Bindungsenergien und Massendefekt 2. Kernmodelle Bindungsenergien und Massendefekt

Massenspektrometer

Atomzahlabhängigkeit der Bindungsenergien

Deshalb kurze Reichweite der Kernkraft – ohne Abschirmung würde man eine Wechselwirkung eines Teilchens mit allen Nukleonen erwarten, also Bei einer Abschirmlänge vergleichbar mit der Grösse der Nukleonen erhält man die beobachtete Abhängigkeit

Quantisierter Phasenraum 2.1. Fermi-Gas Modell Quantisierter Phasenraum Ergibt eine konstante Zustandsdichte bis zur Fermikante

Daraus ergibt sich die mittlere Energie pro Teilchen In der gleichen Grössenordnung wie das Experiment

Entwickeln nach der Assymmetrie a Durch Coulombbarriere ergibt sich unterschiedliche Fermienergie für Protonen und Neutronen. Damit: Entwickeln nach der Assymmetrie a

2.2. Tröpfchenmodell / Bethe-Weizsäcker

Empirische Werte für das Tröpfchenmodell aus vielen Kernbindungsenergien

Experimentelle Begründung der Paarungsenergie

Abweichungen von der Bethe-Weizsäcker Formel geben weitere Hinweise auf Kernstruktur, bzw. Kernpotential

Vergleich mit atomaren Ionisationsenergien legt eine Schalenstruktur nahe – das Potential ist allerdings anders, so auch die Schalen

2.3. Schalenmodell Bindungsenergien sind besonders gross bei gewissen “magischen” Zahlen von Neutronen und Protonen (Z und N). Magische Zahlen sind experimentell: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 Erklärung dieser Zahlen durch die Schalenstruktur in Folge des Kernpotentials und der Schrödinger-Gleichung

Was ist das Kernpotential? V ist kurzreichweitig Aus Streudaten wissen wir die Dichte

Verschiedene Näherungen für das Kernpotential

Lösen der Schödingergleichung für die verschiedenen Fälle Bahndrehimpuls l hat hinsichtlich magnetischer QZ m eine 2 l + 1 fache Entartung Kann nach Pauliprinzip mit = 2 (2 l +1) Spin ½ Teilchen besetzt werden. [ ] Summe aller  bis zum betreffenden Niveau l = 0, 1, 2, 3,… s, p, d, f,… Entartung beim Oszillatorpotential. N

Explizites Beispiel: Harmonischer Oszillator Die zugehörige Schrödinger Gleichung Hat Energie-Eigenwerte:

Für die richtigen magischen Zahlen muss die Spin Bahn Kopplung mitbetrachtet werden Ergibt eine Aufspaltung von: Bei konstantem f gilt nämlich:

Beispiel: Schalenmodell von 209Bi

2.4 Kernkräfte Wechselwirkungen Feldquantenkonzept Verletzung Energieerhaltung. Wegen Heisenbergscher Unschärferelation erlaubt für Zeit In dieser Zeit kann Austauschteilchen Strecke r = c T zurücklegen. Reichweite der Kernkraft  1.3 fm mπc2  150 MeV Powell (1946) π0 135 MeV π+- 139.6 MeV Virtuelle Teilchen sind spontane Fluktuationen eines Quantenfeldes. Reale Teilchen sind Anregungen eines Quantenfeldes mit einer für Beobachtung brauchbaren Beständigkeit. Virtuelle Teilchen sind Transienten, die in unseren Gleichungen erscheinen, nicht aber in Messgeräten. Durch Energiezufuhr können spontane Fluktuationen über einen Schwellwert verstärkt werden, was bewirkt, dass (eigentlich sonst) virtuelle Teilchen zu realen Teilchen werden.[

Proton-Neutron Streuung -> Ladungsaustausch

Klein-Gordon Gleichung für das Austauschteilchen Ergibt ein exponentiell gedampftes Wechselwirkungspotential, das Yukawa-Potential Masse des Teilchens folgt dann direkt aus der Reichweite

Nukleon-Nukleon Potential m(π) ≈ 140 MeV/c2 m(ω) ≈ 784 MeV/c2 2 π Austausch Yukawa Potenzial:

-Three quarks for Muster Mark! Sure he hasn’t got much of a bark And sure any he has it’s all beside the mark. -Finnegans Wake -James Joyce

Vergleich Potential Elektron-Nukleon

Für die starke Wechselwirkung sind Proton und Neutron ununterscheidbar - siehe Vergleich der Spiegelkerne (N und Z vertauscht) Beschreibe Proton und Neutron als zwei Zustände eines Teilchens, des Nukleons, mit verschiedenen "spins" (Isospins)

Zum Beispiel für das Deuteron

Zentralkraft Spinabhängige Kraft (n-p Streuung) Nicht Zentralkraft (Quadrupolmoment) Spin-Bahn Kopplung (p-He Streuung)

Zusammenfassung Kap. 2 Die Bindungsenergie bestimmt die Masse der Kerne Im Fermi-Gas Modell kann die Grössenordnung der Energie abgeschätzt werden – Coulomb-Barriere ergibt Asymmetrie in Neutronen und Protonenbesetzung Fermiterme, Coulomb-Barriere und Oberflächenspannungs Term ergeben in guter Näherung die Bindungsenergie der Kerne – Bethe-Weizsäcker Formel Diese Beschreibung bricht zusammen bei gewissen “magischen” Zahlen - Erklärt durch Schalenstruktur des Kerns analog zum Atom Quantenzahlen werden durch die unterschiedliche Potentialform aber anders besetzt Gute Uebereinstimmung bei zusätzlicher Betrachtung einer Spin-Bahn Kopplung Symmetrie der Nukleonen mittels Beschreibung durch Isospin