynamische Paradoxon

Eine Anwendung: Druckmessung in bewegten Objekten Barometrischer Luftdruck in ruhender Luft

Anwendung: Druckmessung in Flugzeugen

Druckmessung in Flugzeugen Dynamischer Druck, Pitot-Druck Statischer Druck

Messung des dynamischen und statischen Drucks in einem Gerät: Das Prandtlsche Staurohr Versuch Statischer Druck Dynamischer Druck im Staupunkt des Körpers, Pitot-Druck

Versuch: Magnus Effekt Unterschiedliche Strömungs-geschwindigkeiten an der Oberfläche! Druckunterschied an einem in einer Strömung rotierenden Körper In welcher Richtung wirkt die Kraft?

Versuch: Wasserstrahlpumpe Die schnell austretenden, versprühenden Wasserteilchen reißen die Luft mit: Die Geschwindigkeit der umgebenden Luft steigt, der Druck fällt

Auftrieb am Flügel Durch die Form des Flügels ergibt sich ein größerer Weg und deshalb eine höhere Geschwindigkeit an seiner Oberseite Höherer Druck an der Unterseite  Auftrieb

Zusammenfassung Ideale Flüssigkeiten, ideale Strömung Bewegung ohne Reibung Inkompressibel, d.h. überall konstante Dichte Die Volumenstromstärke Produkt aus Querschnitt und Fließ-Geschwindigkeit Die Kontinuitätsgleichung: Erhaltung der Massen bei der Strömung inkompressibler Flüssigkeiten Die Volumenstromstärken bei Ein- und Austritt sind gleich „Was reinfließt, fließt auch wieder raus“ Die Gleichung von Daniel Bernoulli für ideale Strömungen: In Bereichen großer Strömungsgeschwindigkeit ist der Druck kleiner als in Bereichen kleiner Strömungsgeschwindigkeit

finis So fliegen die Vögel! …und die Flugzeuge sowas