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Veröffentlicht von:Berahthraben Werber Geändert vor über 10 Jahren
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Mathe in Eppelborn Mathe für Alle
Dank an Peter Wagner von der SZ Dank an der Bürgermeister (Getränkeautomat) Chaos in Eppelborn
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Chaos in Eppelborn, Chaos überall.
Warum wir die Zukunft nicht berechnen können, heute nicht und auch in Jahren nicht. Chaos in Eppelborn
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Stellen Sie bitte Fragen!
Was auf Sie zukommt: 20 Minuten: Einfaches, Wetter und so 30 Minuten: Mathe, Bevölkerungswachstum 10 Minuten: Einfach, aber wichtig: Eine neue Weltsicht Stellen Sie bitte Fragen! Chaos in Eppelborn
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Nach dem Vortrag wissen Sie
was deterministisches Chaos bedeutet dass vieles nie berechnet werden kann Chaos in Eppelborn
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„Deterministisches Chaos“
Chaos: gr., formlos, konfus. Ovid: „die in unermesslicher Finsternis liegende gestaltlose Urmasse“. Vorstufe des Kosmos Heute: Totales Durcheinander, Auflösung jeder Ordnung Kosmos: gr., Ordnung, Weltall Determinare: lat., bestimmen, festlegen Chaos in Eppelborn
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Unser Traum: Die Zukunft kennen
Das Wetter morgen Börsenkurse in 4 Wochen Steueraufkommen im nächsten Jahr Erdbevölkerung in 15 Jahren Astrologie oder Science? Chaos in Eppelborn
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Warum es gelingen könnte: Kausalität
Schwache Kausalität: Gleiche Ursachen, gleiche Wirkungen Starke Kausalität: Ähnliche Ursachen, ähnliche Wirkungen Dazu die Naturgesetze! (Klassische Physik) Chaos in Eppelborn
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Die Welt ist deterministisch
Der Traum von Laplace Verlauf der Welt aus dem Anfangszustand mit Hilfe der Physik berechnen. Die Welt ist deterministisch Chaos in Eppelborn
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Triumph der Methode Entdeckung des Planeten Neptun durch Galle 1846
Chaos in Eppelborn
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Triumph der Methode? Wettervorhersage
Kachelmann und Co: Wie machen die das? Chaos in Eppelborn
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Methoden der Wettervorhersage:
1. Katalog von Situationen: Ähnliche Situation, ähnliche Entwicklung, (Bauernregeln, heute Datenbanken mit Wettersituationen) 2. Aktuellen Zustand erfassen: Vorhersage mit Physik und Computern Chaos in Eppelborn
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Wettervorhersage: DWD
Ausgangsdaten in Gitterpunkten erfassen: Die ist der Zustand X0 Chaos in Eppelborn
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Wettervorhersage: DWD
Messen des aktuellen Zustands : X0 Berechnen des Zustands X1 in 30 Minuten. Danach: Berechnen des Zustands in 60 Minuten auf der Basis von X1: X2 So geht’s weiter! Chaos in Eppelborn
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Math. Prinzip: Diskrete Iteration
Berechnungsvorschrift f X0 gegeben Zustand jetzt X1 = f(X0) Zustand in 30 Minuten X2 = f(X1) X3 = f(X2) ..... Chaos in Eppelborn
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Der Anfang: Edward Lorenz
Lorenz, amerikanischer Meteorologe, Birkhoff-Schüler 1963: Untersuchung eines Computer-Wettermodells mit drei Kenngrößen. Chaos in Eppelborn
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Lorenz: Computerwetter extrem sensibel gegenüber Änderungen der Anfangsbedingungen („chaotisch“) Lorenz findet die richtige Interpretation: Die starke Kausalität gilt nicht in seinem System. Chaos in Eppelborn
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Die weiteren Ergebnisse von Lorenz
Es gibt bei dem Computerwetter stabile Wetterlagen, periodische Wetterlagen, chaotische Wetterlagen Chaos in Eppelborn
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Lorenz-Attraktor Chaos in Eppelborn
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Lorenz-Attraktor Chaos in Eppelborn
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Chaotische Wetterlagen
Es gibt keine gleichen Wetterzustände (sonst wäre das Wetter periodisch!) Das Wetter kann nicht jeden Zustand annehmen Chaos in Eppelborn
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Suche nach chaotischen Systemen
Lineare Systeme sind nie chaotisch Also: Versuch mit möglichst einfachen nichtlinearen Systemen mit Anwendungen: Wachstumsmodelle Chaos in Eppelborn
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Exkurs: Lineare Systeme
Ganz einfach: Doppelte Ursache, doppelte Wirkung Dreifache Ursache, dreifache Wirkung ...... Chaos in Eppelborn
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Nichtlinear: Lagerverschleiß
Doppelte Beladung, Sechzehnfacher Verschleiß Chaos in Eppelborn
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Wachstumsmodelle Fibonacci Verhuelst Polya Chaos in Eppelborn
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Fibonacci: Kanickelvermehrung
J1 = 1, E1 = 0 J2 = 0, E2 = 1 J3 = E2 , E3 = E2 + J2 J4 = E3, E4 = E3 + J3 Ji+1 = Ei, Ei+1= Ei + Ji Kaninchen sind unsterblich Chaos in Eppelborn
