Geometrische Algebra (GA) Werner Benger, 2005

1878: Clifford führt “geometrische Algebra” ein, stirbt jedoch mit 34 Verdrängung durch Gibb’s Vektorkalkül 1920er: Renaissance in der Quantenmechanik (Pauli, Dirac) Algebra auf komplexen Körpern, jedoch keine geometrische Interpretation 1966-2005: David Hestenes (Arizona State University) wiederentdeckt geometrische Bedeutung 1997: Gravitationstheorie als Eichtheorie mittels GA (Lasenby, Doran, Gull; Cambridge) 2001: Geometrische Algebra auf der SIGGRAPH (L. Dorst, S. Mann) 2004: Eurographics Tutorial David Hestenes: New Foundations for Classical Mechanics (Second Edition). ISBN 0792355148, Kluver Academic Publishers (1999) Siggraph: Leo Dorst (Amsterdam), Stephen Mann (Waterloo) http://online.cs.nps.navy.mil/DistanceEducation/online.siggraph.org/2001/Courses/53_GeometricAlgebra/Presentation05.html http://online.cs.nps.navy.mil/DistanceEducation/online.siggraph.org/2001/Courses/53_GeometricAlgebra/cdrom.pdf “Geometric Algebra and its Application to Computer Graphics” Eurographics: TU Darmstadt, Amsterdam, Kiel

Abgeschlossene Vektoralgebra? Invertierbares Produkt von Vektoren? Was bedeutet Vektordivision “a/b” ? ab=C  b=a-1C Beachte: C nicht notwendigerweise Vektor! Inneres Produkt (nicht assoziativ): ab  Skalar Nicht invertierbar z.B. ab =0 mit a≠0, b≠0 aber orthogonal Äusseres Produkt (assoziativ): ab  Bivektor Verallgemeinertes Kreuzprodukt des 3D: ab z.B. ab =0 mit a≠0, b≠0 aber parallel Multiplikation von Vektoren

Multiplikation von Vektoren Bivektoren ab Beschreibt die durch a und b aufgespannte Fläche, Vorzeichen ist Orientierung ba = -ab ab Definiert in beliebigen Dimensionen, antisymmetrisch ( nicht kommutativ), assoziativ, distributiv, benötigt keine weitere Struktur Multiplikation von Vektoren

Konstruktion von Bivektoren Kein eindeutiger Rückschluss auf erzeugende Vektoren möglich = = ab = (a+λb)b b bb =0 Basiselement a+λb |a| |b| sin  Multiplikation von Vektoren

Multiplikation von Vektoren Bivektoren im R3 3 Basiselemente exey, eyez, ezex Erweiterung: exeyez ist Volumen Multiplikation von Vektoren

Anforderung an das Geometrische Produkt Für Elemente A,B,C eines Vektorraumes mit quadratischer Form Q(v) auf Vektoren v soll gelten: Assoziativ: (AB)C = A(BC) Links-distributiv: A(B+C) = AB+AC Rechts-distributiv: (B+C)A= BA+CA Skalarprodukt: a2 = Q(a) 1  |a|2 d.h. Metric g(u,v) = Q(u+v) - Q(u) – Q(v) Das Geometrische Produkt

Das Geometrische Produkt Eigenschaften des GP Satz von Pythagoras: |a+b|2 = |a|2+|b|2 (A+B)(A+B) = A2 + B2 =AA+AB+BA+BB AB = -BA für AB = 0 antisymm. wenn orthogonal Jedoch: nicht rein antisymmetrisch wegen |AB|2 =|A|2 |B|2 für AB = 0 (d.h. A,B colinear: B=A) Das Geometrische Produkt

Geometrisches Produkt William Kingdon Clifford (1845-79): Zusammenlegen von innerem und äusserem Produkt zu geometrischem Produkt AB (1878): AB := AB  AB Ergebnis kein Vektor, sondern Skalar + Bivektor! Operiert auf “Multivektoren” Untermenge der Tensoralgebra Geometrisches Produkt ist invertierbar! Das Geometrische Produkt

Multivektorkomponenten R2: A = A0 + A1 e0 + A2 e1 + A3 e0e1 R3: A = A0 + A1 e0 + A2 e1 + A3 e2 A4 e0 e1+A5 e1 e2+A6 e0 e2 A7 e0 e1 e2 2.7819… + + + + + + + Struktur von Multivektoren

Struktur von Multivektoren Linearkombination antisymm. Potenzen - 2n Komponenten 0D 1 Skalar 1D 1 Skalar, 1 Vektor 2D 1 Skalar, 2 Vektoren, 1 Bivektor 3D 1 Skalar, 3 Vektoren, 3 Bivektoren, 1 Volumen 4D 1 Skalar, 4 Vektoren, 6 Bivektoren, 4 Volumen, 1 Hypervolumen 5D … Pascalsches Dreieck, Binomialdreieck Antisymmetrischer Anteil VV u  v = ½ (uv- vu) Wegen vv =0 max. n antisymm. Produkte Vn Element aus Vk hat (n/k) Komponenten  =2n Struktur von Multivektoren

