Zeitfunktionen Kenngrößen Sinus Wechselspannung Rechteck Mischspannung Allgemeine Betrachtung: Häufige Zeitfunktionen: Kenngrößen Sinus Wechselspannung Rechteck Mischspannung Dreieck Puls (Navigation durch Mausklick bzw. Cursortasten!)

Kenngrößen  U > < t) ( u Effektivwert oder RMS-Wert U: Bedeutung: Der Effektivwert ist der Wert einer Gleichspannung, die an einem ohmschen Verbraucher im zeitlichen Mittel die selbe Wirkleistung hervorruft, wie die zeitabhängige Spannung u(t). Formel: Der Name RMS-Wert kommt von Root Mean Square > < t) ( u 2 Zeitliche Reihenfolge: 1. Quadrieren; 2. Mittelwertbildung 3. Radizieren zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Kenngrößen  <|u(t)|> Gleichricht(mittel)wert <|u(t)|>: Bedeutung: Der Gleichrichtwert eines Stromes ist mit dem Ladungstransport korreliert. In der Messtechnik ist <|i(t)|> bzw. <|u(t)|> die wirksame Größe bei sinuskalibrierten Strom- und Spannungsmessgeräten. Formel: Die Betragsstriche um u(t) berücksichtigen in mathematischer Form die (ideale) Gleichrichtung. Zeitliche Reihenfolge: 1. Gleichrichtung; 2. Mittelwertbildung zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Kenngrößen  kF Kurvenformfaktor kF: Formel: Hinweis: Je „peak-förmiger“ der Zeitverlauf, desto größer wird der Kurvernformfaktor. Bedeutung: Bei Kenntnis des Kurvernformfaktors kF,X einer nicht sinusförmigem Messgröße kann der Effektivwert auch aus einer Messung mit sinuskalibriertem Messgerät ermittelt werden. zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Kenngrößen  kC Spitzenfaktor oder crest factor kC: Formel: |u(t)|max = maximaler Betrag des Zeitverlaufs Bedeutung: Die Garantiefehlergrenzen gelten bei einem Messgerät zur echten Effektivwertmessung nur, wenn der Spitzenfaktor der Messgröße einen maximal zulässigen Wert nicht überschreitet. zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Wechselspannung Eine Wechselspannung zeichnet sich dadurch aus, dass kein linearer Mittelwert U0 (Gleichanteil) existiert. t û T -û u(t) 2T + - positive Fläche = negative Fläche t u(t) t T u(t) 2T + - zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Mischspannung  U0, uW(t) Eine Mischspannung u(t) ist eine zeitlich veränderliche Spannung, deren linearer Mittelwert U0 (Gleichanteil) existiert. t T u(t) 2T , uW(t) - positive Fläche > negative Fläche + U0 u(t) = U0 + uW(t) bzw. uW(t) = u(t) - U0 Liegt eine Periode von u(t) in numerischer Form im Rechner mit N Abtastwerten ui vor, so kann U0 und uW numerisch bestimmt werden: zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Mischspannung  U = f(U0, UW) t T u(t) 2T U0 , uW(t) Welcher Zusammenhang besteht zwischen: U2 = <u2(t)>; U02 und UW2 = <uW2(t)> u(t) = U0 + uW(t) < u2(t) > = < (U0 + uW(t))2 > U2 = < U02 + 2U0uW(t) + uW2(t) > U2 = < U02 > + < 2U0uW(t) > + < uW2(t) > U2 = U02 + 0 + UW2 Bedeutung: Sind nur zwei der drei Größen bekannt oder können gemessen werden, so kann die dritte berechnet werden. zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Sinus  U û t û2 t T -û u(t) Effektivwert U: mit u2(t) = û2sin2(w t) û T -û u(t) Effektivwert U: mit u2(t) = û2sin2(w t) und sin2a = (1-cos(2a)) wird t û2 T u2(t) U2 = <u2(t)> = <û2 (1-cos(2w t))> U2 = <u2(t)> = û2/2 U2=û2/2 zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Sinus  <|uW(t)|> û T -û u(t) Gleichricht(mittel)wert < |u(t)| >: mit |u(t)| = ûsin(w t) in 0  t  T/2 wird t û T |u(t)| T/2 p 2p <|u(t)|> <|u(t)|> = (2/p)û zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Sinus  