Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am Di. 13:00-14:30 Uhr; R (Hörsaal) Universität Kassel (UNIK) FB 16 Elektrotechnik / Informatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115 D Kassel Dr.-Ing. René Marklein Tel.: ; Fax: URL: URL:

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Topologische Grundbegriffe beliebiger Netze Schaltung: Netzwerk (Netz) Graph: Topologie des Netzwerkes (Netz)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Topologische Grundbegriffe beliebiger Netze Definition: (Topologie) Die Topologie eines Netzes wird durch einen Graphen aus Knoten und Zweigen dargestellt: Graph mit 4 Knoten und 6 Zweigen sowie 3 Umläufe (= 3 Maschen, wenn Bild Struktur eines Netzes (Graph) mit 4 Knoten und 3 Maschen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 89, 2005]) Definition: (Zweig) Die Verbindung zwischen zwei Knoten nennt man Zweig. Jeder Zweig trägt einen Richtungspfeil. in dem Umlauf kein Zweig liegt. Knoten Umlauf (= Masche) Zweig Richtungspfeil

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Topologische Grundbegriffe beliebiger Netze Definition: (Zweigspannung und Zweigstrom) Jeder Zweig trägt einen Richtungspfeil, durch den die Zählpfeile der Zweigspannung und des Zweigstromes (willkürlich) festgelegt werden. Graph mit K = 4 Knoten und Z = 6 Zweigen mit Richtungspfeilen und U -Zählpfeile und I -Zählpfeile Bild Festlegung der U - und I -Zählpfeile durch die in Bild 2.78 gewählten Zweigrichtungen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 89, 2005]) Jede Zweigspannung, z. B. für Zweig 6 U 6, kann sich aus einem Ohmschen Spannungsabfall, z. B. U R6, und einer Quellspannung, z. B. U Q6, zusammensetzen, d. h.

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Topologische Grundbegriffe beliebiger Netze z. B. Zweig 6: Definition: (Vollständiger Baum) In vollständigem Baum sind alle Knoten miteinander verbunden, ein vollständiger Baum mit K Knoten hat B = (K - 1) Zweige. Definition: (Topologie) Die Topologie eines Netzes wird durch einen Graphen aus Knoten und Zweigen dargestellt: Definition: (Baum) Linienkomplex ohne geschlossenen Umlauf heißt Baum. Bild Struktur eines Netzes (Graph) mit 4 Knoten und 3 Maschen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 89, 2005]) Bild Festlegung der U - und I -Zählpfeile durch die in Bild 2.78 gewählten Zweigrichtungen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 89, 2005]) Graph mit 4 Knoten und 3 Maschen Beispiel: Für die Schaltung in Bild 2.78 Anzahl der Zweige für einen vollständigen Baum

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Topologische Grundbegriffe beliebiger Netze Bild Beispiele für Bäume im vollständigen Viereck (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 89, 2005]) Beispiele für Bäume im vollständigen Viereck Struktur eines Netzes (Graph) mit 4 Knoten und 3 Maschen Bild Struktur eines Netzes (Graph) mit 4 Knoten und 3 Maschen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 89, 2005]) Graph Bäume vollständige Bäume!

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Topologische Grundbegriffe beliebiger Netze Definition: (Baumzweige) Baumzweige = Zweige eines vollständigen Baumes. Per Definition können in den Teilen eines Netzes, die durch den Baum abgebildet werden, KEINE Ströme fließen, ohne dass Verbindungszweige geschlossen werden! Definition: (Verbindungszweige) Verbindungszweige = andere Zweige außerhalb des Baumes. Ein Netz mit K Knoten und Z Zweigen hat im allgemeinen V = Z - B = Z - ( K - 1 ) = Z K Verbindungszweige. (Hier: Zweige 1,2,3 = Baumzweige) (Hier: Zweige 4,5,6 = Verbindungszweige) Baum Z.B. gilt für die Schaltung in Bild 2.78

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Topologische Grundbegriffe beliebiger Netze Anzahl der vollständigen Bäume eines Netzes mit k Knoten: n b = k (k-2) Bild Die möglichen vollständigen Bäume des vollständigen Vierecks (Bild 2.74) (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 90, 2005]) Anzahl der möglichen vollständigen Bäume eines Netzes mit K Knoten Baum

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Baum Topologische Grundbegriffe beliebiger Netze kein ebenes Netz! Bild Vollständiges Fünfeck (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 90, 2005]) Definition: (Ebenes Netz) Ein Netz, dessen Zweige sich kreuzungsfrei in einer Ebene darstellen lassen, nennt man eben, also ein ebenes Netz. Kreuzung von Zweigen! ebenes Netz!

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Umlaufanalyse Unabhängige und abhängige Ströme; Maschenströme Schaltung: Netzwerk oder einfach Netz Bild Maschen und Maschenströme des Netzes 2.78 (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 91, 2005]) Umlauf 5 Umlauf 6 Definition: (Maschen) - Wiederholung Maschen sind Umläufe, die im Innern keine Zweige enthalten. Hier: M 4, M 5, M 6 Graph Umlauf 4 = Masche 4 = Masche 5 = Masche 6

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Unabhängige und abhängige Ströme; Maschenströme Netzstruktur dazu, vollständiger Baum aus Zweigen 1,2,3: (2.101d) Unabhängige Ströme = Ströme in Verbindungszweigen (Hier: I 4, I 5, I 6 ) Abhängige Ströme = Ströme in Baumzweigen (Hier: I 1, I 2, I 3 ) Was abhängig oder unabhängig ist, hängt also von der Festlegung des Baumes ab! Bild Struktur eines Netzes (Graph) mit 4 Knoten und 3 Maschen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 89, 2005]) Bild Unabhängige Ströme in den Verbindungszweigen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 91, 2005]) In allen Verbindungszweigen können die Ströme beliebig vorgegeben sein (symbolisiert durch Stromquellen). Die Ströme im Baum sind dann (über die Knotengleichungen) abhängig davon Unabhängige Ströme in die Verbindungszweige ( I 4, I 5, I 6 ) Abhängige Ströme in die Baumzweige ( I 1, I 2, I 3 )

