Geoinformationssysteme Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz Geoinformationssysteme 23.11.2009 Prof. Dr. Stefan Hawlitschka

Themen Bayes‘sche Entscheidungstheorie Maximum Likelihood Schätzer Maximum a Posteriori Schätzer Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

Bayes‘sche Entscheidungstheorie Kontinuierliche Variablen Wir betrachten mehrere Merkmale mit Merkmalsvektor x im euklidischen Raum Rd. Wir lassen mehr als zwei Klassen zu Die Einführung einer Kostenfunktion ermöglicht, bestimmte Fehlklassifizierungen als schwerwiegender zu bewerten als andere Wir hatten die a posteriori Wahrscheinlichkeit durch die Regel von Bayes definiert: Likelihood A priori Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

Bayes‘sche Entscheidungstheorie Wie konstruieren wir die Wahrscheinlichkeitsfunktionen? Beispiel für a priori Wahrscheinlichkeit: wie oft kommt jede Klasse in einer Stichprobe vor (empirische Häufigkeit)? Beispiel für Likelihood: empirische Helligkeitsverteilung p(x|) Daten (Beobachtungen) Empirische Verteilung Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

Bayes‘sche Entscheidungstheorie Das Auszählen der Klassenhäufigkeiten liefert meist eine gute Approximation des wahren Priors. Problem: Die empirische Verteilung ist meist eine schlechte Approximation der Likelihood. Es existieren zu wenige Beobachtungen, um insbesondere hochdimensionale Verteilungen zu schätzen Ansatz: Modellannahmen geben zusätzliche Information zur Struktur des Problems, bzw. der Form der Likelihood. Beispiel: Daten D={x1,…,xk} Helligkeit des Seeteufels. Wir suchen die Verteilung der Zufallsvariablen X. Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

Bayes‘sche Entscheidungstheorie tatsächliche Dichte von X empirische Dichtefunktion „gelernte“ Dichtefunktion Parameterschätzung (ML): Mittelwert = 179 Standardabw. = 9.5 Modellannahme: X ist eine normalverteilte Zufallsvariable N(μ,σ2) Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

Die Gauß (Normal-) Verteilung Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

Die Gauß-Verteilung Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

Die Gauß-Verteilung Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

Bayes‘sche Entscheidungstheorie Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

Bayes‘sche Entscheidungstheorie Loss Funktion und Risk Seien {1,…,c} die c wahren Zustände und {1,…,a} a mögliche Aktionen (Entscheidungen) Loss: Die loss function (kurz: loss) (i|j) gibt die mit der Entscheidung i(x) verbundenen Kosten (cost) an, wenn die wahre Klassenzugehörigkeit durch wj gegeben ist Risk: Der Erwartungswert einer loss-Funktion wird risk R genannt. Da P(j|x) die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Klasse i ist, definieren wir für c Klassen i: Wenn wir die Daten x messen, können wir die Kosten minimieren, indem wir die Aktion i wählen, welche die riskfunktion minimiert. Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

Bayes‘sche Entscheidungstheorie Bei kontinuierlichen Variablen x wird die loss function zu einer Entscheidungsfunktion (x) für die Werte 1,…,a. Das Gesamtrisiko R ergibt sich zu Wenn (x) so gewählt ist, dass jedes einzelne R(i(x)) minimal für jedes x ist, ist sicherlich R minimal. Die Bayes Entscheidungsregel lautet also: Berechne die bedingten riskfunktionen und wähle die Aktion, bei welcher R(i(x)) minimal ist. Das resultierende Gesamtrisiko R* heißt Bayes risk und die beste erreichbare Lösung Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

Bayes‘sche Entscheidungstheorie Beispiel: Zwei Kategorien Klassifikation 1 ist die Entscheidung für Klasse 1 2 die Entscheidung für Klasse 2 ij sind die Kosten für die Entscheidung für Klasse i, wenn j vorliegt. Wir schreiben die bedingten Risikofunktionen aus: Üblicherweise würde man sich für 1 entscheiden, wenn R(1|x)< R(2|x). Wenn man dies in den a posteriori Wahrscheinlichkeiten ausdrückt, ergibt sich: Wenn die  richtig definiert worden sind, sind 21-11 und 12-22 positiv. In Praxis ist unsere Entscheidung den wahrscheinlicheren Zustand definiert, und wir können nach obiger Ungleichung die Wahrscheinlichkeiten mit den Differenzen der Loss-Funktionen skalieren. Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

Bayes‘sche Entscheidungstheorie Nach Anwendung der Regel von Bayes können wir die Entscheidungsregel schreiben als: Wir entscheiden uns für 1, falls und für 2 andernfalls. Alternative Schreibweise: Dies ist die Likelihood Ratio und ist eine Entscheidungsregel, welche auf den Likelihood Funktionen der gemessenen Daten x basiert. Wir entscheiden uns für \omega_1, falls die Likelihood ratio eine vorgegebene Schwelle übersteigt. Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

Bayes‘sche Entscheidungstheorie Loss functions können unterschiedlich definiert werden. Bei der Regression sind es die quadratischen Abstände von der Ausgleichsgeraden. Hier werden die Abweichungen quadratisch gewertet. Wenn bei einer Klassifikation alle Fehlklassifikationen gleich gewichtet werden sollen, wird die so genannte symmetrische oder null-eins loss Funktion angewendet: Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

Bayes‘sche Entscheidungstheorie Bei der 0-1 loss Funktion werden alle Fehler gleich gewichtet und die risk function ist gleich der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

ML Schätzer für Gauß-Verteilung Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

ML Schätzer für Gauß-Verteilung Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

MAP Schätzer für Gauß-Verteilung Wir wollen P(μ|D) ∝ P(D| μ) P(μ) maximieren. Spezifikation des Priors: P(μ) ~N(μ0,σ02) , μ0 und σ02 sind festgelegt P(μ|D) Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

MAP Schätzer für Gauß-Verteilung Somit hat p(μ|D) die Gestalt Koeffizientenvergleich ergibt: und , wobei

MAP Schätzer für Gauß-Verteilung Auflösen nach μn, σn ergibt (mit ) : 0 für n∞ 1 für n∞ 0 für n∞ p(μ|D) nimmt bei μn sein Maximum an, somit ist μn der MAP-Schätzer. Für n∞ geht dieser in den ML-Schätzer μ = über. Der Posterior versammelt seine Masse mit n∞ immer enger um μn. Mit zunehmendem n wird der Einfluss des Priors (μ0,σ0) auf den Posterior bzw. den MAP-Schätzer immer geringer.

MAP Schätzer für Gauß-Verteilung Geoinformationssysteme - Vorlesung 7 - FH Koblenz 23.11.2009

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