Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme

reale, rauhe Oberfläche V.1. Eigenschaften realer Festkörper V.1.1. Reibung reale, rauhe Oberfläche Normalkraft a) Haftreibung F  FH  Körper haftet F  FH  Körper gleitet Empirisch: H  Haftreibungskoeffizient Exp. Test:

m ! αH Messung von μH : αH  Winkel beim Losrutschen ME 3.47  Haftreibung auf schiefer Ebene

Beispiel: Haftreibung eines Fixierungsseils Kraft durch Last am Stab Belasteter Stab, Poller, Abseilkarabiner, ... n  Windungen Seil Tafelrechnung  Bremskraft ( Seilspannung ) DV Abseilen vom Balkon Nachbarseilstück: F(φ  dφ)  F(φ)  dF Infinitesimales Seilstück F(φ) φ dφ F(φ) Stabquerschnitt Spannung φ  dφ

reale, rauhe Oberfläche Normalkraft b) Gleitreibung Empirisch: G  Gleitreibungskoeffizient ME 3.48  Gleitreibung bei Drehbewegung eines Stabes Hinreichend kleine Geschwindigkeiten: Gv  const. Große Geschwindigkeiten: Gv wächst mit v

m S Stock a b F1 F2  M2  ( a  b )·F2 F  mg  M  a·F Experiment: Stock auf zwei Fingern a b m S Stock Finger 1 Finger 2 F1 F2  M2  ( a  b )·F2 ME 3.50  Stock auf zwei Fingern F  mg  M  a·F Gleichgewicht: bzgl. Drehung um Finger 1 a  b  ① rutscht b  a  ② rutscht Treffpunkt im Schwerpunkt

Deformation (übertrieben)  bremsendes Drehmoment c) Rollreibung Empirisch: R  Rollreibungskoeffizient i) Haftung: αR  Winkel beim Losrollen αR m r Beobachtung: R ≪ H

ii) Rollvorgang: Experiment: Vergleich zwischen Gleiten und Rollen: m r Gleiten Rollen Große technische Bedeutung: Kugellager, Schmiermittel, Autoreifen, Bohren, Drehen, Fräsen, 

unabhängig von Geometrie (A und L) V.1.2. Deformationen von Festkörpern Wesentliche Einschränkung: betrachte nur isotrope, homogene Körper Allgemeine Theorie: Landau, Liftschitz („Elastizitätstheorie”) a) Elastizitätsmodul, Hookesches Gesetz A Feste Wand L A  Querschnitt  F  Def.: Zugspannung Relative Dehnung  Kraft pro „Elementarfaser”  Dehnung pro „Elementarfeder” Hookesches Gesetz: E  Elastizitätsmodul , Materialeigenschaft, E  1 N m2 unabhängig von Geometrie (A und L)

σ ε Hookesches Gesetz: gültig im elastischen Bereich Taylor- Entwicklung  Proportionalbereich Nicht-elastischer Bereich (plastische Verformung) ε σ Nichtlinearer Bereich (fast elastisch) Reißen ME 4.01  Dehnung eines Kupferdrahtes Proportionalitätsbereich

Beispiel: Kerbspannung ΔL / L groß  Kerbspannung ME 4.02  Kerbwirkung (Zerreißen eines Bleistabes)

elastische Nachwirkung Elastische Hysterese und elastische Nachwirkung: σ Plastische Verformungsarbeit ( Wärme) pro Volumen Tafelrechnung  elastische Nachwirkung ε ME 4.03  Elastische Nachwirkung am Kunststoffschlauch

b) Querkontraktion L  dL Def.: Poissonzahl D D  dD L Volumenzunahme: Zugspannung  ME 4.04  Schlauch mit Schelle

Def.: Kompressibilität Kompressionsmodul c) Kompressionsmodul dF  p dA dA Normalkraft Fläche Def.: Druck p  Def.: Kompressibilität Kompressionsmodul

Zusammenhang zwischen E,  und K: Beweis: dF A dF q.e.d.