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Fibonacci: Kanickelvermehrung
F3 = F1 + F2 F4 = F2 + F3 Fi+1 = Fi-1 + Fi Kaninchen sind unsterblich Chaos in Eppelborn
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Einige Fibonaccizahlen
Chaos in Eppelborn
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Verhuelst/Feigenbaum: Das logistische System
Einfaches Bevölkerungsmodell Feigenbaum: Untersuchung des Modells mit Computern Chaos in Eppelborn
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Das Verhuelst/Feigenbaum-System
Wachstum einer Bevölkerung Xi = Größe der Population im i-ten Jahr Maximum der Population = 1 (100 %) Chaos in Eppelborn
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r = Fruchtbarkeitsparameter
Logistisches Modell Annahmen: Xi+1 Xi Xi+1 1 – Xi Also: Xi+1 = r • Xi • (1 – Xi) r = Fruchtbarkeitsparameter Chaos in Eppelborn
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Die einfache Mathematik:
xi+1 = f(xi), f(x) = rx(1-x), 0< r <4 r = r = 4 Chaos in Eppelborn
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Verhuelst: Start: 0,25, r = 1 Chaos in Eppelborn
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Verhuelst: Start: 0,25, r = 2 Chaos in Eppelborn
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Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,3 Chaos in Eppelborn
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Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,5 Chaos in Eppelborn
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Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,6 Chaos in Eppelborn
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Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,9 Chaos in Eppelborn
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Verhuelst: Start: 0,25001, r = 3,9 Chaos in Eppelborn
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Das Feigenbaumdiagramm
Wie entwickelt sich die Population nach langer Zeit für verschiedene Fruchtbarkeiten r? Chaos in Eppelborn
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Nach tausend Perioden 0 < r< 4
Chaos in Eppelborn
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Nach tausend Perioden 0 < r < 3
Chaos in Eppelborn
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Nach tausend Perioden 3 < r< 4
Chaos in Eppelborn
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Nach 2000 Perioden: r > 3,5 Chaos in Eppelborn
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Nach 2000 Perioden: r > 3,8 Chaos in Eppelborn
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Es gäbe noch viel zu sagen zu Feigenbaum:
Feigenbaumkonstante Andere Funktionen Der Satz von Sarkowski Chaos in Eppelborn
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Was ist ein chaotisches System?
Sensibel gegen Anfangsbedingungen Periodische Punkte liegen dicht Jede Teilfläche erreicht jedes Gebiet (Topologische Transitivität) Chaos in Eppelborn
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Einige Themenfelder Dreikörperproblem: Poincaré Turbulenz: Kolmogoroff
VWL-Modelle Wettermodelle Steuerung des Herzschlags Populationsmodelle Chaos in Eppelborn
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Die wichtigste Konsequenz:
Gute Vorhersagen nach n Perioden: Genauigkeit der Anfangsbedingungen wächst exponentiell in n. Vieles wird nie berechenbar sein! Chaos in Eppelborn
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Meine Sicht der Welt: Gott sei Dank ist nicht alles vorhersagbar
Mit Mathe und sonstigen Wissenschaften ist man dennoch gut bedient Grenzwissenschaften sind keine Alternative Chaos in Eppelborn
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Zufall und Wahrscheinlichkeit
4 Wege zu Zufall und Wahrscheinlichkeit: Die Laplace-Methode (Pascal) Kolmogoroffs Axiome (etwa 1930) Kolmogoroffs zufällige Folgen (1960) Chaos (ab 1965) Chaos in Eppelborn
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Laplace-Wahrscheinl. Beispiel: Würfeln mit einem idealen Würfel
Chaos in Eppelborn
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Axiomatische Wahrscheinl.
Kolmogoroff: Grundgesetze für Wahrscheinlichkeiten (Rechenregeln), etwa 1930 Die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten bleibt dem Anwender überlassen Chaos in Eppelborn
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Zufällige Folgen Kolmogoroff (1960): Wann ist eine Folge zufällig?
Beispiele: 0, 0, 0, 0, 0, 0, ..... 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ..... 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, .... 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, Chaos in Eppelborn
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Zufällige Folgen Kolmogoroff:
Eine Folge ist umso zufälliger, je länger ihre Beschreibung ist Chaos in Eppelborn
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Eine neue Sicht: Chaos Würfeln ist chaotisch und erscheint daher als Zufallsexperiment Chaos in Eppelborn
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Mathe in Eppelborn Es geht im Sommer weiter! Geplante Themen:
Überleben mit Statistik Numerologie, ist da was dran Eine lange Nacht der Mathematik in Eppelborn? Chaos in Eppelborn
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