Rechnen mit Multivektoren Umkehrung Vektoren a,b: ab = ½ (ab + ba) symmetrischer Anteil ab = ½ (ab - ba) antisymmetrischer Anteil ab = -(ab)  (exeyez) Dual in 3D Rechnen mit Multivektoren

Reflexion an einem Vektor Einheitsvektor n, Vektor v  v┴+v║ Vektor v auf n projiziert: v║=(v  n) n Reflektierter Vektor w = v┴ – v║ = v – 2v║ somit w = v – 2(v  n) n mit GP w = v – 2[½(vn+nv) ] n = v – vnn – nvn  w = -nvn Vektor als “Operator” beschreibt Reflektion Rechnen mit Multivektoren

Geometrisches Quadrat Betrachte (AB)2 von Bivektorbasiselement mit |A|=1, |B|=1, AB = 0  AB=AB=-BA (AB)2 = (AB) (AB) = -(AB) (BA)=-A(BB) A= -1 Basiselement Rotation

Quaternionen Algebra mittels GA In 2D: Komplexe Zahlen i:= exey, i2 = -1 In 3D: Quaternionen i:= exey= exey, j:= eyez = eyez, k:=exez=exez i2 = -1, j2 = -1 , k2 = -1 ijk = (exey)(eyez)(exez) = -1 In 4D: Biquaternionen Mit Wahl der quadratischen Form als Q=-1 kann man auch 2D bereits mit Quaternions identifizieren 1,x,y,xy: Q=-1  x2=-1,y2=-1,xy=-1, xyxy=-1 Rotation

Multiplikation von Vektoren und Bivektoren Rechtsmultiplikation entspricht Rotation (CCW) ex i = ex (exey) = (exex ) ey= ey = ey i = ey(exey)=-ey(eyex)= -ex Ex I I = (Ex I) I = Ey I = -Ex = Ex (I I) = -Ex Rotation

Allgemeine Rotation in 2D Mehrfache Rotation ex i i = (ex i) i = ey i = -ex = -1 ex Beliebiger Vektor: (Ax ex + Ay ey) i = Ax ex i + Ay ey i = Ax ey - Ay ex Rotation um beliebigen Winkel: A cos + A i sin ≡ “A e i” rotiert Vektor A um Winkel  in Fläche i A I I = A(I+I) = 2AI Inverse Rotation: Ai = -iA :   - A ei = e-i A Rotation

Rotor i Rotor R:=ei =cos + i sin mit i Bivektor, i²=-1 R-1=e-i =cos - i sin inverser Rotor In 2D äquivalent: v R-2 = R2 v = R v R-1 Jedoch bei Dim>2 Trivektor-Anteil: Rv = v cos + sin (i  v + i  v ) R v R-1 = v┴ + ei v║ e-i = v┴ + v║ e-2i wegen iv┴ = 0  R v┴ R-1 = v┴ Produkt von Rotoren ist mehrfache Rotation R=ABCD, R-1=DCBA ist “reverse” von R Rotor anwendbar auf beliebige Multivektoren i iv┴ = 0  R v┴ R-1 i v┴ i-1 i v┴ = iv┴ +iv= iv = vi  i v┴ i-1 = vi i-1 = v R (ab) R-1 = (Ra) (bR-1) = (Ra) (R-1R) (bR-1) = (RaR-1) (RbR-1) (i + j + k) ²+² +² =1 Rotation

Symmetrien Mehrfachreflexionen an r1,r2,r3, … sind Hintereinanderausführung von Vektoren: r3r2r1 v r1r2r3 (nicht mögl. mit Quaternionen) Symmetriegruppen in Molekülen und Kristallen sind charakterisiert durch drei Einheitsvektoren a,b,c ganzzahliges Triplet {p,q,r} mit (ab)p = (bc)q = (ca)r = -1 z.B.: Methan (Tetraeder) {3,3,3}, Benzol {6,2,2}

Differentalgeometrie Ableitungsoperator: := eμ μ mit μ=/xμ, eμe=μ Anwendbar auf beliebige Multivektoren z.B.: mit v Vektorfeld: v = v +   v mit v Gradient (Skalar) und v Rotation (Bivektor)

Maxwell in 3D Faraday-Feld: F = E + B :=exeyez Stromdichte: J =  - j Maxwell-Gleichung: F/ t +  F = J F = E + B = E + E + B + B Skalar : E =  Vektor : E / t + B = -j Bivektor:  B / t + E = 0 Pseudoskalar: B = 0

Cl3(R) & Spinoren GA in 3D ist repräsentierbar durch Paulimatrizen: 4 komplexe Zahlen  8 Komponenten = 23 Basisvektoren {ex,ey,ez} mit GP haben gleiche algebraische Eigenschaften wie Pauli-Matrizen {x,y,z} Pauli-Spinor  (2 komplexe Zahlen, 4 Komponenten) wegen  *= reell:  = ½ eB ein Rotor (gerader Multivektor: 1 Skalar, 3 Bivektorkomponenten), d.h.  ist eine “Anweisung” zu strecken und zu rotieren  beschreibt Interaktion mit dem Magnetfeld x = ( ) z = ( ) 0 1 1 0 y = ( ) 0 -i +i 0 1 0 0 -1