α d) Scherung und Torsionsmodul Tangentialkräfte  Scherung Fläche A α Def.: Schub- / Scherspannung Hookesches Gesetz: (für hinreichend kleine ) G  Schub- / Scher- / Torsionsmodul , G  1 N m2 rad1 ME 4.05  Scherungsmodell Beweis:  Bergmann Schaefer

r dr d φ α L Torsionsschwingung  Messung von G (vgl. Tafelrechnung) r dr Rücktreibendes Drehmoment Richtmoment mit d φ dünnes, langes Drahtseil α L ME 4.06  Torsionsmodell Feste Einspannung

z Draht φ Realisierung als Drehpendel: Def.: L Trägheitsmoment I φ z L Def.: Bewegungsgleichung der Drehbewegung: ME 4.07  Torsion mit Drehpendel Tafelrechnung  Schwingungperiode T

z s e) Biegung  Messung von E Beispiel: Einseitig eigespannter Balken Querschnitt A ( unabhängig von s ) x y homogen yN Neutrale Faser: f(s) z gedehnt b  Biegepfeil gestaucht ME 4.08  Biegung eines Acrylglasstabes (Spannungsoptik) s L feste Einspannung Näherung kleiner Biegung:

elastische Gegenkraft zur Tafelrechnung: Δs  Δℓ elastische Gegenkraft y – yN gedehnte Faser dx·dy Δs s s  Δs neutrale Faser ρ(s)

Flächenträgheitsmoment Biegekurve: Randbedingungen  Querschnitt A ( unabhängig von s ) x y homogen yN Neutrale Faser: f(s) z gedehnt b  Biegepfeil ME 4.09  Biegung von Stahlbändern gestaucht Flächenträgheitsmoment s L feste Einspannung

Tangentialkraft entlang der Oberfläche V.2. Eigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen Statik  Gleichgewichtszustände, zeitunabhängig ideale Flüssigkeit  ohne Arbeit verformbar bei Volumen  const. reale Flüssigkeit   Oberflächenkräfte und innere Reibung Gase  Form- und Volumenänderung bei kleinem Energieaufwand V.2.1. Oberfläche der idealen Flüssigkeit Tangentialkraft entlang der Oberfläche dV an Oberfläche Verschiebung Statik  Ideale Flüssigkeit

Betrachtung im körperfesten System Beispiel: Rotationsparaboloid z α m Betrachtung im körperfesten System r mω2r α z0 mg ME 4.11  Rotationsparaboloid ω

V.2.2. Statischer Druck (ohne Schwerkraft) Äußere Kraft V.2.2. Statischer Druck (ohne Schwerkraft)  Druckkraft:  Kraftdichte:  p  potentielle Energiedichte ME 4.14  Druckverteilung in Kugel dx p(x) p(x  dx) dA A Statik: 

Anwendung: Hydraulische Presse Externe Kraft ME 4.16  Hydraulische Presse Interne Kraft aber

V.2.3. Kompressibilität in Flüssigkeiten i.a. sehr klein: Flüssigkeiten oft annähernd inkompressibel, d. h. Dichte

H ρ z Tauchtiefe Anwendung: Schweredruck   dA ME 4.18  Druckdose p  const. bei konstanter Tauchtiefe  Tauchtiefe dA

Identische Bodendrücke Folgerung: Hydrostatisches Paradoxon ρ ρ ρ ρ Identische Bodendrücke ME 4.19  Bodendruckapparat (Hydrostatisches Paradoxon) ME 4.21  Kommunizierende Röhren Anwendung: Kommunizierende Röhren  Demo-Exp.

F1 = F2 h2  ρ2 h1  ρ1 Anwendung: Dichtewaage F1 F2 A ME 4.20  Dichtewaage F1 F2 A

V.2.4. Auftrieb mK ρK ρ Archimedisches Prinzip: dA dz dV dm p(zdz) Auftriebskraft ρ ρK mK Schwerkraft oder Trägheitskraft, wenn System beschleunigt bewegt V.2.4. Auftrieb Archimedisches Prinzip: Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der/des verdrängten Flüssigkeit/Gases Flüssigkeit oder Gas dA Beweis: ( hier für kleinen Quader ) ( allgemein  Gaußscher Integralsatz ) dz dV dm p(zdz) p(z)

Folgerung: K  Fl  Körper sinkt zu Boden K  Fl  Körper schwimmt (partielles Eintauchen) K  Fl  Körper schwebt

