PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung „Bionik I“ Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung „Bionik I“ Bionik auf dem mathematischen Prüfstand Optimallösungen als Ergebnis der Evolution

Der kubisch paraboloide Baumstamm

Materialminimierung: Solarbetriebener CO2-Sammler P Wind y 2 r Mast Höchster Baum in Deutschland: Douglasie 63,33 m im Freiburger Stadtwald Höchster Baum in der Welt: Mammutbaum 115,5 m im Redwood Nationalpark in Kalifornien Form eines Kiefernstamms aus dem Tegeler Forst Nur Formvergleich möglich, da genaue Belastungsdaten fehlen. Materialminimierung: Theorie „Träger gleicher Festigkeit“

Das Dritte-Wurzel-Gesetz der Blutgefäße

Das Blutgefäßsystem als hydraulisches Fördernetz Arteriole Kleine Vene Das Blutgefäßsystem als hydraulisches Fördernetz Arterienzweig Kapillare Gewebe Vene Erfindung des Herz-Lungen-System in der Evolution Vermessung des Blutgefäßsystems eines 13 kg schweren Hundes Gefäßart Durchmesser D [mm] Anzahl Aorta 10 1 Große Arterien 3 40 Arterienäste 1 600 Arterienzweige 0,6 1800 Arteriolen 0,02 40 000 000 Kapillaren 0,008 1 200 000 000

z D Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen 10 1 0.1 5% 0.01 10 10 10 Aorta 10 D Große Arterien mm Arterienäste 1 Arterienzweige Genauigkeit ! 0.1 + 5% - Arteriolen 0.01 Kapillaren 3 6 z 9 10 10 10 10 Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen

Energiebilanz Mensch 10 000 kJ Zwei Entwürfe für eine Rohrverzweigung Herzpumpe Energiebilanz Gehirnzellen (20 %) Mensch 10 000 kJ Beinmuskeln Armmuskeln Herzantrieb 3 000 000 Blutkörperchen/s Blutneubildung a b Pumpleistung Herz [kJ] groß klein Neubildung Blut [kJ] klein groß

p D Q Qualitätsfunktion: Gesetz von Hagen-Poiseuille ´ = F F  V k = Mengenstrom / m3/s opfen Strömungspr Herzpumpe gkeit Geschwindi Kraft ´ = F dung Blutneubil n Rohrvolume F  Rohr V k = Blutbildungsarbeit Kubikmeter · Sekunde

Minimierungsproblem:

Wir bilden nach den Regeln der Extremwertfindung einer Funktion: Die Gleichungen lassen sich elementar nach D0 und Di auflösen

Für vorgegebene Anfangswerte D0 und Q0 hängt der optimale Durchmesser Di eines jeden Rohrzweiges nur von seiner eigenen Durchflussmenge ab! Beispiel: D Q Q 1 = Q z

z D Bedingung für die Lösung: Aorta 10 D Große Arterien mm Arterienäste 1 Arterienzweige 0.1 + 5% - Arteriolen 0.01 Kapillaren 3 6 z 9 10 10 10 10 Bedingung für die Lösung: Es existieren z Blutgefäße gleichen Durchmessers, durch die der gesamte Blutstrom hindurchfließt.

D = D 1 / z z D Optimale Blutgefäßverzweigung Hund - Mensch - Theorie 10 Hund arterielles System Mensch arterielles System D Mensch venöses System mm 1 0.1 D = D 3 1 / z i 0.01 3 6 z 9 10 10 10 10 Optimale Blutgefäßverzweigung Hund - Mensch - Theorie

Hydraulik des Hämatokrits

Ist die Lösung a besser als b oder ist b besser als a ? Blutzellenvolumen Hämatokrit H = Gesamtvolumen v Zwei Lösungen für eine hydraulische Förderung von Blutkörperchen a v Ist die Lösung a besser als b oder ist b besser als a ? b

Zur Messung des Blutzellen-Volumenstroms HMann = 42 – 50% HFrau = 37 – 45% Hoptimal = 43,3% (eine mathematische Lösung) Zeit HSchaf = 32% Künstliche H-Werte HSchwein = 41% Zur Messung des Blutzellen-Volumenstroms

Optimaler Blutkörperchenstrom Schwein H = 41% Schaf H = 32% m o r s n Evolution Hämatokrit 1,5 1,0 0,5 % 10 30 20 40 60 50 B l u t z e n s r o m Optimaler % Schaf H = 32% Evolution B l u t z e n s r o m 1,0 0,5 10 30 20 40 60 50 Hämatokrit Blutkörperchenstrom Die über 35 Jahre alten Messungen wurden noch nicht verifiziert. - Deshalb Vorsicht!

Geometrie der Bienenwaben

Schlaue Gärtner b g g j g g v v Dumme Gärtner für Eingesparte Strecke Hinzugefügte Strecke g g j g g für v v Vom Angrenzungsproblem in 2 Dimensionen zum Angrenzungsproblem in 3 Dimensionen

Das Angrenzungsproblem in 3 Dimensionen Am Boden der sechseckigen Zellen der Bienenwabe sieht man die versetzt angeordneten Zellwände der Gegenseite durchscheinen.

Das Angrenzungsproblem Gartenzaun Bienenwabe Das Angrenzungsproblem

Bienenwabe Zelle von Fejes Tóth 9 Kanten ! 14 Kanten ! Bienenwabe László Fejes Tóth (1915 – 2005) Zelle von Fejes Tóth Gewinn = 0,035% gegenüber der Lösung der Evolution

Die Rüstung Richard des Dritten Über Größe und Leistung Shakespeare stellt Richard den Dritten als zu kurz geraten und von klumpiger Missgestalt hin. Hatte König Richard dadurch, dass er klein war, beim Kampf in voller Ritterrüstung Vorteile ? Vorteil der Kleinheit: Die an die Körperoberfläche angepasste Ritterrüstung ist leichter ? Vorteil der Größe: Das Gewicht der an die Körperoberfläche angepassten Ritterrüstung wächst proportional zum Quadrat der Größe, die Muskelkraft aber proportional zur dritten Potenz (Volumen) der Größe des Ritters ? Die Rüstung Richard des Dritten Gleiche Vor- und Nachteile: Das Gewicht der an die Körper-oberfläche angepassten Ritterrüstung wächst proportional zur Oberfläche, die Muskelkraft wächst auch nur proporti-onal zu seiner Querschnittsfläche und nicht zum Volumen ? Der große Ritter stirbt an einem Hitzschlag !

Eine Science-Fiction-Geschichte

Gliese 581g Planet der Halslinge Gliese 581 (in Sternbild Waage) Text

Osmium Magnesium

Evolution auf dem extrasolaren Planeten

2210 Erdlinge

plump grazil

Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz Allometriegesetz der extraterrestrischen Halslinge Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz !

Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz Allometriegesetz der terrestrischen Wirbeltiere Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz ! S  L7/6

Skelett von Katze und Elefant auf die gleiche Größe gebracht grazil plump Skelett von Katze und Elefant auf die gleiche Größe gebracht

Das technische Problem: Links eingespannter Balken mit Kugelgewicht rKugel  lBalken Theorie für minimales Trägergewicht bei gleicher relativer Durchbiegung (Steifigkeit) G  L7/6

Auf dem Planeten Gliese 581g existieren auch die Hüpflinge Riesenhüpfling Gemeiner Hüpfling Zwerghüpfling

Optimale Auslegung der Hüpflingsarten auf dem extrasolaren Planeten Euler Knickung Osmium Magnesium Optimale Auslegung der Hüpflingsarten auf dem extrasolaren Planeten l variabel Hüpfling Aus & Kritische Last Es kommen die Gleichungen hinzu:  Bemessungsoptimierung

