Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme

reale, rauhe Oberfläche V.1. Eigenschaften realer Festkörper V.1.1. Reibung reale, rauhe Oberfläche Normalkraft a) Haftreibung F  FH  Körper haftet F  FH  Körper gleitet Empirisch: H  Haftreibungskoeffizient Exp. Test:

m ! αH Messung von μH : αH  Winkel beim Losrutschen ME 3.47  Haftreibung auf schiefer Ebene

Beispiel: Haftreibung eines Fixierungsseils Kraft durch Last am Stab Belasteter Stab, Poller, Abseilkarabiner, ... n  Windungen Seil Tafelrechnung  Bremskraft ( Seilspannung ) DV Abseilen vom Balkon Nachbarseilstück: F(φ  dφ)  F(φ)  dF Infinitesimales Seilstück F(φ) φ dφ F(φ) Stabquerschnitt Spannung φ  dφ

reale, rauhe Oberfläche Normalkraft b) Gleitreibung Empirisch: G  Gleitreibungskoeffizient Hinreichend kleine Geschwindigkeiten: Gv  const. Große Geschwindigkeiten: Gv wächst mit v ME 3.48  Gleitreibung bei Drehbewegung eines Stabes

m S Stock a b F1 F2  M2  ( a  b )·F2 F  mg  M  a·F Experiment: Stock auf zwei Fingern a b m S Stock Finger 1 Finger 2 F1 F2  M2  ( a  b )·F2 F  mg  M  a·F ME 3.50  Stock auf zwei Fingern Gleichgewicht: bzgl. Drehung um Finger 1 a  b  ① rutscht b  a  ② rutscht Treffpunkt im Schwerpunkt

Deformation (übertrieben)  bremsendes Drehmoment c) Rollreibung Empirisch: R  Rollreibungskoeffizient i) Haftung: αR  Winkel beim Losrollen αR m r Beobachtung: R ≪ H

ii) Rollvorgang: Experiment: Vergleich zwischen Gleiten und Rollen: m r Gleiten Rollen Große technische Bedeutung: Kugellager, Schmiermittel, Autoreifen, Bohren, Drehen, Fräsen, 

unabhängig von Geometrie (A und L) V.1.2. Deformationen von Festkörpern Wesentliche Einschränkung: betrachte nur isotrope, homogene Körper Allgemeine Theorie: Landau, Liftschitz („Elastizitätstheorie”) a) Elastizitätsmodul, Hookesches Gesetz A Feste Wand L A  Querschnitt  F  Def.: Zugspannung Relative Dehnung  Kraft pro „Elementarfaser”  Dehnung pro „Elementarfeder” Hookesches Gesetz: E  Elastizitätsmodul , Materialeigenschaft, E  1 N m2 unabhängig von Geometrie (A und L)

σ ε Hookesches Gesetz: gültig im elastischen Bereich Taylor- Entwicklung  Proportionalbereich Nicht-elastischer Bereich (plastische Verformung) ε σ Nichtlinearer Bereich (fast elastisch) Reißen ME 4.01  Dehnung eines Kupferdrahtes Proportionalitätsbereich

Beispiel: Kerbspannung ΔL / L groß  Kerbspannung ME 4.02  Kerbwirkung (Zerreißen eines Bleistabes)

elastische Nachwirkung Elastische Hysterese und elastische Nachwirkung: σ Plastische Verformungsarbeit ( Wärme) pro Volumen Tafelrechnung  elastische Nachwirkung ε ME 4.03  Elastische Nachwirkung am Kunststoffschlauch

b) Querkontraktion L  dL Def.: Poissonzahl D D  dD L Volumenzunahme: Zugspannung  ME 4.04  Schlauch mit Schelle

Def.: Kompressibilität Kompressionsmodul c) Kompressionsmodul dF  p dA dA Normalkraft Fläche Def.: Druck p  Def.: Kompressibilität Kompressionsmodul

Zusammenhang zwischen E,  und K: Beweis: dF A dF q.e.d.

