§ 29 Determinanten: Eigenschaften und Berechnung (29.1) Definition: Eine Determinantenfunktion auf Knxn ist eine Abbildung (im Falle char(K) ungleich Zwei) die bezüglich der Spalten der (n.n)-Matrizen n-linear und alternierend ist. Also gilt nach 28.5 für jede Determinantenfunktion (29.2) Definition: Die Determinantenfunktion Δ mit Δ(E) = 1 heißt die Determinante und wird mit det bezeichnet.
Kapitel V, § 29 Berechnung mit dieser Definition? Es gilt: Und diese Formel nehmen wir als Definition im Falle char(K) = 2 . (29.3) Satz: Für (n,n)-Matrizen A und B gilt stets 1o det(A) = det(AT) . 2o det(AB) = det(A)det(B) . 3o 4o Und speziell . Mehr zur Berechnung von Determinanten: (29.4) Definition: Eine obere Dreiecksmatrix ist eine (n,n)-Matrix A mit . Entsprechend: Untere Dreiecksmatrix. (29.5) Satz: Für eine obere Dreiecksmatrix A ist
Kapitel V, § 29 (29.6) Verfahren: Eine vorgegebene (n,n)-Matrix A bringe man durch Spaltenvertauschungen und durch Addition von geeigneten Vielfachheiten von Spalten auf die Form einer oberen Dreiecksmatrix B . Dann gilt: det(A) = (–1)–kdet(B) . Analog für Zeilenoperationen. Beispiel! (29.7) Satz: Für eine (n,n)-Matrix A der Form mit einer (p,p)-Matrix B und einer (q,q)-Matrix D (n = p + q) . Dann gilt det(A) = det(B)det(D) . Entsprechend ergibt sich ein zu 29.6 analoges Verfahren.
Kapitel V, § 29 Zur Darstellung einer weiteren Berechnungsformel brauchen wir zu einer (n,n)-Matrix A und zu (j,k) aus n2 die (n-1,n-1)-Matrix , die aus A durch Streichen der μ–ten Zeile und der ν–ten Spalte entsteht. (29.8) Entwicklungssatz von Laplace: Für eine (n,n)-Matrix A und Analog ist für : Zum Beispiel die Entwicklung der Determinante einer (3,3) nach Zeile 1:
Kapitel V, § 29 Die komplementäre Matrix ist die Matrix Es gilt: ist die Determinante der Matrix (29.9) Hilfssatz: Mit den Koeffizienten Der komplementären Matrix gilt daher: (29.10) Satz: Für invertierbare A : (29.11) Cramersche Regel: Für invertierbare A ist die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b gegeben durch: