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Entscheidung bei Infomationsdefizit: Simultane optimale Alternativensuche und Nutzenpräzisierung o.Univ. Prof. Dkfm. Dr. Wolfgang Janko, WU
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Grundmodell der Entscheidungstheorie HandlungsalternativenUmweltzustände z1z1 z2z2 …zmzm Konsequenzen a1a1 x 11 x 12 …x 1m a2a2 x 21 x 22 …x 2m …………… anan x n1 x n2 …x nm Umweltzustände z1z1 z2z2 …zmzm Handlungsalternativen a1a1 u(x 11 )u(x 12 )…u(x 1n ) a2a2 u(x 21 )u(x 22 )…u(x 2n ).............................. amam u(x m1 )u(x m2 )…u(x mn ) Nutzenmatrix
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Informationssystem: Umweltzustände Nachrichten y1y1 y2y2 …ykyk Wahrscheinlichkeiten z1z1 w(y 1 z 1 )w(y 2 z 1 )…w(y k z 1 ) z2z2 w(y 1 z 2 )w(y 2 z 2 )…w(y k z 2 ).............................. zmzm w(y 1 z m )w(y 2 z m )…w(y k z m )
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Bayessches Theorem: Auch mit Dichten und subjektiven Wahrscheinlichkeiten zu rechnen!
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Informationsbeschaffung a.Einstufig b.mehrstufig (sequentielle Beschaffungsmodelle)
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Alternativensuchmodelle +viele andere Modelle bzw. ordinaler Nutzenbzw. Geldnutzen
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Optimale Politik bei einfacher Alternativensuche und bekannter Verteilung des (Geld-)Nutzens F(u) mit Dichte f(u): Ermittlung von v* = erwarteter Wert bei optimaler Fortsetzung der Suche Stoppen wenn u v*! Ermittlung: Wir erhalten v* als Nullstelle: T F (v)-c =0 Bsp.: Für N(0,1) gilt: T F (v)=f(v)-v(1-F(v)) Für Gvtlg in [0,1] gilt: T F (v)=(v²+1)/2-v und v* = 1-(2c s ) (c s < ½) T F (v) s
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Konjugierte Familie: a priori Verteilung = a posteriori Verteilung, Beispiele : ParameterKonjugierte Familie Bernoulli-VerteilungBeta-Verteilung Normalverteilung Gamma-Verteilung Normal Poisson-VerteilungGamma-Verteilung Negative BinomialverteilungBeta-Verteilung GleichverteilungPareto-Verteilung MultinomialverteilungDirichlet-Verteilung mehrdimensionale Normalverteilung Wishart-Verteilung ua
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Sequentielle Alternativensuche mit Datenpräzisierung Bekannt: 3-dimensionale Verteilung der ZV X = (x 1, x 2, x 3 ) Entscheider kann: X 1 mit Suchkosten c 1 beobachten, X 2 mit Testkosten c 2 beobachten. Er kann in jedem Fall akzeptieren oder mit der Suche fortfahren. Den wahren Wert X 3 kennt er erst nach Akzeptanz! Wir nehmen an X ist multivariat normalverteilt mit den Parametern und der Korrelationsmatrix M.
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Der Such- und Testprozess Verwerfen X 1 Suchen (X)X 2 Testen (Y) c1c1 c2c2 Akzeptieren X 3 (V)
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Optimale Politik Es muss zunächst untersucht werden für die 3-dimensionale ZV (X,Y,V), ob Testen überhaupt sinnvoll ist. Man ermittelt den Wert v 0 und ermittelt T(v 0, v 0 ) (Fall a) bzw. > (Fall b) v 0. Gilt Fall a) so wird überhaupt nicht getestet und der Erwartungswert der Politik ist v* ( = v 0 ). v 0 wird rückgerechnet auf x 0. In Fall a) gilt bei einem Wert x von X: Ist x < x 0 wird abgelehnt, ist x 0 x so wird angenommen. Im Fall b) kommt es zur Festlegung von Werten x*, y* und v* einer optimalen Politik beim Testen: Vorgangsweise nach Aufsuchen einer Alternative mit Wert x von X : 1.Gilt x<x* so wird diese abgelehnt und aufs Neue gesucht, gilt y* x wird gestoppt (akzeptiert) 1.Gilt x* x < y*, so wird getestet; der Test ergibt den Wert y von Y, wir untersuchen a.gilt y < v* weitersuchen b. v* y stoppen und akzeptieren.
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y * -x * = konstant
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Hohe Testkosten c 2 weniger Einfluss als hohe Suchkosten c 1 Erwarteter Ertrag v * bleibt gleich bei unverändertem Rest Testbereich verschiebt sich exakt um Mittelwertverschiebung
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Kein Einfluss bei sonst gleichen Werten V * steigt mit 3 gleichmäßig parallel
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1 kein Einfluss auf Ertrag, Testbereich wächst mit steigenden 1 2 hat keinen Einfluss auf Testbereich und v x.
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Mit abnehmendem 3 wird nicht mehr getestet! Mit zunehmendem 3 erweitert sich der Testbereich; v*steigt mit 3. Testbereich wird kleiner mit wachsendem 13 bis kein Test mehr; Wert der Politik steigt (Testkosten relativ klein)
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Größe der Testkosten zu v * bestimmend für Testbereich; c 2 groß führt zum reinen Suchen. v * wächst mit 13 ; Testintervall wird mit zunehmendem 13 kleiner.
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Ergebnis nicht verständlich! Wozu testen wenn Korr(1,3) immer größer wird ? Nicht plausibel für f > 0 f= 13 12 - 23
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Nicht plausibel, da für große 12 ein Testen nicht sinnvoll erscheint.
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MacQueen (1964) zeigt ua, daß eine Interpretation dieser Lösung als 2facher Test möglich ist und 1)aus einer großen Anzahl von Möglichkeiten genau N app. optimal unter Einhaltung eines Testbudgets von C gewählt werden können und 2) die optimale Ausschöpfung eines beschränkten Budgets B für wiederholte derartige Sequentialtests ohne Beschränkung von deren Anzahl zur Maximierung der Summe der Werte approx. möglich ist. DeGroot, M.,Optimal Statistical Decisions, McGraw-Hill Company,N.Y., 1970 Ferschl, F., Nutzen- und Entscheidungstheorie, Köln-Opladen, Westdeutscher Verlag,1975 MacQueen, J.B.,Optimal Policies for a Class of Search and Evaluation Problems, Management Science, Vol. 10, No.4,pp. 746 ff Man kann zeigen: Diese Probleme lassen sich vermeiden, wenn 12 23 - 13 0 und 12 13 - 23 0 erfüllt wird !!
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