α d) Scherung und Torsionsmodul Tangentialkräfte  Scherung Fläche A α Def.: Schub- / Scherspannung Hookesches Gesetz: (für hinreichend kleine ) G  Schub- / Scher- / Torsionsmodul , G  1 N m2 rad1 ME 4.05  Scherungsmodell Beweis:  Bergmann Schaefer

r dr d φ α L Torsionsschwingung  Messung von G (vgl. Tafelrechnung) r dr Rücktreibendes Drehmoment Richtmoment mit d φ dünnes, langes Drahtseil α L ME 4.06  Torsionsmodell Feste Einspannung

z Draht φ Realisierung als Drehpendel: Def.: L Trägheitsmoment I φ z L Def.: Bewegungsgleichung der Drehbewegung: ME 4.07  Torsion mit Drehpendel Tafelrechnung  Schwingungperiode T

z s e) Biegung  Messung von E Beispiel: Einseitig eigespannter Balken Querschnitt A ( unabhängig von s ) x y homogen yN Neutrale Faser: f(s) z gedehnt b  Biegepfeil gestaucht ME 4.08  Biegung eines Acrylglasstabes (Spannungsoptik) s L feste Einspannung Näherung kleiner Biegung:

elastische Gegenkraft zur Tafelrechnung: Δs  Δℓ elastische Gegenkraft y – yN gedehnte Faser dx·dy Δs s s  Δs neutrale Faser ρ(s)

Flächenträgheitsmoment Biegekurve: Randbedingungen  Querschnitt A ( unabhängig von s ) x y homogen yN Neutrale Faser: f(s) z gedehnt b  Biegepfeil ME 4.09  Biegung von Stahlbändern gestaucht Flächenträgheitsmoment s L feste Einspannung

V.2. Statische Eigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen Statik  Gleichgewichtszustände, zeitunabhängig ideale Flüssigkeit  ohne Arbeit verformbar bei Volumen  const. reale Flüssigkeit   Oberflächenkräfte und innere Reibung Gase  Form- und Volumenänderung bei kleinem Energieaufwand V.2.1. Grenzflächen idealer Flüssigkeiten Kompensation durch „Gegenseite“ Verschiebung Statik  dV Oberfläche, Wand oder gedachte Grenzfläche im Inneren Ideale Flüssigkeit

Betrachtung im körperfesten System Beispiel: Rotationsparaboloid z α m Betrachtung im körperfesten System r mω2r α z0 mg ME 4.11  Rotationsparaboloid ω

V.2.2. Statischer Druck F1 A F2  F1 A Kompressions-Kraft Kompression  Dichte wächst  elastische Rückstellkräfte (Druck) F1 Strömung mit Energiefreisetzung A F2  F1 A A A Der statische Druck ist unabhängig von der Orientierung von A

Kompressions-Kraft Die Druckkraftdichte:  Druckkraft:  Kraftdichte: p  potentielle Energiedichte der Druckkraftdichte dx p(x) p(x  dx) dA

V.2.3. Die Grundgleichung der Hydro-/Aerostatik Druckkraftdichte: Externe Volumenkraftdichte: Statik  Kräftegleichgewicht  ME 4.14  Druckverteilung in Kugel Beispiel 1: Kräftefreies Medium,

Beispiel 2: Eindimensionale Kraftdichte Druck und Dichte hängen nur von der „Höhe“ z ab! Paradebeispiel: Schwerkraftdichte

 Identische Bodendrücke Folgerung: Hydrostatisches Paradoxon Gleiche Füllhöhe  Gleiche Randbedingung für p(z) ρ(z) ME 4.19  Bodendruckapparat (Hydrostatisches Paradoxon) ME 4.21  Kommunizierende Röhren  Identische Bodendrücke Anwendung: Kommunizierende Röhren  Demo-Exp.