T = 0 ºC Eisberg 10 % Beispiel: Eisberg ME 4.24 Archimedisches Prinzip ME 4.25  Cartesianischer Taucher ME 4.26  Tauchspindel ME 4.27  Auftriebswaage ME 4.31  Bestimmung des Luftgewichtes T = 0 ºC

x V.2.5. Gasdruck Gase sind komprimierbar    p (Empirisches) Gesetz von Boyle-Mariotte p V  const. bei konstanter Temperatur T x Druck p Volumen V  x Experiment: ME 4.29  Gerät zum Gesetz von Boyle-Mariotte

Barometrische Höhenformel (  Tafelrechnung ) Folgerungen: Kompressibilität Dichte bei T  const. ME 4.35  Behnsches Rohr Barometrische Höhenformel (  Tafelrechnung )

ρ V.2.6. Luftdruck Luftdruck p Messung mit Quecksilbersäule: Vakuum Def.: 1 Torr  1 mm Hg-Säule Umrechnung: 1 Torr  133,3 Pa ME 4.33  Magdeburger Halbkugeln Def.: Der Normaldruck von wird als 1 physikalische Atmosphäre bezeichnet

V.2.7. Grenzflächen einer (realen) Flüssigkeit Def.: Sei W die Arbeit, die für die Vergrößerung der Oberfläche um A aufgebracht werden muss. Dann heißt spezifische Oberflächenenergie der Flüssigkeit.

L s Flüssigkeitshaut Messung der spezifischen Oberflächenenergie: ME 4.37  Oberflächenspannung ME 4.40  Schwimmende Rasierklinge ME 4.41  Zerreißfestigkeit des Wassers Def.:   Oberflächenspannung  tangentiale Zugkraft pro Länge der Begrenzungslinie der Oberfläche

Wasserhaut h Beispiel: Messung der Oberflächenspannung r (Gewicht der Haut vernachlässigt) ME 4.37  Oberflächenspannung

Minimalflächen: Bei vorgegebenen Randlinien nimmt die Flüssigkeitshaut die zweidimensionale Form mit minimaler Energie an. Bei vernachlässigtem Gewicht ist dies eine Fläche mit (lokal) minimalem Flächeninhalt, eine Minimalfläche. Unberandete Flüssigkeiten bilden also Kugeltropfen. ME 4.38  Minimalflächen http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/sammlung/mnf1.htm http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/sammlung/mnf2.htm

p p  p r Seifenblasen: Aufblähen: dWp  dWOb: Blase expandiert dWp  dWOb: Blase schrumpft dWp  dWOb: Blase stationär  ME 4.39  Kleine Seifenblase bläst größere Seifenblase auf Experiment: Kleine Blase bläst große Blase auf

V.2.8. Grenzflächen zwischen verschiedenen Medien Medium i Medium k Kohäsionskräfte Adhäsionskräfte Def.: Grenzflächenspannung ME 4.43  Adhäsionsplatten ik  Energieaufwand pro Grenzflächenvergrößerung

1 3 2 σ13-Achse σ23-Achse σ12-Achse Dampf Wand φ Flüssigkeit Beispiel: Wand, Flüssigkeit, Dampf 23  23  0 (sonst Verdampfung) 12  0  Adhäsion12  Kohäsion2 12  0  Adhäsion12  Kohäsion2 analog für 13 σ13-Achse 1 Wand φ 3 Dampf σ23-Achse 2 Flüssigkeit σ12-Achse

1 3 2 σ13-Achse σ23-Achse σ12-Achse Dampf Wand φ Flüssigkeit Beispiel: Wand, Flüssigkeit, Dampf Grenzwinkel: 1 Wand 2 Flüssigkeit 3 Dampf σ13-Achse σ12-Achse σ23-Achse φ

Def.: 13  12  Adhäsionsspannung  23 cos  13  12  0    90º  13  12  0    90º  ME 4.45  Randwinkel 13  12  23  vollständige Benetzung

benetzende Flüssigkeit V.2.9. Kapillaren Kapillare  enges Rohr ( Flüssigkeitsoberfläche hat nur Randbereich) 2r dF = σ · dl φ h Kapillare φ benetzende Flüssigkeit ME 4.47  Kapillare Steighöhe Gleichgewicht: Kraft nach oben: Adhäsionsspannung Kraft nach unten:

nicht-benetzende Flüssigkeit Kapillare Depression bei nicht-benetzenden Flüssigkeiten: 2r Kapillare h ME 4.48  Kapillare Depression nicht-benetzende Flüssigkeit