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bild Unabhängige Ströme in den Verbindungszweigen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 91, 2005]) Unabhängige und abhängige Ströme; Maschenströme Unabhängige Ströme nennen wir Umlaufströme (= Maschenstrom, falls Umlauf = Masche ist!). (Hier: I 4, I 5, I 6 ). Im Baum können nur Ströme fließen, wenn über Verbindungszweige geschlossene Stromkreise entstehen (Eigenschaft des Baumes per Definition). Nach dem Überlagerungsprinzip (Superpositionsprinzip) sind demnach die Umlaufströme linear unabhängig. Ströme in einem Baumzweig können dann durch Überlagerung der durch diesen Zweig fließenden Umlaufströme gebildet werden, z. B. gilt für den Strom I 1 (2.101a) Bild Maschen und Maschenströme des Netzes 2.78 (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 91, 2005]) Umlauf 4 Umlauf 5 Umlauf 6 a b c

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Das Schema zum Aufstellen der Umlaufgleichungen Spannungen über das Ohmschen Gesetz als Funktion der Umlauf- bzw. Maschenströme formulieren: Für Masche 6 gilt (siehe Bild 2.76) Umlauf 6 : Umlaufwiderstand R 1 + R 3 + R 6 für Strom I 6 Umläufe 4 und 6: Kopplungswiderstand R 1 Umläufe 5 und 6: Kopplungswiderstand R 3 bzw. Ergibt, siehe auch Gl. (2.104c):

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Das Schema zum Aufstellen der Umlaufgleichungen Anders formuliert: Jeder unabhängige Strom ergibt einen Umlaufstrom. (Hier: I 4, I 5, I 6 ) Jeder Umlauf führt auf eine Gleichung lineares Gleichungssystem (LGS) Dazu wird auf jedem Umlauf das 2. Kirchhoffsches Gesetz ausgewertet! In jedem Baumzweig fließen mehrere Umlaufströme, hier I 4, I 5, I 6, die den Faktor, mit dem der andere Strom zum Spannungsfall im aktuellen Umlauf beiträgt, bestimmt. Dies liefert die sogenannten Kopplungsterme in der Widerstandsmatrix ( R -Matrix).

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Das Schema zum Aufstellen der Umlaufgleichungen Schema zum Aufstellen einer Umlaufgleichung in Matrixform: 1. Für die Schaltung einen vollständigen Baum auswählen. In den Verbindungszweigen Zählpfeile für die unabhängigen Ströme eintragen. gesuchte Ströme möglichst in Verbindungszweige legen Spannungsquellen möglichst in Verbindungszweige legen Stromquellen, falls vorhanden und nicht in Spannungsquellen umgewandelt, in Verbindungszweige legen 2. Die Elemente des Stromvektors {I}, I 1,...,I N, auf der linken Gleichungsseite, sind die unabhängigen Ströme. Jedem unabhängigen Strom wird ein Umlauf, bestehend aus dem zugehörigen Verbindungszweig zugeordnet, der sich nur über Baumzweige schließt. Die Umlaufrichtung wird entsprechend dem Stromzählpfeil gewählt. Widerstandsmatrix ist symmetrisch! Der Index,, T" steht für transponiert!

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Das Schema zum Aufstellen der Umlaufgleichungen Für jeden Umlauf wird jetzt eine Gleichung (Zeile des obigen Gleichungssystems) aufgestellt: 3. Hauptdiagonalelemente: R ij für i = j der Widerstandsmatrix [R] sind die Umlaufwiderstände des zu dem jeweiligen Strom gehörigen Umlaufs. Der Umlaufwiderstand ist die Summe aller Widerstandswerte in allen Zweigen, die den aktuellen Umlauf bilden. 4. Nebendiagonalelemente: R ij für i j der Widerstandsmatrix [R] sind die Kopplungswiderstände: positives Vorzeichen, wenn Umlaufströme, die der Widerstand verknüpft, im Widerstand gleichgerichtet sind. negatives Vorzeichen, wenn die Umlaufströme, die der Widerstand verknüpft, im Widerstand entgegengesetzt gerichtet sind. Der Kopplungswiderstand ist die Summe aller Widerstände in den Zweigen, die beiden Umläufen gemeinsam sind. ( Der Umlauf, für den die Gleichung aufgestellt wird und Umlauf zu dem unabhängigen Strom, mit dem die aktuelle Spalte der Widerstandsmatrix multipliziert wird. ) 5. Die Elemente des Spannungsvektors {U}, U 1,...,U N, auf der rechten Gleichungsseite werden gebildet aus der Summe aller Quellenspannungen des Umlaufs: negatives Vorzeichen, wenn Spannungszählpfeil in Umlaufrichtung, sonst positives Vorzeichen. Schema zum Aufstellen einer Umlaufgleichung in Matrixform: Hauptdiagonalelemente Nebendiagonalelemente

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bild Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005]) Das Schema zum Aufstellen der Umlaufgleichungen Für obiges Beispiel also Widerstandsmatrix ist symmetrisch! Durch Ausnutzung der Baumstruktur in dem Rechenschema werden die Knotengleichungen implizit in die Umlaufgleichungen eingebaut, man braucht sie also nicht aufstellen und lösen! Der Index,, T" steht für transponiert!

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Ende der Vorlesung