kF, kC Kurvenformfaktor kF: Spitzenfaktor (crest factor) kC: zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Rechteck  U û t û2 t T -û u(t) U wird: U = û T u2(t) û T -û u(t) U wird: U = û t û2 T u2(t) mit u2(t) = û2, d.h. <u2(t)> = û2 zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Rechteck  <|u(t)|>, kF, kC û T -û u(t) |u(t)| |u(t)| = û = const. <|u(t)|> = û Kurvenformfaktor kF: kF = 1 Spitzenfaktor (crest factor) kC: kC = 1 zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Dreieck  U û t û2 t u(t) Effektivwert U: T û T -û u(t) Effektivwert U: t û2 T u2(t) mit u2(t) = Parabelabschnitte Mittelung über 0 t T/4 (Symmetrie) U2=û2/3 zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Dreieck  <|u(t)|>, kF, kC û T -û u(t) T/2 Fläche T/2û/2 <|u(t)|> = û/2 Kurvenformfaktor kF: Spitzenfaktor (crest factor) kC: 1. Gleichanteil U0 ist linearer Mittelwert 2. U0 wird nicht durch Integration, sondern durch Flächenformel bestimmt (Grundlinie dt mal Höhe û) 3. Periodendauer kürzt sich raus 4. Endergebnis lautet: zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Dreieck  verallgemeinert Die Formeln für U, <|u(t)|>, kF und kC gelten auch für folgende Wechselspannungen: t û T -û u(t) „schiefes“ Dreieck „schiefes“ Dreieck Sägezahn 1. Gleichanteil U0 ist linearer Mittelwert 2. U0 wird nicht durch Integration, sondern durch Flächenformel bestimmt (Grundlinie dt mal Höhe û) 3. Periodendauer kürzt sich raus 4. Endergebnis lautet: zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Puls  U0, <|u|> u(t) û t T Gleichanteil U0: Rechteckfläche 0 dT û T Tastgrad d (0 < d < 1) Gleichanteil U0: Rechteckfläche U0 = <u(t)> U0 = <u(t)> = d û U0 , <|u|> dT  û = d û 1. Gleichanteil U0 ist linearer Mittelwert 2. U0 wird nicht durch Integration, sondern durch Flächenformel bestimmt (Grundlinie dt mal Höhe û) 3. Periodendauer kürzt sich raus 4. Endergebnis lautet: Da u(t) stets > 0 gilt: <|u|> = U0 = d û zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Puls  U u(t) û t u2(t) û2 t T Effektivwert (RMS-Wert) U: U = U T 0 dT û T Tastgrad d (0 < d < 1) Effektivwert (RMS-Wert) U: U = U t u2(t) 0 dT û2 T U2 = < u2(t) > Rechteckfläche dT  û2 = d û2 zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Puls  UW u(t) û t Effektivwert (RMS-Wert) des Wechselanteils UW: U U0 0 dT û T Tastgrad d (0 < d < 1) Effektivwert (RMS-Wert) des Wechselanteils UW: U0 U wird 0.5 1 U w ( ) d 0.5û bzw. zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Puls  <|uW(t)|> u(t) Tastgrad d (0 < d < 1) t 0 dT û T Gleichricht(mittel)wert des Wechselanteils < |uW(t)| > U0 = û·d uW(t) = u(t) - U0 < |uW(t)| > t 0 dT û(1-d) T uW(t) -ûd ûd , |uW(t)| (Fläche 1 + Fläche 2) Fläche 2 Fläche 1 (dTû(1-d) + T(1-d)·ûd) < |uW(t)| > = 2 û d (1 - d) zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Puls  kF (Mischspannung) t u(t) 0 dT û T Tastgrad d (0 < d < 1) Kurvenformfaktor der Mischspannung kF: zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Puls  kF (Wechselanteil) 0 dT û(1-d) T uW(t) -ûd Kurvenformfaktor des Wechselanteils kF: zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Puls  kC (Mischspannung) t u(t) 0 dT û T Tastgrad d (0 < d < 1) Spitzenfaktor (crest-factor) der Mischspannung kC: zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden

Puls  kC Spitzenfaktor (crest-factor) des Wechselanteils kC: t 0 dT û(1-d) T uW(t) -ûd zurück zu Zeitfunktionen vorherige Folie nächste Folie Präsentation beenden