V.2.4. Kompressibilität Druckkraft widersetzt sich Kompression  Materialparameter: Kompressibilität (Beachte: )  hängt i. a. von Umweltparametern ab: p, T, 

A) Flüssigkeiten Flüssigkeiten: oft annähernd inkompressibel,   0 z. B. Wasser Technische Anwendung: Hydraulische Antriebe Flüssigkeiten sind a) frei verformbar und b) inkompressibel  ideal für Kraftübertragung über komplizierte und variable Wege

Anwendung: Hydraulische Presse Vernachlässige Schwerkraft  p  const. Externe Kraft ME 4.16  Hydraulische Presse Interne Kraft aber

Anwendung: Schweredruck in inkompressibler Flüssigkeit  ρ  z p  const. bei konstanter Tauchtiefe  Tauchtiefe ME 4.18  Druckdose

F1 = F2 h2  ρ2 h1  ρ1 Anwendung: Dichtewaage F1 F2 A ME 4.20  Dichtewaage F1 F2 A

x B) Gase Gase sind komprimierbar    p (Empirisches) Gesetz von Boyle-Mariotte p V  const. bei konstanter Temperatur T x Druck p Volumen V  x Experiment: ME 4.29  Gerät zum Gesetz von Boyle-Mariotte

Folgerungen: Kompressibilität Dichte bei T  const. ME 4.35  Behnsches Rohr

z T Beispiel: Druck in isothermer Atmosphäre  Barometrische Höhenformel ME 4.35  Behnsches Rohr

ρ Messung des Luftdrucks Luftdruck p Messung mit Quecksilbersäule: Vakuum Messung mit Quecksilbersäule: Def.: 1 Torr  1 mm Hg-Säule Umrechnung: 1 Torr  133,3 Pa Def.: Der Normaldruck von wird als 1 physikalische Atmosphäre bezeichnet ME 4.33  Magdeburger Halbkugeln

V.2.5. Auftrieb mK ρK ρ Archimedisches Prinzip: dA dz dV dm p(zdz) Auftriebskraft ρ ρK mK Schwerkraft oder Trägheitskraft, wenn System beschleunigt bewegt V.2.5. Auftrieb Archimedisches Prinzip: Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der/des verdrängten Flüssigkeit/Gases Flüssigkeit oder Gas dA Beweis: ( hier für kleinen Quader ) ( allgemein  Gaußscher Integralsatz ) dz dV dm p(zdz) p(z)

Folgerung: K  Fl  Körper sinkt zu Boden K  Fl  Körper schwimmt (partielles Eintauchen) K  Fl  Körper schwebt Interessante Frage: In welcher Lage schwimmt ein Körper stabil? nachzulesen z. B. im Bergmann-Schaefer große technische Relevanz (Schiffbau)

T = 0 ºC Eisberg 10 % Beispiel: Eisberg ME 4.24 Archimedisches Prinzip ME 4.25  Cartesianischer Taucher ME 4.26  Tauchspindel ME 4.27  Auftriebswaage ME 4.31  Bestimmung des Luftgewichtes T = 0 ºC

V.2.6. Grenzflächen einer (realen) Flüssigkeit a) Oberflächenspannung Def.: Sei W die Arbeit, die für die Vergrößerung der Oberfläche um A aufgebracht werden muss. Dann heißt spezifische Oberflächenenergie der Flüssigkeit.

L s Flüssigkeitshaut Messung der spezifischen Oberflächenenergie: ME 4.37  Oberflächenspannung ME 4.40  Schwimmende Rasierklinge ME 4.41  Zerreißfestigkeit des Wassers Def.:   Oberflächenspannung  tangentiale Zugkraft pro Länge der Begrenzungslinie der Oberfläche

Wasserhaut h Beispiel: Messung der Oberflächenspannung r (Gewicht der Haut vernachlässigt) ME 4.37  Oberflächenspannung

Hauptkrümmungslinien b) Kapillarkräfte Oberfläche der Flüssigkeit  Krümmungsradien   nach außen   Tangential-fläche Hauptkrümmungslinien Krümmungsradien R1, R2 Lokale Koordinaten Orientierung von , 

Fläche in festen Koordinaten: z(x,y)   nach außen   Tangential-fläche Lokale Koordinaten Abkürzungen: x y z Feste Koordinaten

Krümmungstypen: außen außen konvex konkav Sattel bzw.

