[ CHAOS und FRAKTALE ] Steffi Cordier - Paulina Paszkiewicz - Uli Quitsch Stefan Quint - Johannes Horlemann - Achim Boltz

I. Chaos?! [ Chaos und Fraktale ] Begriff „Chaos“ 1973 von James A. Yorke geprägt Beschreibung komplexer, dynamischer Systeme, die chaotisch wirken, aber durch Formeln beschreibbar sind Laplace bzw. Klare Gesetzmäßigkeiten Determinismus: Linearität strenge Vorhersagbarkeit Kausalitätsprinzip

I. Chaos?! [ Chaos und Fraktale ] Reduktionismus entspricht nicht der Realität hochkomplexe Systeme mit Rückkopplung nie gleiche Bedingungen in der Praxis Sensititve Abhängigkeit (bei chaotischen Systemen) „kleine und kleinste Veränderungen der Anfangsbedingungen können größte Effekte verursachen“ Beispiele: Wettervorhersage, Billardspiel „Schmetterlingseffekt“ Deterministisches Chaos Ein System folgt streng einer Rechenvorschrift, ist aber nicht vorhersagbar.

II. Logistische Abbildung [ Chaos und Fraktale ] Xn = c * Xa (1 – Xa) Beispiel für Populationsentwicklung Logistische Abbildung Xn Populationsdichte Xa Vorjahrespopulation c Anzahl der Nachkommen Diskrete Funktionswerte Iteration ( output als input ) Kleinste Abweichung von c wird verstärkt sensitive Abhängigkeit

II. Logistische Abbildung [ Chaos und Fraktale ] Xn = c * Xa (1 – Xa) 1 < c < 3 stabiler Wert zw. 1 und 0 c > 3 zwei-peak-oszillierend c = 3,45 vier-peak-oszillierend c > 3,57 Periode chaotisch, unendlich

II. Logistische Abbildung [ Chaos und Fraktale ] Xn = c * Xa (1 – Xa) Feigenbaumdiagramm 1 2 1 2 3 3 4 4 Anzahl der Nachkommen

II. Logistische Abbildung [ Chaos und Fraktale ] Xn = c * Xa (1 – Xa) Periodenverdopplung an den Bifurkations- Stellen „Bifurkationsweg ins Chaos“ universell Anzahl der Nachkommen

III. Attraktoren [ Chaos und Fraktale ] Attraktor Systemzustand, auf den ein System sich einschwingt Für best. c läuft Algorithmus auf festen Wert zu Fixpunkt vorhersehbar Grenzzyklus „Seltsamen“ Attraktor in chaotischen Systemen unendlich viele Werte unendlich stark gefaltet fraktal

III. Attraktoren [ Chaos und Fraktale ] „Seltsamen“ Attraktor in chaotischen Systemen unendlich viele Werte unendlich stark gefaltet fraktal Beispiel: Lorenz-Attraktor

IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ]

IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ] Gehirn: d = 2,79 „Ein Fraktal ist eine Figur, deren Dimension nicht ganzzahlig ist.“  fraktal = „gebrochen“ Die Dimension eines Fraktals nennt man fraktale Dimension. Gehirn: d = 2,79

IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ] Schneeflockenkurve: Initiator: Linie der Länge 1 Linie wird gedrittelt und auf das mittlere Drittel wird eine dreieckige Insel der Kantenlänge 1/3 gelegt: 1/3 Jede neu entstandene Strecke hat nun die Länge 1/3. Man nennt dieses Gebilde auch Generator, da bei jeder neuen Iteration mit jeder Strecke genauso verfahren wird.

IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ] Der Vorgang wird unendlich oft wiederholt, dabei entsteht die sogenannte Schneeflockenkurve, die unendlich lang ist. Dimension: d = 1,26

IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ] Betrachtet man als Initiator ein Dreieck der Länge 1, erhält man eine Koch‘sche Insel bzw. Schneeflocke:

„Wie lang ist die Küste Britanniens?“ IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ] „Wie lang ist die Küste Britanniens?“ Küste ist unendlich lang, schließt aber einen endlichen Flächeninhalt ein. => d(GB) = 1,26

IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ] Das Farnblatt

IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ] Juliamenge J(c) = { z0  C: (zn) <  mit zn+1 = zn2 + c} mit c  C fest. Wiederholung: Komplexe Zahlen I 1 i  R 1

IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ]

IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ] Selbstähnlichkeit „Wenn eine Menge Untermengen enthält, die sich durch Rotation, Translation und Skalierung in die Obermenge transformieren lassen, ist sie selbstähnlich.“

M = { c  C: (zn) <  mit zn+1 = zn2 + c} mit z0 = 0. IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ] Mandelbrotmenge M = { c  C: (zn) <  mit zn+1 = zn2 + c} mit z0 = 0.

IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ]

Revolutionäre Bedeutung der Chaostheorie V. Resumé [ Chaos und Fraktale ] Revolutionäre Bedeutung der Chaostheorie Gegensatz zum streng wissenschaftlich kontrollierbaren Weltbild Viele Bereiche des Lebens betreffend

IHR HABT SUPER DURCHGEHALTEN! [ Chaos und Fraktale ] DANKE FÜRS ZUHÖREN! IHR HABT SUPER DURCHGEHALTEN!