Kapillarwirkung zwischen Platten (breit, parallel, kleiner Abstand)

x Platten 2α Folgerung: Flüssigkeit im Keil Hyperbel ME 4.49  Flüssigkeit im keilförmigen Gefäß x Hyperbel

V.2.10. Innere Reibung in Flüssigkeiten und Gasen Def.: Laminare (schlichte) Strömung  Abgleiten dünner Schichten ohne Verwirbelung Bewegungslinien der Volumenelemente Gegensatz: Turbulente Strömung

Reibungskräfte zwischen den Randschichten Def.: Innere Reibung im Strömungsfeld : Reibungskräfte zwischen den Randschichten dV dA Viskosität (Zähigkeit) x x1 x2 = x1+dx ME 4.52  Zähigkeit von kalten und heißen Wasser allgemein

Gleichgewicht: Reibungskraft = Druckkraft Anwendung: Kapillarviskosimeter p1 Gleichgewicht: Reibungskraft = Druckkraft  Parabel R L Durchfluss:  Hagen-Poiseulle-Gesetz ME 4.54  Geschwindigkeitsprofil im durchströmten Rohr ME 4.55  Ausströmen aus Kapillaren unterschiedlicher Durchmesser (Hagen-Poiseulle-Gesetz) p2

v0 ρK 2r ρfl η Anwendung: Kugelfallviskosimeter Schwerkraft: Auftrieb Reibungskraft (kleine Kugeln): Stokessches Gesetz: Gleichgewichts-Geschwindigkeit 2r ρK v0 Kräfte-Gleichgewicht  ME 4.57  Viskosimeter ρfl η Ruhende Flüssigkeitssäule

V.2.11. Strömungen in idealen & realen Flüssigkeiten (gilt auch für Gase) A) Grundbegriffe Stromröhre: Stromlinie (Stromfaden) Stomröhre: Gesamtheit der Stromlinien durch einen Querschnitt Strömungsfeld: Stationäres Strömungsfeld: (zeitlich konstant)  Stromlinien entlang

Laminare Strömung: ist wirbelfrei. Stromlinie (Stromfaden) Laminare Strömung: ist wirbelfrei. Stromfäden liegen nebeneinander. Reibungskräfte ≫ beschleunigende Kräfte. Turbulente Strömung: ist nicht wirbelfrei. Große Reibung an Berandungen. Kleine innere Reibung. ME 4.56  Stromliniengerät

x x  dx dV dA B) Kontinuitätsgleichung Annahme: Flüssigkeitsmasse wird weder erzeugt noch vernichtet Massenbilanz während dt (nur x-Richtung): x x  dx dV dA

Gesamtmassenbilanz für dV während dt: Folge:  Kontinuitätsgleichung:

Kontinuitätsgleichung: Def: Stromdichte  Massenfluss durch Fläche Kontinuitätsgleichung: Folgerung: Wenn die Masse in dV abnimmt, ... fließt Masse aus dV hinaus

Wasserrohre mit veränderlichem Querschnitt: Strömung A2 A1 ideale Flüssigkeit Inkompressible Flüssigkeit: ρ = const. Äquivalent: Während dt gilt dVein  dVaus Anders ausgedrückt: Die Massenstromstärke IM ist konstant.

(hydrodynamischer Druck) C) Die Bernoullische Gleichung Lokaler Druck p (hydrodynamischer Druck) ρ Annahmen: ideale Flüssigkeit  η  0  v  const. entlang Rohrquerschnitt inkompressible Flüssigkeit  ρ  const. Keine Schwerkraft (  kein Rohrgefälle )

Energiedichten: v F(x) F(xdx) Bernoulli-Gleichung: dV  A·dx A dx Potentielle Energiedichte: εp = p ( Nullpunkt willkürlich bei p = 0 ) Kinetische Energiedichte: Bernoulli-Gleichung:

Gesamtdruck ( Staudruck ) Beispiel: Pitot-Rohr p p0 v ρ h p  ρ g h Statischer Druck Gesamtdruck ( Staudruck )

z x z(x) Erweiterung: Rohre mit Gefälle im Schwerefeld Potentielle Energiedichte im Schwerefeld Potentielle Energiedichte des hydrodynamischen Drucks Kinetische Energiedichte der Strömung x

h h Δh h Anwendung: Druckverteilung in Rohren ρ ME 4.58  Druckverteilung im durchflossenen Rohr konstanten bzw. variablen Querschnitts Reibung  zusätzliches kontinuierliches Druckgefälle