Exemplarisch: Konvexe Oberfläche A d 21 22 A d Für A  0 (d. h. 1  0 und 2  0): Gleichgewicht  Infinitesimale Verschiebung um d  A leistet keine Arbeit äußere Zugkraft innere Druckkraft Innendruck durch Oberflächenspannung:

Beispiel 1: Seifenblasen p p  p Vernachlässige Schwerkraft-Effekte für (zähe) Seifenhaut  Kugelform R1  R2  R p  p R Seifenblase Seifenhaut hat 2 Oberflächen  ME 4.39  Kleine Seifenblase bläst größere Seifenblase auf Experiment: Kleine Blase bläst große Blase auf

Beispiel 2: Seifenhäute in Drahtlamellen Statische offene Haut in einer Lamelle Drücke auf die beiden Oberflächen kompensieren sich  Lamellenhäute sind Sattelflächen

Lamellenhäute sind Minimalflächen: Bei vorgegebenen Randlinien nimmt die Flüssigkeitshaut eine zweidimensionale Form mit minimaler Energie an. Bei vernachlässigtem Gewicht ist dies eine Fläche mit (lokal) minimalem Flächeninhalt, eine Minimalfläche. Unberandete Flüssigkeiten bilden also Kugeltropfen. ME 4.38  Minimalflächen http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/sammlung/mnf1.htm http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/sammlung/mnf2.htm

c) Grenzflächen zwischen verschiedenen Medien Medium i Medium k Kohäsionskräfte Adhäsionskräfte Def.: Grenzflächenspannung ME 4.43  Adhäsionsplatten ik  Energieaufwand pro Grenzflächenvergrößerung

1 3 2 σ13-Achse σ23-Achse σ12-Achse Dampf Wand φ Flüssigkeit Beispiel: Wand, Flüssigkeit, Dampf 23  23  0 (sonst Verdampfung) 12  0  Adhäsion12  Kohäsion2 12  0  Adhäsion12  Kohäsion2 analog für 13 σ13-Achse 1 Wand φ 3 Dampf σ23-Achse 2 Flüssigkeit σ12-Achse

1 3 2 σ13-Achse σ23-Achse σ12-Achse Regeln: ( sei Oberflächenspannung der Flüssigkeit) σ13-Achse   23 für jedes Gas (nicht nur den Dampf) ij  0 zwischen 2 Flüssigkeiten ij  0 zwischen Gas und Festkörper 1 Wand φ 3 Dampf σ23-Achse 2 Flüssigkeit σ12-Achse

1 3 2 σ13-Achse σ23-Achse σ12-Achse Dampf Wand φ Flüssigkeit Grenzwinkel: 1 Wand 2 Flüssigkeit 3 Dampf σ13-Achse σ12-Achse σ23-Achse φ

Def.: 13  12  Adhäsionsspannung   cos  13  12  0    90º  13  12  0    90º  ME 4.45  Randwinkel 13  12    vollständige Benetzung

Oberfläche einer inkompressiblen Flüssigkeit d) Theorie der Oberflächenform einer Flüssigkeit dA du Oberfläche einer inkompressiblen Flüssigkeit Gleichgewicht  Infinitesimale Veränderung der Oberflächenform leistet keine Arbeit Druckarbeit: Potentielle Energie (Schwerefeld):

für alle Änderungen der Oberfläche (du) mit konstantem Volumen, d. h für alle Änderungen der Oberfläche (du) mit konstantem Volumen, d. h. mit Folge: Für alle Oberflächen (du): Dabei ist  freier Parameter, der es (später) gestattet, die Bedingung (*) zu erfüllen.

z Beispiel: Unendliche, ebene Wand h z(x) x  Randbedingung:

z h z(x) Bei x  0: x  mit Form der Randlinie durch eine weitere Integration 

benetzende Flüssigkeit e) Kapillaren Kapillare  enges Rohr ( Flüssigkeitsoberfläche hat nur Randbereich) 2r dF = σ · dl φ h Kapillare φ benetzende Flüssigkeit ME 4.47  Kapillare Steighöhe Gleichgewicht: Kraft nach oben: Adhäsionsspannung Kraft nach unten:

nicht-benetzende Flüssigkeit Kapillare Depression bei nicht-benetzenden Flüssigkeiten: 2r Kapillare h ME 4.48  Kapillare Depression nicht-benetzende Flüssigkeit

