Ausgleich von Sterbetafeln Andrea Borenich

Ausgleich von Sterbetafeln Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten Ausgleich von Sterbetafeln

Inhalt von Sterbetafeln Sterbewahrscheinlichkeit qx eines x-jährigen zahlreiche weitere Kenngrößen

Arten von Sterbetafeln: Periodensterbetafel Selektionssterbetafel Kompakttafel Dekrementtafel Generationssterbetafel

Periodensterbetafel Werden auf Grund von gewöhnlichen Sterbehäufigkeiten berechnet Beziehen keine weiteren Parameter außer dem Alter mit ein

Selektionssterbetafel Zusätzliche Parameter (Zeitpunkt) z.B.: Eintreten der Invalidität Durchführung einer ärztlichen Kontrolle

Kompakttafel beinhaltet Abschlusszeitpunkt der Versicherung

Dekrementtafel Auch andere Austrittsmöglichkeiten als Tod zugelassen (werden wie Tod behandelt)

Generationssterbetafel Entwicklung der Sterbewahrscheinlichkeiten über einen längeren Zeitraum hinweg betrachtet

Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten (1) Lx… Gesamtheit der Personen mit Alter x Tx… Anzahl der Todesfälle im folgenden Jahr qx… Wahrscheinlichkeit des Todes einer Person (Zufallsereignis) Rel. Häufigkeit: (einfacher Schätzwert für qx)

Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten (2) Geschlossene Gemeinschaft: Eintritt nur durch Geburt möglich Austritt nur durch Tod möglich Offene Gemeinschaft: Freiwilliger Ein- und Austritt möglich

Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten (3) Geburtsdaten der Personengesamtheit unterscheiden sich voneinander die Daten aus Volkszählungen ergeben sich zu gewissen Stichtagen => Einführung von ganzzahligen t, τ

Schätzwert für qx bei geschlossener Gemeinschaft (1) L(t, τ ): Anzahl der Lebenden am 1.1. eines Kalenderjahres t, die im Kalenderjahr τ geboren sind T(−)(t, τ ): Zahl der Todesfälle im Kalenderjahr t von Personen, die im Jahr τ geboren sind und das Lebensjahr t− τ zum Zeitpunkt des Todes noch nicht vollendet haben T(+)(t, τ ) Zahl der Todesfälle im Kalenderjahr t von Personen, die im Jahr τ geboren sind und das Lebensjahr t − τ zum Zeitpunkt des Todes bereits vollendet haben

Schätzwert für qx bei geschlossener Gemeinschaft (2) am Stichtag 1.1. des Jahres t: Lx = L(t, t − x − 1) + T(+)(t − 1, t − x − 1) sowie Tx = T(+)(t − 1, t − x − 1) + T(−)(t, t − x − 1), Schätzwert für qx:

Schätzwert für qx bei offener Gemeinschaft (1) Ex… Die Zahl neu eintretender Personen des Alters x Ax… Die Anzahl abwandernder Personen des Alters x ex,v... die vom v-ten Eintretenden im Beobachtungszeitraum innerhalb der Personengemeinschaft verbrachte Zeit ax,v … die vom v-ten Austretenden außerhalb verbrachte Zeit diese Zeiten betragen im Durchschnitt ein halbes Jahr (sofern keine anderen Informationen vorliegen).

Schätzwert für qx bei offener Gemeinschaft (2) Es gilt und . Zahl der Todesfälle: Schätzwert für qx:

Ausgleich von Sterbetafeln Anzahl der Todesfälle ist als Zufallsvariable gewissen Schwankungen unterworfen

Möglichkeiten Graphische Ausgleichung Sterbegesetze Analytische Ausgleichung Mechanische Ausgleichung

Graphische Ausgleichung Konstruktion einer Kurve, die sich optisch gut an die Daten anpasst

Sterbegesetze (1) Gompertz: Aus der Annahme, die Sterbeintensität sei von der Form ergibt sich . lx… Zahl der Lebenden

Sterbegesetze (2) Makeham: Erweitert man dies auf , so erhält man . Der Vorteil besteht hier darin, dass verschiedenste versicherungsmathematische Formeln eine besonders schöne Form erhalten.

Analytische Ausgleichung (1) Ausgleichende Kurve in der Form f(x,a0,…,am), wobei ai Parameter

Analytisches Verfahren von King und Hardy (1) Formel von Makeham

Analytisches Verfahren von King und Hardy (2) Parameter a, b, c müssen geschätzt werden die rohen Sterbewahrscheinlichkeiten für x0 < x < x0+3m−1 gegeben die Wahrscheinlichkeit für einen (x0 + (k − 1)m)- jährigen, weitere m Jahre zu leben

Analytisches Verfahren von King und Hardy (3)

Analytische Ausgleichung (2) Nachteil: Bei geringer Anzahl von Parametern werden die Kurven nicht gut genug angepasst bzw. erst ab einem gewissen Alter (meist etwa > 30 Jahre) können brauchbare Näherungen geliefert werden. Bei großer Parameterzahl wächst hingegen der rechnerische Aufwand.

Mechanische Ausgleichung Durch Mittelwertbildung werden Schwankungen ausgeglichen und dadurch wird die Datenreiche geglättet

Mechanische Ausgleichung von Wittstein (1) arithmetische Mittel aus fünf aufeinander folgenden Werten gebildet und dieser Vorgang einmal iteriert

Mechanische Ausgleichung von Wittstein (2) Dies kann auch folgendermaßen interpretiert werden. Man legt für je eine Gerade durch die Punkte (n − i, an−i) und (n − i + 5, an−i+5). Auf jeder dieser Geraden wird der Wert an der Stelle n bestimmt und daraus das arithmetische Mittel gebildet. Dabei kommt man auf

Andere Methoden Wollhouse -> Parabeln Karup -> Polynome 3. Grades