Spacetime Algebra (STA) GA in 4D mit Minkowski-Metrik (+,-,-,-) Wähle orthogonale Basis {0, 1, 2, 3} Mit 2μν = μν+ νμ= 2ημν d.h. 02 = -k2 = 1 Struktur: 1,4,6,4,1 ( n4 , 16-dimensional ) Bivektor-Basis: k := k 0 Pseudoskalar:  0 1 2 3 = 123 1 {μ} {k, k} {μ}  1 Skalar 4 Vektor 6 Bivektoren 4 Pseudovektoren 1 Pseudoskalar

Basis-Bivektoren der STA k: 3 zeitartige Bivektoren k : 3 raumartige Bivektoren z x y x  yz

Struktur von Bivektoren Beliebiger Bivektor darstellbar als B = Bkk = ak k + bkk = a + b a,b: 3-Vektoren (relativ zu 0) a zeitartiger Anteil b raumartiger Anteil Einteilung in “komplexer” Bivektor: keine gemeinsamen Richtungen, spannt vollen Raum auf “simpler” Bivektor: eine Richtung gemeinsam, reduzierbar auf einzelnes “Blatt”

Spacetime-Rotor Raumzeit-Rotor: R = eB =ea+b  e|B| B/|B| R = ea+b= eaeb = [cosh a + sinh a ] [ cos b +  sin b ] = [cosh |a| + a/|a| sinh |a| ] [cos |b| +  b/|b| sin|b| ] Interpretation: Rotation in raumartiger Ebene b um Winkel |b| Hyperbolische Rotation in zeitartiger Ebene a=a 0 mit “Boost-Faktor” (Geschwindigkeit) tanh|a|  Lorentz-Transformation in a , 0 !

Maxwell Gleichungen in 4D Vierdimensionaler Gradient := μμ Elektromagnetisches 4-Potential A: F = A = A - A wobei A=0 in Lorentz-Eichung Faraday-Feld: F = (E + B) 0 Reiner Bivektor (vgl. 3D), jedoch komplex: E zeitartiger Anteil, B raumartig Maxwell-Gleichung: F = J vgl. Formenkalkül: d*F = J mit F eine 2-Form, F=dA

Dirac-Gleichung (α0mc² + ∑ αj pj c)  = i ħ  /  t Relativistischer Impuls in Schrödingergleichung: E=p2/2m  E2 = m2 – p2 (α0mc² + ∑ αj pj c)  = i ħ  /  t mit αj Dirac-Matrizen (44) in Dirac-Basis: 0 = α0, i = α0 αi mit [μ,ν] = 2 ημν Kovariante Schreibweise ∑ μ μ  = mc²  In GA haben Basisvektoren {0, 1, 2, 3} gleiche algebraischen Eigenschaften wie Dirac-Matrizen:   = mc²  0

GA in der Computergraphik Homogene Koordinaten (4D): Zusätzliche Koordinate e, 3-Vektor: Ai / A Erlaubt einheitliche Beschreibung von Richtungen und Punkten, Standard z.B. in OpenGL Konforme, homogene Koordinaten (5D): Zusätzliche Koordinaten e0, e Signatur (+,+,+,+,-) , e0e=-1, |e0| = |e| =0 Erlaubt Beschreibung geometrischer Objekte (Kugel, Linie, Ebene, …) als Vektoren in 5D Vereinigungen und Schnitte von Objekten sind algebraische Operationen (“meet”, “join”)

Objekte in Konformer 5D GA Punkt x + e0 + |x|2/2 e Paar von Punkten ab Linie abe Kreis abc Ebene ab c e Kugel abcd

Implementierungen Auswertung zur Laufzeit Matrix-basiert geoma (2001-2005), GABLE (symbolic GA) Matrix-basiert CLU (2003) Code-Generator Gaigen (-2005) Template Meta Programming GLuCat, BOOST (~2003) Erweiterung von Programmiersprachen

Literatur http://modelingnts.la.asu.edu/ http://www.mrao.cam.ac.uk/˜clifford David Hestenes: New Foundations for Classical Mechanics (Second Edition). ISBN 0792355148, Kluwer Academic Publishers (1999) Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics (David Hestenes) Geometric (Clifford) Algebra: a practical tool for efficient geometrical representation (Leo Dorst, University of Amsterdam) An Introduction to the Mathematics of the Space-Time Algebra (Richard E. Harke, University of Texas) EUROGRAPHICS 2004 Tutorial: Geometric Algebra and its Application to Computer Graphics (D. Hildenbrand, D. Fontijne, C. Perwass and L. Dorst) Rotating Astrophysical Systems and a Gauge Theory Approach to Gravity (A.N. Lasenby, C.J.L. Doran, Y. Dabrowski, A.D. Challinor, Cavendish Laboratory, Cambridge), astro-ph/9707165