Kapillarwirkung zwischen Platten (breit, parallel, kleiner Abstand)

x Platten 2α Folgerung: Flüssigkeit im Keil Hyperbel ME 4.49  Flüssigkeit im keilförmigen Gefäß x Hyperbel

V.3. Strömungslehre V.3.1. Grundbegriffe a) Stromlinien Schnappschuss zur Zeit t Massenelemente dm Medium: Flüssigkeit oder Gas Stromlinien Die Stromlinien sind die Tangentenlinien des Strömungsfeldes . Massenelemente bleiben auf ihren Stromlinien.

Stationäre Strömung: dt Stromlinien ME 4.56 Stromliniengerät In einer stationären Strömung bewegen sich Massenelemente entlang der Stromlinien. Benachbarte Stromlinien gleiten aneinander ab (laminare bzw. schlichte Strömung).

Nicht-stationäre Strömung: Bahnkurve eines festen Massenelements dm: Stromlinie(t  dt) dm Stromlinie(t) In einer nicht-stationären Strömung bewegen und verformen sich die Stromlinien. Massenelemente bewegen sich nicht entlang des Weges der momentanen Stromlinie.

Flügelprofil in Wasserströmung: laminar turbulenter Abriss Simulation einer Strömung um ein komplexes Hindernis Wirbel entstehen an Oberflächen (besonders Kanten), also in Bereichen großer Reibung und bewegen sich dann fast reibungsfrei durch das Medium

b) Die (substantielle) Beschleunigung Substantielle Beschleunigung  Beschleunigung eines mitverfolgten festen Massenelements im Strömungsfeld. Bahnkurve von dm: örtliche Beschleunigung bei der momentanen Position des Massenelements Konvektionsbeschleunigung durch Mitführung des Massenelements durch die sich ändernden Stromlinien

x x  dx V.3.2. Massenerhaltung und Kontinuitätsgleichung dV dA Annahme: Masse wird durch Strömung weder erzeugt noch vernichtet Massenbilanz während dt (nur x-Richtung): x x  dx dV dA

Gesamtmassenbilanz für dV während dt: Folge:  Kontinuitätsgleichung:

Kontinuitätsgleichung: Def: Stromdichte  Massenfluss durch Fläche Masse, die pro Zeit und pro Fläche durch diese Fläche hindurchströmt Kontinuitätsgleichung: Folgerung: Wenn die Masse in dV abnimmt, ... fließt Masse aus dV hinaus

Reibungsfreiheit  über Rohrquerschnitt Wasserrohre mit veränderlichem Querschnitt: Strömung A2 A1 ideale Flüssigkeit Reibungsfreiheit  über Rohrquerschnitt Inkompressible Flüssigkeit: ρ = const. Äquivalent: Während dt gilt dVein  dVaus Anders ausgedrückt: Die Massenstromstärke IM ist konstant.

Keine Angst! V.3.3. Die reibungsfreie Strömung Eulersche Gleichung A) Bewegungsgleichung eines festen Massenelements dm: substantielle Beschleunigung Eulersche Gleichung Änderung der Impulsdichte Druck-kraftdichte Schwerkraft-dichte Keine Angst!

B) Fazit: Die Grundgleichungen reibungsfreier Strömungen 5 Unbekannte: Eulersche Gleichung: (3 Komponenten) Kontinuitätsgleichung: (1 Komponente) Zustandsgleichung: (1 Komponente) z. B. für inkompressible Flüssigkeiten für isotherme ideale Gase

C) Die stationäre Strömung inkompressibler Medien (   const.; bei Gasen annähernd okay für ) Kontinuitätsgleichung: Eulersche Gleichung: Interessanter Term: Geschwindig-keitsänderung Wirbelbildung und Dynamik

Bernoulli-Gleichung Gesamtenergiedichte Potentielle Energiedichte im Schwerefeld Innere potentielle Energiedichte Kinetische Energiedichte In Worten: Gradient der Energiedichte  Stromlinien Bernoulli-Gleichung entlang einer Stromlinie

entlang einer Stromlinie Bernoulli-Gleichung entlang einer Stromlinie Beispiel: Stromröhre  Gesamtheit der durch eine Fläche A hindurchtretenden Stromlinien Stromlinie (Stromfaden) A Ist  über eine Fläche A konstant, so auch in der gesamten Stromröhre zur Fläche A.

