Ausgleichungsrechnung II Zufallsprozesse Einleitung Stochastische Prozesse Empirische Schätzung stochastischer Prozesse Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Einleitung Bisher: zeitliche Komponente irrelevant Untersuchung dynamischer Systeme benötigt Auswertemodelle, die den Faktor Zeit berücksichtigen Ausgangspunkt: Messwerte in enger zeitlicher Abfolge  Zeitreihe Neue Denkweise: Aufeinanderfolgende Realisierungen sind nicht voneinander unabhängig Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Stochastische Prozesse (1) Stochastischer Prozess = Menge von Zufallsgrößen, die durch Parameter geordnet sind: {X(t)} t ist nicht zufällig, muss nicht die Zeit sein Wenn nach Zeit geordnet: zeitvariater stochastischer Prozess oder stochas-tischer Prozess im engeren Sinne Stochastische Prozesse mit räumlicher Struktur: Geostatistik Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

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Stochastische Prozesse (2) Sind theoretische Größen ähnlich Grundgesamtheit Können zu jedem Zeitpunkt unendlich viele Werte annehmen Zu jedem Zeitpunkt kann nur eine endliche Menge davon beobachtet werden  Stichprobe = Zeitreihe Registrierte Messungen bilden Funktion des Parameters t – eine Realisierung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Stochastische Prozesse (3) Mehrere Messwerte je Zeitpunkt: verschiedene Realisierungen Gesamtheit der Zeitreihen: Menge aller Realisierungen In der Praxis notwendig: Konstante Schrittweite Dt Fehlende Daten: Interpolation Sinnvolle Aussagen: große Anzahl von Realisierungen (>50) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Stochastische Prozesse (4) Modellierung meist kontinuierlich Vereinfacht graphische Darstellung Hinweis darauf, dass beobachtetes Phänomen auch zwischen den Beobachtungszeitpunkten einen Wert hat Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Parameter Erwartungswert Varianz Kovarianz Korrelation Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Erwartungswert Messwerte zum Zeitpunkt ti: Realisierungen einer Zufallsgröße Xi Somit Erwartungswert definiert Erwartungswert des Prozesses: Wert an der Stelle ti: Definiert eine mittlere Funktion – i.A. keine Gerade Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Varianz Für jeden Zeitpunkt gleich der Varianz von Xi Diagramm mit Mittelwert und Standard-abweichungen gibt das Streuungsband Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Kovarianzfunktion Stochastischer Prozess zu den Zeit-punkten t1 und t2: Zufallsgrößen X(t1) und X(t2) Lineare stochastische Abhängigkeit 2-dimensionale Autokovarianzfunktion Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Korrelationsfunktion Normierung der Autokovarianzfunktion Korrelation der Zufallsgrößen zu verschie-denen Zeitpunkten = innere Zusammenhänge Aussagen über Erhaltungstendenz – schnell abfallend: „short memory“-Effekt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Kreuzkovarianz/Kreuzkorrelation Betrachtung zweier Prozesse, neuer zwei-dimensionaler Prozess Kreuzkovarianzfunktion Kreuzkorrelationsfunktion Informationen über Wechselbeziehungen zweier Prozesse Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Stationäre Prozesse (1) Verteilungsparameter invariant gegenüber zeitlicher Verschiebung: stationärer Prozess Gültig für alle Parameter: starke Stationarität Nur Erwartungswert und Varianz: schwache Stationarität – Autokorrelationsfunktion nur von Zeitdifferenz abhängig Beispiele: Rauschen in Elektronenröhren, Fading, Abweichungen selbstregelnder Systeme unter konstanten Bedingungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Stationäre Prozesse (2) Möglicher Grund für Instationarität: Trend (unperiodische zeitliche Veränderung) oder periodische Komponente Trend und Periode sind deterministische Größen – oft aus physikalischen Modellen bestimmt – entspricht Signal Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Prüfung auf Instationarität Möglichkeiten: Zufallskriterium von Cornu mit Kriterium von Abbe frei von syst. Einflüssen bei A/B=2 Prüfung auf systematische Einflüsse In der Praxis oft nur Augenschein Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Gaußsche/Ergodische Prozesse Gaußscher Prozess: Zufallsgrößen sind normalverteilt – die ersten beiden Momente reichen zur Beschreibung aus  keine Unterscheidung zwischen starker und schwacher Stationarität nötig Ergodischer Prozess wenn eine Realisierung für die Beschreibung ausreicht: Erwartungswert und Varianz konstant Kovarianzfunktion stetig, nur von Zeitdifferenz abhängig Statistische Informationen aus zeitlicher Mittelbildung ableitbar Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Empirische Schätzung (1) Allgemeiner stochastischer Prozess (1) Voraussetzung: Hinreichend große Anzahl n unabhängiger Realisierungen Wahl des Anfangspunktes t0 = 0, davon gleich lange Intervalle Dt abgetragen In jedem Intervall: arithm. Mittel der Werte Annäherung der Werte durch geeignete Funktion  Mittelwertfunktion Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Empirische Schätzung (2) Allgemeiner stochastischer Prozess (2) Kovarianzfunktion: Schätzwert über mit den Werten der j-ten Realisierung xj Durchläuft t1, t2 alle Werte: Reihe von Schätzwerten  Annäherung durch ge-eignete Fläche gibt Autokovarianzfunktion Kreuzkovarianzfunktion analog Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Empirische Schätzung (3) Ergodischer stochastischer Prozess (1) Anfangspunkt t0 = 0, gleich lange Intervalle Dt abgetragen Erwartungswert: arithmetisches Mittel der Klassenmittel Autokovarianzfunktion: Bedingung: mind. 10 Werte pro Klasse Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Empirische Schätzung (4) Ergodischer stochastischer Prozess (2) Zugehöriger zeitlicher Abstand t = k Dt Gesamter Verlauf der Autokovarianz-funktion: geeignete Funktion durch Stützwerte gelegt Kreuzkovarianzfunktion analog Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Empirische Schätzung (5) Ergodischer stochastischer Prozess (3) Stützwerte der Korrelationsfunktion durch Normierung Autokorrelationsfunktion Kreuzkorrelationsfunktion Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil