Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Bionik I Bionik auf dem mathematischen Prüfstand Optimallösungen als Ergebnis der Evolution Weiterverwendung.

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1 Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Bionik I Bionik auf dem mathematischen Prüfstand Optimallösungen als Ergebnis der Evolution Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet

2 Der kubisch paraboloide Baumstamm

3 2 r2 r y P Theorie Träger gleicher Festigkeit Form eines Kiefernstamms aus dem Tegeler Forst Solarbetriebener CO 2 -Sammler Mast Materialminimierung: Höchster Baum in Deutschland: Douglasie 63,33 m im Freiburger Stadtwald Höchster Baum in der Welt: Mammutbaum 115,5 m im Redwood Nationalpark in Kalifornien Wind Nur Formvergleich möglich, da genaue Belastungsdaten fehlen.

4 Das Dritte-Wurzel-Gesetz der Blutgefäße

5 Arterienzweig Kapillare Gewebe Vene Kleine Vene Arteriole GefäßartDurchmesser D [mm]Anzahl Aorta101 Große Arterien340 Arterienäste1600 Arterienzweige0,61800 Arteriolen0,0240 000 000 Kapillaren0,0081 200 000 000 Vermessung des Blutgefäßsystems eines 13 kg schweren Hundes Das Blutgefäßsystem als hydraulisches Fördernetz Erfindung des Herz-Lungen-System in der Evolution

6 Aorta Arterienäste 10 3 9 6 z 5% + - Große Arterien Arterienzweige Arteriolen Kapillaren 10 1 0.1 0.01 10 0 D mm Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen Genauigkeit !

7 Gehirnzellen Beinmuskeln Armmuskeln Herzantrieb Blutneubildung Mensch 10 000 kJ ab Pumpleistung Herz [kJ]großklein Neubildung Blut [kJ]kleingroß a b Zwei Entwürfe für eine Rohrverzweigung 3 000 000 Blutkörperchen/s Energiebilanz Herzpumpe (20 %)

8 Qualitätsfunktion: Gesetz von Hagen-Poiseuille p D Q Mengenstrom / m 3 /s Blutbildungsarbeit Kubikmeter · Sekunde opfenStrömungspropfenStrömungspr Herzpumpe gkeitGeschwindiKraft F Rohr Vk dungBlutneubil nRohrvolume F

9 Minimierungsproblem:

10 Wir bilden nach den Regeln der Extremwertfindung einer Funktion: Die Gleichungen lassen sich elementar nach D 0 und D i auflösen

11 D 0 0 D D D Für vorgegebene Anfangswerte D 0 und Q 0 hängt der optimale Durchmesser D i eines jeden Rohrzweiges nur von seiner eigenen Durchflussmenge ab! Qz 0 Q 0 Q 1 Beispiel:

12 Aorta Arterienäste 10 3 9 6 z 5% + - Große Arterien Arterienzweige Arteriolen Kapillaren 10 1 0.1 0.01 10 0 D mm Es existieren z Blutgefäße gleichen Durchmessers, durch die der gesamte Blutstrom hindurchfließt. Bedingung für die Lösung:

13 Optimale Blutgefäßverzweigung Hund - Mensch - Theorie 10 396 z 3 0 /1 z DD i 10 1 0.1 0.01 10 0 D mm Hund arterielles System Mensch arterielles System Mensch venöses System

14 Hydraulik des Hämatokrits

15 v a b Blutzellenvolumen Gesamtvolumen Hämatokrit H = Ist die Lösung a besser als b oder ist b besser als a ? Zwei Lösungen für eine hydraulische Förderung von Blutkörperchen

16 H optimal = 43,3% H Mensch = 42 – 44% H Kamel = 28% H Schaf = 32% H Schwein = 41% ( mathematische Lösung ) Zur Messung des Blutzellen-Volumenstroms Zeit Künstliche H -Werte

17 Optimaler Blutkörperchenstrom Schwein H = 41% Evolution Hämatokrit H 1,5 1,0 0,5 0 %0 10 30 20406050 B l u t z e l l e n s t r o m % Schaf H = 32% Evolution B l u t z e l l e n s t r o m 1,0 0,5 0 0 10 30 2040 60 50 Hämatokrit H

18 Geometrie der Bienenwaben

19 Dumme Gärtner Schlaue Gärtner g v v b für g g g b Eingesparte Strecke Hinzugefügte Strecke Vom Angrenzungsproblem in 2 Dimensionen zum Angrenzungsproblem in 3 Dimensionen

20 Am Boden der sechseckigen Zellen der Bienenwabe sieht man die versetzt angeordneten Zellwände der Gegenseite durchscheinen. Das Angrenzungsproblem in 3 Dimensionen

21 Das Angrenzungsproblem Gartenzaun Bienenwabe

22 Zelle von Fejes Tóth Bienenwabe Gewinn = 0,035% gegenüber der Lösung der Evolution 9 Kanten ! 14 Kanten ! László Fejes Tóth (1915 – 2005)

23 Shakespeare stellt Richard den Dritten als zu kurz geraten und von klumpiger Missgestalt hin. Hatte König Richard dadurch, dass er klein war, beim Kampf in voller Ritterrüstung Vorteile ? Die Rüstung Richard des Dritten Vorteil der Kleinheit: Die an die Körperoberfläche angepasste Ritterrüstung ist leichter ? Vorteil der Größe: Das Gewicht der an die Körperoberfläche angepassten Ritterrüstung wächst proportional zum Quadrat der Größe, die Muskelkraft aber proportional zur dritten Potenz (Volumen) der Größe des Ritters ? Gleiche Vor- und Nachteile: Das Gewicht der an die Körper- oberfläche angepassten Ritterrüstung wächst proportional zur Oberfläche, die Muskelkraft wächst auch nur proporti- onal zu seiner Querschnittsfläche und nicht zum Volumen ? Über Größe und Leistung Der große Ritter stirbt an einem Hitzschlag !

24 Eine Science-Fiction-Geschichte

25 Planet der Halslinge Gliese 581 (in Sternbild Waage) Gliese 581c Text

26 Magnesium Osmium

27 Evolution auf dem extrasolaren Planeten

28 2208 Erdlinge

29 plump grazil

30 Allometriegesetz der extraterrestrischen Halslinge Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz !

31 Allometriegesetz der terrestrischen Wirbeltiere Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz ! S L 7/6

32 Katze Elefant Skelett von Katze und Elefant auf die gleiche Größe gebracht plump grazil

33 Theorie für minimales Trägergewicht bei gleicher relativer Durchbiegung (Steifigkeit) G L 7/6 Das technische Problem: Links eingespannter Balken mit Kugelgewicht r Kugel l Balken

34 Auf dem Planeten Gliese 581c existieren auch die Hüpflinge Riesenhüpfling Gemeiner Hüpfling Zwerghüpfling

35 Aus & Optimale Auslegung der Hüpflingsarten auf dem extrasolaren Planeten Es kommen die Gleichungen hinzu: Euler Knickung l variabel Osmium Hüpfling Magnesium

36 Isometrie Allometrie Beltistometrie ( gleich) ( anders) ( bester) Mit gleichem Maß Mit anderem Maß Mit bestem Maß Was ist Beltistometrie ?

37 Oder: Ein beltistometrisches Diagramm zeigt (quantitativ) die optimierte Eigenschaft eines Konstrukts, wenn dieses seine Größe ändert. Beltistometrie (mit bestem Maß) Definition: Die Eigenschaft eines Objekts (Leistung, Stoffumsatz, Geschwindigkeit, Materialstärke usw.), die optimiert wurde, wird über der Größe des Objekts aufgetragen. Ist der Zusammenhang nicht trivial (z. B. isometrisch bzw. proportional), wird die sich ergebende Gesetzmäßigkeit Beltistometrie genannt.

38 Von der Zwergmaus zur Elenantilope Vom Modellflugmotor zum Schiffsdiesel Beltistometrie Allometrie

39 MAN-Schiffsdiesel mit 22 000 kW Leistung Modellflugdiesel mit 0,31 kW Leistung

40 Vergleich von Leistung und Gewicht: Großdiesel für Kreuzfahrtschiff:Gewicht: 250 Tonnen Leistung: 22 000 kW Kleinstdiesel für Flugmodell: Gewicht: 237,5 g Leistung: 0,99 kW 1 000 000 Modellflugdiesel wiegen so viel wie ein Schiffsdiesel. Sie leisten zusammen 1 000 000 kW. Das ist 45-mal mehr als der Großdiesel !

41 Eine Weberameise kann das 40-fache ihres Eigengewichts tragen. Ein Mensch mit 80 kg Körpergewicht müsste dann 3,2 Tonnen schultern. Blattschneiderameise Weberameise Aber: Der beltistometrische Zusammenhang sieht anders aus!

42 Eine 6 mm große Schaumzikade kann 70 cm hochschnellen. Ein 1,80 m großer Mensch sollte dann 210 m hoch springen können. Aber: Der beltistometrische Zusammenhang sieht anders aus! Schaumzikade Emil Rechsteiner Die Schaumzikade hält den Weltrekord im Insekten-Hochsprung. Sie beschleunigt beim Absprung mit 400 g.

43 Ende www.bionik.tu-berlin.de

44 Gliese 581 c ist ein Exoplanet, der den roten Zwerg Gliese 581 umkreist. Mit einer vermuteten Temperatur von –3 bis +40 °C ist Gliese 581 c der erste entdeckte Planet, auf dem Temperaturen wie auf der Erde herrschen, sodass Wasser dauerhaft und in hinreichenden Mengen im flüssigen Zustand existieren könnte. Der Planet liegt im Sternbild Waage, etwa 20,4 Lichtjahre (etwa 193 Billionen Kilometer) entfernt von der Erde.