Beispiel: dünne Rohre z ρ Bernoulli-Gleichung pgz ist annähernd konstant über Querschnitt v ist konstant über Querschnitt Bernoulli-Gleichung im gesamten Rohr

Beispiel: Pitot-Rohr p p0 v ρ h p  ρ g h Statischer Druck Gesamtdruck

h h Δh h Anwendung: Druckverteilung in Rohren ρ ME 4.58  Druckverteilung im durchflossenen Rohr konstanten bzw. variablen Querschnitts Reibung  zusätzliches kontinuierliches Druckgefälle

Anwendung: Zerstäuber Unterdruck Luft ME 4.61  Zerstäuberprinzip

Anwendung: Wasserstrahlpumpe Wasser, sehr langsam bewegt p0 Luft Rohr Vakuumgefäß Ansaugstutzen Wasser, sehr schnell bewegt Außenluftdruck

Anwendung: Aero-/Hydrodynamisches Paradoxon Luft, v1 d  0  v2    Unterdruck überwiegt Schwerkraft Chladnische Pfeife ME 4.62  Aerodynamisches Paradoxon d v2

Anwendung: Aerodynamischer Auftrieb Luftströmung (Fahrtwind) v1  v2 Zirkulationsströmung Flügel v2 Abrisskante erzeugt Wirbel (s.u.)  Zirkulationsströmung

Zirkulationsströmung durch Drehung Anwendung: Magnus-Effekt Zirkulationsströmung durch Drehung Laminare Strömung Auftrieb v2 v1  v2 ME 4.66  Magnus-Effekt

Luftströmung (Fahrtwind) Anwendung: Prandtlsches Staurohr Luftströmung (Fahrtwind) ρ p p0 ME 4.63  Prandl´sches Staurohr Staudruck Flüssigkeit

Winkelgeschwindigkeit D) Wirbel in reibungsfreien inkompressiblen Medien Wirbelfläche A  0 Wirbelstärke: Winkelgeschwindigkeit Definition: Die Größe Ω·A heißt Wirbelstärke Helmholtzscher Wirbelsatz: In einer reibungsfreien Flüssigkeit ist die Wirbelstärke zeitlich konstant. Wirbel können weder entstehen noch vergehen. Anschaulich: Wegen Drehimpulserhaltung. Wirbel verhalten sich wie rotierende starre Körper.

Wirbelbildung: Nur an Wände/Kanten mit großer Haftreibung Beispiel: Umströmter Kreiszylinder v klein keine Reibung laminar v groß Oberflächenreibung turbulent S1 S2 Q W Δp S1 S2 Reibung  v(W)  0 S1: v  0 p(S1) = p0 Vakuum bei S2  Wirbel Q: v  max p(Q) = min  p0 v groß in Wirbeln  p bei S2  p bei S1  „Druckwiderstand“ S2: v  0 p(S2) = p0

runde, scharfkantige Öffnung Beispiel: Kantenwirbel Rohr Kantenwirbel Wirbelring runde, scharfkantige Öffnung Membran ME 4.68  Wirbelring löscht Kerze

Luftströmung (Fahrtwind) E) Turbulente Strömung und Strömungswiderstand Luftströmung (Fahrtwind) ρ Wirbelstraße A Reibung  Wirbel reißen ab  Wirbelstraße  Druckwiderstand  Reibungswiderstand ME 4.71  Luftwiderstand verschiedener Körperformen Bernoulli-Gleichung   Parametrisierung FW  Widerstandskraft cW  Widerstandsbeiwert

F) Mathematischer Hintergrund (skizzenhaft): Strömung entlang der Kurve c: c Zirkulation entlang Schleife: Strömung ohne Zirkulation  für alle Schleifen   Potentialströmung

Eine Strömung ist wirbelfrei falls gilt. Fazit: Eine Strömung ist wirbelfrei falls gilt. A Anschaulich (ohne Beweis): Wirbelvektorfeld:

Analog zum Strömungsfeld: Stromlinie A Stromröhre: (bzw. Stromfaden, falls A  0) Wirbelröhre: (bzw. Wirbelfaden, falls A  0) Wirbellinie A

Stromfaden: A1 A2 Äquivalent: Massenstrom I  vA  const. im Faden. Wirbelfaden: A1 A2 Äquivalent: Wirbelstärke Z  A  const. im Faden.

