Grundbegriffe der Schulgeometrie Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 9 (M. Hartmann)

Netz einer regulären n-Eckspyramide Definition des regulären n-Ecks: Ein n-Eck mit n gleichlangen Seiten und ausschließlich gleichgroßen Innenwinkeln (alt. Umkreis) heißt regelmäßiges bzw. reguläres n-Eck Konstruktion eines regulären n-Ecks: Konstruktionsmöglichkeiten über Bestimmungsdreieck „schrittweise Abbiegen“ Kreis um Mittelpunktsstrahlen

Es gibt nicht nur Netze von Polyedern, sondern auch von anderen abwickelbaren Körpern, wie z.B. Zylinder und Kegel Kreise bzw. Kreisteile müssen mit anderen Teilflächen nur einen Berührpunkt gemeinsam haben

Zylindernetze Gerader Kreiszylinder: Beliebiger gerader Zylinder: Schräges Abschneiden eines geraden Kreiszylinders erzeugt schiefen elliptischen Zylinder Anwendung Rohrknie als Blechabwicklung

Kegelnetze Gerader Kreiskegel: Zusammenhang zwischen r und j:

Netz des schiefen Prismas Abwicklung

Netz der Kugel? Die Kugel ist nicht abwickelbar; Sie hat kein Netz! Nur näherungsweise kann z.B. die Abwicklung einer Orange durch Schälen unsystematisch oder systematisch versucht werden

Bedeutung der Nichtabwickelbarkeit Die Kugel kann nicht aus einem Netz aufgebaut werden Die Oberflächenberechnung kann nicht direkt über die Berechnung ebener Flächen erfolgen Landkartenproblem

Möglichkeiten zur Oberflächenberechnung bzw Möglichkeiten zur Oberflächenberechnung bzw. Ableitung der Oberflächenformel der Kugel Weg 1: Grobabschätzung der Halbkugelfläche durch Großkreis und 3fachen Großkreis (Vermutung etwa 2facher Großkreis) Oberfläche von Näherungspolyeder bestimmen (bestätigt Vermutung) Weg 2: Es lässt sich zeigen, dass die Oberfläche der Kugel gleich der Mantelfläche des entsprechenden Umzylinders ist Handversuch mit Schnur Weg 3: Beziehung zwischen Oberfläche und Volumen Analog zur Tortenstückmethode herstellen (s. Analogisieren)

Landkartenproblem Aufgrund der Nichtabwickelbarkeit der Kugel ist es unmöglich korrekte Landkarten herzustellen Problem besonders bei großem Maßstab also insbesondere bei Weltkarten virulent! Karten werden häufig durch sogenannte Projektionen erzeugt, die je nach Art verschiedene Fehler aufweisen Man unterscheidet z.B. in Partiell längentreue Projektionen Flächentreue Projektionen Winkeltreue Projektionen Vermittelnde Projektionen

Projektionen direkt auf eine Ebene parallel gnomonisch stereographisch

Projektionen auf eine abwickelbare Oberfläche Zylinderprojektion Kegelprojektion

Die Mercatorprojektion Die Mercatorprojektion ist eigentlich keine reine Projektion Die Formen bleiben lokal erhalten Die Formtreue der Mercatorprojektion verursacht aber, dass die Länder in Äquatornähe erheblich zu klein dargestellt werden Kritik: Eurozentrisches Weltbild

Petersprojektion als „politisch korrekter Weltkartenentwurf“ Flächentreuer Entwurf, der aber z.B. Zur Navigation wegen der fehlenden Winkeltreue ungeeignet ist und auch Formen verzerrt darstellt. Hat sich nicht wirklich durchgesetzt, wird aber z.B. im Petersatlanten und bei ARTE verwendet.

Projektionen – Erzeugung von Bildern dreidimensionaler Körper Zentralprojektion Prinzip: Den Schattenwurf dreidimensionaler Körper mittels einer punktförmigen Lichtquelle (Projektionszentrum) auf eine Ebene nennt man Zentralprojektion Positioniert umgekehrt ein Betrachter sein Auge an die Position der Lichtquelle (Augpunkt), so erzeugt das zentralperspektivische Bild denselben Sinneseindruck wie der Körper selbst Von allen anderen Punkten aus betrachtet wirkt das Bild verzerrt Eigenschaften: Figuren, die parallel zur Bildeben liegen, werden auf ähnliche abgebildet Geraden (die nicht durch das Projektionszentrum verlaufen) werden auf Geraden abgebildet Kreise werden auf Kegelschnitte (Kreise, Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln) oder Strecken abgebildet Bilder paralleler Geraden, die parallel zur Bildebene liegen, sind parallele Geraden nicht parallel zur Bildebene liegen, schneiden sich in einem Punkt, dem Fluchtpunkt Die Fluchtpunkte von Parallelenscharen, die parallel zu einer Ebene verlaufen, liegen auf einer Geraden (Sonderfall: Horizontlinie)

Parallelprojektion Prinzip: Eigenschaften: Den Schattenwurf dreidimensionaler Körper mittels paralleler Strahlen auf eine Ebene nennt man Parallelprojektion Eine Zentralprojektion nähert sich bei zunehmender Entfernung des Projektionszentrums einer Parallelprojektion an (z.B. Sonne) Blickt ein Betrachter aus größerer Distanz in Richtung dieser Strahlen auf ein parallelperspektivisches Bild, so erzeugt auch dieses Bild einen ähnlichen Sinneseindruck wie der Körper selbst Eigenschaften: Figuren, die parallel zur Bildebene liegen, werden auf kongruente abgebildet Geraden (die nicht durch das Projektionszentrum verlaufen) werden auf Geraden abgebildet Strecken, die senkrecht zur Bildebene verlaufen, werden um einen festen Wert (Abbildungsfaktor) verändert abgebildet Kreise werden auf Kreise, Ellipsen oder Strecken abgebildet Bilder paralleler Geraden sind stets Parallele

Projektionen Zentralprojektion Parallelprojektion Normalprojektion Schrägbild Zwei- bzw. Dreitafelbild Kavalierprojektion Militärprojektion

Konstruktion zentralperspektivischer Bilder