Isometrie Allometrie Beltistometrie ( = gleich) Mit gleichem Maß Was ist Beltistometrie ? Isometrie ( = gleich) Mit gleichem Maß Allometrie ( = anders) Mit anderem Maß Beltistometrie ( = bester) Mit bestem Maß

Beltistometrie (mit bestem Maß) Definition: Die Eigenschaft eines Objekts (Leistung, Stoffumsatz, Geschwindigkeit, Materialstärke usw.), die optimiert wurde, wird über der Größe des Objekts aufgetragen. Ist der Zusammenhang nicht trivial (z. B. isometrisch bzw. proportional), wird die sich ergebende Gesetzmäßigkeit Beltistometrie genannt. Oder: Ein beltistometrisches Diagramm zeigt (quantitativ) die optimierte Eigenschaft eines Konstrukts, wenn dieses seine Größe ändert.

Allometrie Beltistometrie Von der Zwergmaus zur Elenantilope Vom Modellflugmotor zum Schiffsdiesel

MAN-Schiffsdiesel mit 22 000 kW Leistung Modellflugdiesel mit 0,31 kW Leistung

Vergleich von Leistung und Gewicht: Großdiesel für Kreuzfahrtschiff: Gewicht: 250 Tonnen Leistung: 22 000 kW Kleinstdiesel für Flugmodell: Gewicht: 237,5 g Leistung: 0,99 kW 1 000 000 Modellflugdiesel wiegen so viel wie ein Schiffsdiesel. Sie leisten zusammen 1 000 000 kW. Das ist 45-mal mehr als der Großdiesel !

Eine Weberameise kann das 40-fache ihres Eigengewichts tragen. Blattschneiderameise Eine Weberameise kann das 40-fache ihres Eigengewichts tragen. Weberameise Aber: Der beltistometrische Zusammenhang sieht anders aus! Ein Mensch mit 80 kg Körpergewicht müsste dann 3,2 Tonnen schultern.

Eine 6 mm große Schaumzikade kann 70 cm hochschnellen. Emil Rechsteiner Eine 6 mm große Schaumzikade kann 70 cm hochschnellen. Ein 1,80 m großer Mensch sollte dann 210 m hoch springen können. Schaumzikade Aber: Der beltistometrische Zusammenhang sieht anders aus! Die Schaumzikade hält den Weltrekord im Insekten-Hochsprung. Sie beschleunigt beim Absprung mit 400 g.

Aus dem Guinness Buch der Tierrekorde: Die schnellste Spinne der Welt Die Hausspinne (Tegenaria atrica) erreichte bei einer Reihe von Experimenten, die 1970 in Großbritannien durchgeführt wurden, über kurze Distanzen eine Geschwindigkeit von 1,9 km/h. Dies ist außerordentlich schnell, wenn man bedenkt, dass die Spinne in nur 10 Sekunden eine Strecke zurücklegte, die dem 330fachen ihrer Körperlänge entsprach. Dann müsste ein 2 Meter großer Mensch in 10 Sekunden …

Ende www.bionik.tu-berlin.de

Gliese 581 g ist ein Exoplanet, der den roten Zwerg Gliese 581 umkreist. Der Planet liegt im Sternbild Waage, etwa 20,4 Lichtjahre (etwa 193 Billionen Kilometer) entfernt von der Erde. Gliese 581 g besitzt etwa einen 1,2- bis 1,4-fachen Erddurchmesser und die 3- bis 4-fache Erdmasse, seine Umlaufzeit beträgt etwa 36,6 Tage. Gliese 581 g besteht möglicherweise aus Stein und hat genug Masse, um eine Atmosphäre zu halten. Er liegt in der habitalen Zone, verfügt also potentiell über flüssiges Wasser. Die Durchschnittstemperatur wird auf etwa −30 bis −12 °C geschätzt.