Anwendung: Zerstäuber Unterdruck Luft ME 4.61  Zerstäuberprinzip

Anwendung: Wasserstrahlpumpe Wasser, sehr langsam bewegt p0 Luft Rohr Vakuumgefäß Ansaugstutzen Wasser, sehr schnell bewegt Außenluftdruck

Anwendung: Aero-/Hydrodynamisches Paradoxon Luft, v1 d  0  v2    Unterdruck überwiegt Schwerkraft Chladnische Pfeife ME 4.62  Aerodynamisches Paradoxon d v2

Anwendung: Aerodynamischer Auftrieb Luftströmung (Fahrtwind) v1  v2 Zirkulationsströmung Flügel v2

Zirkulationsströmung durch Drehung Anwendung: Magnus-Effekt Zirkulationsströmung durch Drehung Laminare Strömung Auftrieb v2 v1  v2 ME 4.66  Magnus-Effekt

Luftströmung (Fahrtwind) Anwendung: Prandtlsches Staurohr Luftströmung (Fahrtwind) ρ p ME 4.63  Prandl´sches Staurohr p0 Flüssigkeit

Keine Angst! D) Die reale viskose Flüssigkeit Navier-Stokes-Gleichung Änderung der Impulsdichte Druck-kraftdichte Schwerkraft-dichte Reibungs-kraftdichte Keine Angst! Spezialfall   0  Euler-Gleichung Interessanter Term: Geschwindig-keitsänderung Wirbelbildung und Dynamik Wirbelfreie (laminare) Strömung 

Woher kommt ? Betrachte Punktmasse dm im Medium Bahnkurve von dm: 2. Newtonsches Axiom 

Wirbelbildung: Wände/Kanten mit großer Haftreibung  groß Beispiel: Umströmter Kreiszylinder v klein keine Reibung laminar v groß Oberflächenreibung turbulent S1 S2 Q W Δp S1 S2 Reibung  v(W)  0 S1: v  0 p(S1) = p0 Vakuum bei S2  Wirbel Q: v  max p(Q) = min  p0 v groß in Wirbeln  p bei S2  p bei S1  „Druckwiderstand“ S2: v  0 p(S2) = p0

runde, scharfkantige Öffnung Beispiel: Kantenwirbel Rohr Kantenwirbel Wirbelring runde, scharfkantige Öffnung Membran ME 4.68  Wirbelring löscht Kerze

Winkelgeschwindigkeit Wirbelstärke: Wirbelfläche A Winkelgeschwindigkeit Definition: Die Größe Ω·A bzw. heißt (integrierte) Wirbelstärke Helmholtzscher Wirbelsatz: In einer reibungsfreien Flüssigkeit ist die Wirbelstärke zeitlich konstant. Wirbel können weder entstehen noch vergehen. Anschaulich: Wegen Drehimpulserhaltung. Wirbel verhalten sich wie rotierende starre Körper.

Bildliche Interpretation (s.o.): aus Stokes-Integralsatz De-Mystifizierung der Wirbelstärke: Euler-Gleichung: Euler-Gleichung: Inkompressibel: Wirbelstärke: Bildliche Interpretation (s.o.): aus Stokes-Integralsatz

Luftströmung (Fahrtwind) E) Turbulente Strömung und Strömungswiderstand Luftströmung (Fahrtwind) ρ Wirbelstraße A Reibung  Wirbel reißen ab  Wirbelstraße  Druckwiderstand  Reibungswiderstand ME 4.71  Luftwiderstand verschiedener Körperformen Bernoulli-Gleichung   Parametrisierung FW  Widerstandskraft cW  Widerstandsbeiwert

F) Ähnlichkeitsgesetze Längenskala L , Zeitskala T  dimensionslose Größen:  Navier-Stokes-Gleichung: mit Reynoldsche Zahl Folge: Zwei Strömungen sind ähnlich, d. h. relativ skaliert in Raum und Zeit, wenn Re in beiden Fällen identisch ist und die Dimensions-verhältnisse (Gefäße, Objekte) ebenso relativ skaliert sind. Anwendung: Modelltests im Windkanal