Bézier und NURBS Kurven & Flächen Vortrag von Stefan Endler 06.01.2005 Computergraphik Seminar WS 2004/05 Prof. Elmar Schömer

Historie Kurven Flächen Inhalt Historie Kurven Flächen

Vortrag über Kurven und Flächen Historie Römerzeitalter: Benutzung eines Templates um Schiffsrippen herzustellen 13. – 16. Jh.: Weiterentwicklung durch die Venezianer 1752: Erstes auftreten eines „splines“. Spline = Holzstück zum zeichnen von Kurven Vortrag über Kurven und Flächen

Vortrag über Kurven und Flächen Historie Mathematik: 1959: Paul de Faget de Casteljau wird bei Citröen angestellt und beginnt seine Forschung. 1960: P. Bézier beginnt seine Forschung bei Peugeot C. de Boor angestellt bei General Motors entdeckt B-spline Kurven Generalisierung zu NURBS (NonUniform Rational B-splineS) Ausserdem natürlich de Casteljau Algo Parallele Arbeiten (Umformungsalgorithmen nötig) Vortrag über Kurven und Flächen

Vortrag über Kurven und Flächen Historie 1971: Erste Konferenz in Paris mit u.a. P.Bézier 1974: Erste Schritte in CAGD (Computer Aided Geometric Design) von R.Barnhill und R.Riesenfeld an der Universität von Utah 1979: Erstes Buch von I.Faux und M.Pratt. „Computational Geometry for Design and Manufacture“ Vortrag über Kurven und Flächen

Vortrag über Kurven und Flächen Nicht Rationale Bézier Kurven Rationale Bézier Kurven Eigenschaften von Kurven NURBS Vortrag über Kurven und Flächen

Nicht Rationale Bézier Kurven Bernstein Polynome Definition De Casteljau Algorithmus Degree Elevation Vortrag über Kurven und Flächen

Vortrag über Kurven und Flächen Bernstein Polynom Allgemeine Darstellung von Bernstein Polynomen: Rekursiv: Nicht negativ Summe = 1 Vortrag über Kurven und Flächen

Vortrag über Kurven und Flächen Bézier Kurve Definition einer Bézier Kurve: bi sind hierbei die Punkte n gibt den Grad der Kurve an Punkte 2 oder 3 Dimensional Vortrag über Kurven und Flächen

Vortrag über Kurven und Flächen Bézier Kurve Der de Casteljau Algorithmus: Gegeben sind die Kontrollpunkte Gesucht sind die Punkte der Kurve an der Stelle t. Formel: In jedem Schritt wird aus 2 Punkten, ein neuer definiert in Relation t : (1-t) Vortrag über Kurven und Flächen

Vortrag über Kurven und Flächen Bézier Kurve Beispiel: Kurve mit Grad 4 Subdivision: Vortrag über Kurven und Flächen

Vortrag über Kurven und Flächen Bézier Kurve Degree Elevation Technik zum Erhöhen des Grades einer Kurve Formel: wobei b-1 = bn+1 = 0 BezierKurve.exe Oft benötigt damit die Kurve besser handhabbar ist. Umgekehrter Fall ist schwierig und gibt oft nur Annäherungen (wird aber z.B. beim Wechsel in ein anderes CAD System benötigt). Vortrag über Kurven und Flächen

Rationale Bézier Kurve Definition De Casteljau Weight Points Anwendungsbeispiel Vortrag über Kurven und Flächen

Rationale Bézier Kurve Definition einer rationalen Bézier Kurve: wi ist das Gewicht für den bi-ten Punkt Sind alle wi = 1, so erhält man die bekannte nicht rationale Bézier Kurve Nenner ist eine Konstante (gewichtete Bernstein Polynome) Vortrag über Kurven und Flächen

Rationale Bézier Kurve Der de Casteljau Algorithmus: Es gibt 2 Varianten des Algorithmus: Alle Punkte werden umgewandelt zu homogenen Koordinaten Formel: wobei 1. Variante ist ähnlich des vorher besprochenen de Casteljau Algorithmus Vortrag über Kurven und Flächen

Rationale Bézier Kurve Weight Points ist eine Möglichkeit der Geometrischen Umsetzung von Gewichten Definition von Weigth Points: Umrechnung zu Gewichten: RationalBezierCurve.exe Konvexe Hülle nicht nur bei den normalen Punkten, sondern auch bei den beiden Endpunkten + den Weight Points Vortrag über Kurven und Flächen

Rationale Bézier Kurve Anwendungsbeispiel Conics werden durch 3 Punkte und einem Gewicht repräsentiert w0 = w2 = 1 Es ergeben sich 3 Fälle von Kurven: w1 < 1  Ellipse w1 > 1  Hyperbel w1 = 1  Parabel w1 = cos(a) Gleichzeitig Beispiel für piecewise Bézier Curves Vortrag über Kurven und Flächen

Vortrag über Kurven und Flächen Eigenschaften Endpoint interpolation: x(0) = b0 x(1) = bn Symmetrie: bo,…,bn und bn,…,b0 beschreiben die gleiche Kurve Konvexe Hülle Die Kurve liegt auf jeden Fall im Kontrollpolygon, welches die Punkte bi bilden. … Variation diminishing: Wenn eine Linie das Kontrollpolygon m Mal schneidet, so wird die Kurve höchstens m Mal geschnitten. Vortrag über Kurven und Flächen

Vortrag über Kurven und Flächen NURBS Definition B-Spline Basic Function Vortrag über Kurven und Flächen

Vortrag über Kurven und Flächen NURBS Definition einer NURBS Kurve m gibt den Grad der Kurve an di sind die „de Boor“ Punkte (i = 0,…,n) wi sind die Gewichte Knot Sequence: NURBS = Non Uniform Rational B-Splines Algorithmen zum darstellen sind z.B. der de Boor Algorithmus Vortrag über Kurven und Flächen

B-Spline Basic Function Wichtige Funktion für die Darstellung von NURBS Rekursive Formel: wobei Vortrag über Kurven und Flächen

B-Spline Basic Function Vortrag über Kurven und Flächen

Vortrag über Kurven und Flächen Viereckige Bézier Flächen Dreieckige Bézier Flächen Vortrag über Kurven und Flächen

Viereckige Bézier Flächen Hyperbolic Paraboloid Einfachste Form von Bézier Flächen dargestellt durch 4 Punkte Verallgemeinerung: oder umgeschrieben Vortrag über Kurven und Flächen

Viereckige Bézier Flächen Vortrag über Kurven und Flächen

Dreieckige Bézier Flächen Definition: Bivariate Bernstein Polynomials: Vortrag über Kurven und Flächen

Dreieckige Bézier Flächen Vortrag über Kurven und Flächen

Vielen Dank für ihre Aufmerksamkeit