DIE SPRACHE DER MATHEMATIK

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Mathematiker reden in Metaphern Analogie: A : B ist wie C : D Die Jugend verhält sich zum Alter wie der Frühling zum Herbst. Metapher: A = C und B = D Die Jugend ist der Frühling und das Alter ist der Herbst.

Metaphern sind Worte mit übertragener Bedeutung (d.h. mit einer Bedeutung, die aus einem anderen Bereich stammt).

Praktisch alle Worte in der Mathematik sind Metaphern. Wurzel, Baum, Fläche, Potenz, … teilen, kürzen, erweitern, abrunden, … ganz, reell, ähnlich, klein, … Tangente, Funktion, Maximum, … multiplizieren, differenzieren, integrieren, … rational, negativ, prim, … Ellipse, Hyperbel, Parabel, …

Auch Redewendungen der Mathematik sind Metaphern. Die Wurzel ziehen Eine Figur abbilden Glieder zusammenfassen Ein Rechteck aufspannen A ist in B enthalten

Die metaphorische Sprache ist für die Mathematik unentbehrlich.

Wurzel ……………. Taxrib. Zahl …………………. Korbi. negativ ………………. folitant Wurzel …………….... Taxrib Zahl …………………. Korbi negativ ……………… folitant multiplizieren ………. paruzieren Die Wurzel aus einer nicht negativen Zahl ist jene nicht negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert die ursprüngliche Zahl ergibt. Die Taxrib aus einer nicht folitanten Korbi ist jene nicht folitante Korbi, die mit sich selbst paruziert die ursprüngliche Korbi ergibt.

Alltag Mathematik Wurzel Wurzel 9 3

• Ein Teil der Bedeutung wird vom Alltag in die Mathematik übertragen. • Ein anderer Teil nicht.

Metaphern sind hilfreich, weil sie erwünschte Bedeutungen übertragen. Metaphern sind schädlich, weil sie auch unerwünschte Bedeutungen übertragen. Problem für die Lernenden: Welche Bedeutungsübertragungen sind erwünscht, welche nicht?

Beispiel 1: Metapher „Kürzen“ Hilfreich, weil Zähler und Nenner kleiner werden. Schädlich, weil die Bruchzahl nicht kleiner wird.

Beispiel 2: Metapher „Graph (Schaubild)“ Hilfreich, weil ein Funktionsgraph oft wie ein Foto betrachtet werden kann. Steigen, Fallen, höchster Punkt, … Schädlich, weil ein Funktionsgraph nicht immer als Foto aufgefasst werden kann..

KERSLAKE 1979 Zuerst geht es den Berg hinauf, dann ein bisschen hinunter und dann wieder hinauf. Er geht von einem Ort los, dann geht er um zwei Ecken und dann wieder geradeaus weiter. - Man geht zuerst NO, dann SO und dann NO.

Räuber – Beute - Modell

Beispiel 3: Metapher „Diagonale“ (PIMM 1987; Interview mit Jill) Wie viele Diagonalen hat das folgende Viereck? 4 Seiten 3 Seiten 4 Seiten 8 Seiten 0 Diagonalen 3 Diagonalen 4 Diagonalen 4 Diagonalen

Metapher „Diagonale“ ist hilfreich, weil Diagonalen häufig schräg sind. Metapher „Diagonale“ ist schädlich, weil Diagonalen nicht immer schräg sind und nicht jede schräge Linie eine Diagonale ist.

Tansania: Deutsch Suaheli Kein Wort für „Diagonale“ „ulalo“ = längstes Seilstück

Metapher „ulalo“ war hilfreich, weil Diagonalen häufig die längsten Verbindungslinien von Eckpunkten sind. Metapher „ulalo“ war schädlich, weil Diagonalen nicht immer die längsten Verbindungslinien von Eckpunkten sind.

(von Worten bzw. Redewendungen) Wie sichern sich die Mathematiker gegen falsche Bedeutungsüber- tragungen ab? Durch Definitionen (von Worten bzw. Redewendungen)

Definition (0ffizielle Vereinbarung) Intuitive Vorstellungen (Gebrauch)

Die Möglichkeiten des Definierens sind in der Schule begrenzt.

Eine heimtückische Eigenschaft von Metaphern: Selbst harmlos klingende Worte haben in der Mathematik oft eine andere Bedeutung als im Alltag.

Beispiel 1: Raumbezeichnungen größer, kleiner, höher, niedriger, ober, unter, … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Die Zahlen werden immer größer 8 ist höher als 5 2 ist niedriger als 3 4 liegt unter 7 9 liegt über 7 Hoch, niedrig, hinauf, hinunter, oben, unten, groß, klein, …

Welche Zahl ist größer? 5 3

Pick up a high number.

Der Nachbar hat das gleiche Auto wie wir. Beispiel 2: „gleich“ Der Nachbar hat das gleiche Auto wie wir. Sind die folgenden Zahlen gleich oder verschieden? 0,5

Beispiel 3: „einige“ Mathematik: einige, möglicherweise alle Alltag: einige, aber nicht alle Einige Schüler sind Nichtschwimmer. Einige gerade Zahlen sind durch 2 teilbar.

Beispiel 4: „ein“ Mathematik: mindestens ein Alltag: genau ein Ein Kind der Familie Müller war ein Versager. Ein Dreieck hat einen spitzen Winkel.

Beispiel 5: „und“ Mathematik: kommutativ ( ) Alltag: nicht kommutativ (und dann) Ich ärgerte ihn und er haute mir eine herunter. Er haute mir eine herunter und ich ärgerte ihn.

Beispiel 6: „höchstens“, „mindestens“

In der Grazer UPC-Arena haben höchstens 10 Milliarden Menschen Platz.

Beispiel 7: Wenn …, dann … Mathematik: Implikation (wenn …, dann …) Alltag: Äquivalenz (genau dann, wenn …)

Dieser Schluss gilt in der Mathematik nicht. Wenn du morgen kommst, gehen wir ins Kino. Wenn du morgen nicht kommst, gehen wir nicht ins Kino. Dieser Schluss gilt in der Mathematik nicht.

Dies gilt im Alltag nicht: Wenn du nach Australien fahren willst, dann buchst du einen Flug. Wenn du keinen Flug buchst, dann willst du nicht nach Australien fahren.

Ein wichtiges Unterrichtsziel: Erwerb höherer mathematischer Sprachkompetenz

Aufgrund meiner bereits im ersten Bsp Aufgrund meiner bereits im ersten Bsp. gezeichneten „Vergrößerung“ der Limeswerte ergibt sich, dass die Gerade durch die beiden unendlich angenäherten Punkte eine Tangente sein muss, sofern man die angenäherten Punkte als einen rechnen darf und die Funktion ansonsten keine seltsamen Schleifen als Graphen hat. Eine Tangente ist eine förmliche Fortführung eines punktuellen Intervalls, somit hat eine Tangente in P dieselbe Steigung wie der Punkt P in der Funktion hat.

Ernstnehmen von Wortbedeutungen Punkt Stelle 2 Koordinaten 1 Koordinate Nullstelle: -1 Schnittpunkt mit 1. Achse: (-1/0)

Begründen und Argumentieren Die Schüler/innen müssen selbst schriftliche Texte anfertigen. Diese Texte müssen ernst genommen und korrigiert werden.

Begründen mit Definitionen Berechne ! a) Was versteht man unter ? b) Berechne und begründe deine Antwort! Unter versteht man jene nichtnegative Zahl, die quadriert a ergibt.

Haus der Vierecke

Haus der Vierecke

Danke für Ihre Aufmerksamkeit