Beschreibung der energetischen Zustände der Elektronen Wellengleichung Ableitung der Schrödinger-Gleichung Lösungsansätze für Schrödinger-Gleichung Formale Analogie zwischen der klassischen und Quantenmechanik Lösung der Schrödinger-Gleichung für Freies Elektron Elektron im Potentialtopf Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators Potentialbarriere Doppelte Potentialbarriere Wasserstoffatom

Die Wellengleichung Mathematische Beschreibung einer harmonischen Welle: Ableitung nach x: De Broglie-Gleichung: Ableitung nach Zeit: Plancksche Gleichung:

Die Schrödinger-Gleichung in einer Dimension … Potentialenergie = 0  freies Teilchen … Gesamtenergie / kinetische Energie H … Hamilton-Operator

Dreidimensionale Schrödinger-Gleichung Impuls und der entsprechende Operator 3D-Schrödinger-Gleichung 3D-Schrödinger-Gleichung für N Teilchen

Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung Mathematischer Ansatz: Separation der Variablen Linke Seite t-abhängig Rechte Seite x-abhängig

Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung Linke Seite: Rechte Seite: C … Separations-konstante

Die Schrödinger-Gleichung Zeitunabhängige (stationäre) Form  harmonische Schwingungen Sie wird verwendet, wenn das Potential von der Zeit nicht abhängt E … Gesamtenergie des Systems

Die Schrödinger-Gleichung Zeitabhängige Form  Wellengleichung

Formale Analogie zwischen der KM und QM

Lösung der Schrödinger-Gleichung Falls V von der Zeit nicht abhängt, wird die zeitunabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung gelöst. Die Schrödinger-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung - Lösung erfolgt für bestimmte (Anfangs-) und Randbedingungen Die Wellenfunktion  hat keine physikalische Bedeutung, * entspricht der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons Energiebereiche, für die eine Lösung der Schrödinger-Gleichung gefunden werden kann, definieren das Energie-Spektrum (Frequenzspektrum) des Systems.

Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion Die Schrödinger-Gleichung ist konsistent mit p = ħk und E = ħ Die Schrödinger-Gleichung ist linear  Wenn 1 und 2 zwei Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind, ist auch eine lineare Kombination von 1 und 2 eine Lösung der Schrödinger-Gleichung Ein Wellenpaket stellt ebenfalls eine Lösung der Schrödinger-Gleichung dar

Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens, Elektronendichte … in 3D Erwartungswert (Mittelwert über viele Beobachtungen)

Hermitesche Operatoren Analogie zwischen KM und QM Messgröße KM-Beschreibung QM-Operator Ort Impuls Kinetische Energie Drehimpuls

Übung Analogie:

Harmonischer Oszillator

Harmonischer Oszillator mit Dämpfung

Harmonische Schwingungen A = B :

Gedämpfte Schwingungen

Keine Randbedingung  alle Energien sind möglich Freies Elektron (V=0) E Energiespektrum ist kontinuierlich Keine Randbedingung  alle Energien sind möglich

Elektron im Potentialtopf (1D) ∞ ∞ V V = 0 freies Elektron x a Energie-Spektrum E n 25C 5 16C 4 9C 3 4C 2 1C 1 Randbedingung  Energiespektrum ist diskret

Elektron im Potentialtopf (1D) Lösung für die Wellenfunktion y |y|2 x/a

Elektron im Potentialtopf (3D) Orthogonale Lösung

Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators Harmonische Schwingung Gesamtenergie Potentielle und kinetische Energie

Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators Energie-Spektrum n 1 2 3 4 ½ ħ 3/2 ħ 5/2 ħ 7/2 ħ 9/2 ħ Energieniveaus sind voneinander equidistant entfernt, E = ħ

Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators

Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators

Potentialbarriere (Tunnel-Effekt) Keine Randbedingung I II I II

Doppelte Potentialbarriere II V(x) = V0 V(x) = 0 freies Elektron Energiespektrum aufgrund der Randbedingung, ähnlich wie bei der Potentialbarriere

Tunnel-Effekt Quanten-mechanischer Effekt Klassisch: nur yI (einfache Welle und ihre Reflexion) Anwendung Tunnel-Diode STM (Rastertunnelmikroskopie) QW („quantum wall“)

Wasserstoffatom Sphärisch-symmetrisches Problem im Coulomb-Potential Coulomb-Kraft Coulomb-Potential Stationäre Schrödinger-Gleichung

Wasserstoffatom Sphärische Koordinaten Radiusabhängig Winkelabhängig

Wasserstoffatom Winkelabhängiger Teil … Separationskonstante ℓ(ℓ+1) Separation der Variablen; Separationskonstante m² Azimutalgleichung, () Polargleichung, () Beide Gleichungen sind im Zentralfeld vom Potential V(r) unabhängig

Wasserstoffatom Azimutalgleichung, () Spezielle Lösung für () – 2-periodisch (m … ganze Zahlen) Normierung Ergebnis m … magnetische Quantenzahl

Wasserstoffatom Polargleichung, () … Legendresche Differentialgleichung Verknüpft die Separationskonstanten ℓ(ℓ+1) und m² Lösung existiert nur für ℓ(ℓ+1) = 0, 2, 6, 12, 20, … (d.h. für ℓ = 0, 1, 2, 3, 4, …) ℓ … ganze Zahlen (Nebenquantenzahl, Bahndrehimpuls-Quantenzahl) Bedingung für m: … insgesamt (2ℓ+1) Werte

Wasserstoffatom Lösung der Polargleichung, () für m = 0  Legendre-Polynome: für m  0  zugeordnete Legendre-Polynome:

Wasserstoffatom Lösung der Polargleichung, (), normiert Winkelabhängiger Teil, Yℓm(, )

Wasserstoffatom Ln,l … Laguerre Polynome Radialgleichung … Separationskonstante ℓ(ℓ+1) Effektives Potential Lösung Ln,l … Laguerre Polynome