Wirbelröhre mit Randpunkt Folgerung: Wirbelfäden können im Inneren der Flüssigkeit nicht enden. Sie sind entweder in sich geschlossen oder enden auf den Gefäßwänden. Wirbelring Wirbelröhre mit Randpunkt Autor: Keller R., Universität Ulm Foto: Frederking&Thaler

Der Wirbelsatz: Euler-Gleichung: Euler-Gleichung: bac-cab-Regel denn

substantielle Ableitung Ist der Wirbelvektor eines Massenelements bei t  0 gleich Null, so ist das für dieses Massenelement sogar für alle Zeiten so. Wirbel können weder entstehen noch vergehen! Bemerkung: Aussage bleibt in Flüssigkeit mit innerer Reibung gültig. Wirbel entstehen nur an Gefäßwänden, Hindernissen, Kanten, …

Wirbelröhre und Materietransport: Wirbelfaden (t  dt) Wirbelröhre und Materietransport: A, B seien auf Wirbelfaden „benachbart” B' dt A' dt Wirbelfaden (t) B A Wirbelfäden/röhren enthalten immer dieselben Flüssig-keitselemente. Benachbarte Elemente bleiben benachbart. Der Wirbelfaden dehnt sich . Nimmt  zu (ab), wird der Faden länger und dünner (kürzer und breiter).

Reibungskräfte zwischen den Randschichten V.3.4. Viskosität  Innere Reibung im Strömungsfeld Reibungskräfte zwischen den Randschichten dV dA Viskosität (Zähigkeit) x x1 x2 = x1+dx ME 4.52  Zähigkeit von kalten und heißen Wasser allgemein

Gleichgewicht: Reibungskraft = Druckkraft Anwendung: Kapillarviskosimeter p1 Gleichgewicht: Reibungskraft = Druckkraft  Parabel R L Durchfluss:  Hagen-Poiseulle-Gesetz ME 4.54  Geschwindigkeitsprofil im durchströmten Rohr ME 4.55  Ausströmen aus Kapillaren unterschiedlicher Durchmesser (Hagen-Poiseulle-Gesetz) p2

v0 ρK 2r ρfl η Anwendung: Kugelfallviskosimeter Schwerkraft: Auftrieb Reibungskraft (kleine Kugeln): Stokessches Gesetz: Gleichgewichts-Geschwindigkeit 2r ρK v0 Kräfte-Gleichgewicht  ρfl η ME 4.57  Viskosimeter Ruhende Flüssigkeitssäule

Keine Angst! V.3.5. Die Dynamik der viskosen Flüssigkeit (   const.) Navier-Stokes-Gleichung Änderung der Impulsdichte Druck-kraftdichte Schwerkraft-dichte Reibungs-kraftdichte Keine Angst! Nichtlineare, partielle Differentialgleichung 2. Ordnung Spezialfall   0  Euler-Gleichung  DGL 1. Ordnung Zusätzlich: Kontinuitätsgleichung:

Ähnlichkeitsgesetze: Längenskala L , Zeitskala T  dimensionslose Größen:  Navier-Stokes-Gleichung: mit Reynoldssche Zahl Folge: Zwei Strömungen sind ähnlich, d. h. relativ skaliert in Raum und Zeit, wenn Re in beiden Fällen identisch ist und die Dimensions-verhältnisse (Gefäße, Objekte) ebenso relativ skaliert sind. Beispiel: Kritische R.Z. ReC: laminare  turbulente Strömung Anwendung: Modelltests im Windkanal