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Veröffentlicht von:Theodor Wessels Geändert vor über 10 Jahren
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Phasenraum Zustandsvektor des Systems:
3. Ergänzung: Nichtlineare Systeme und Chaos 3.1. Dynamische Systeme Literatur: z.B. R.C. Hilborn, ,,Chaos and Nonlinear Dynamics”, Oxford University Press (1994) Zustandsvektor des Systems: Phasenraum Beispiele: Hamiltonsche Systeme: Temperatur, Druck, Strom, Spannung, Bevölkerungszahlen Aktiennotierungen Herz- und Atemfrequenz, Hirnströme
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Kontrollparameter des Systems:
Parameter zur Steuerung der Systemdynamik Beispiele: Massen, Federkonstanten, Reibungskoeffizienten Sensitivität auf Nahrungsangebot, Wetterschwankungen, ... Sensitivität auf Ölpreise, politische Krisen, ... Stärke der äußeren Nervenreize, ... Stochastische Systeme: Aus dem Zustandvektor zur Zeit t 0 folgt die Wahrscheinlichkeits-verteilung des Zustandvektors zu allen Zeiten t > 0:
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Deterministische Systeme: Aus dem Zustandvektor zur Zeit t 0 folgt der Zustandvektors zu allen Zeiten t > 0: Störung durch Rauschen: streng deterministisch: Das System ist unempfindlich auf Rauschen: schwach deterministisch (potentiell chaotisch): andernfalls Beispiel: x x > 0 0
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Kontinuierliche Systeme: „Zeit”-Variable t ℝ kontinuierlich
Wichtigste Klasse: i.a. nicht-linear Autonome Systeme: Dynamik ohne explizite Zeitabhängigkeit z.B. Diskrete Systeme: „Zeit”-Variable t k ℕ0 diskret (Zählindex) Wichtigste Klasse:
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Diskretisierung kontinuierlicher Systeme
System hat „natürliche” Periode T (z.B. Periode einer äußeren Anregung) Sukzessive Durchstoßpunkte durch (n1)-dimensionale Hyperebene im Phasenraum Poincaré-Schnitt z.B.: tk sukzessive Zeitpunkte mit Poincaré-Abbildung:
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Beispiel 1: Harmonischer Oszillator
Kontrollparameter: Zustandsvektor: mit Systemgleichung: Der harmonische Oszillator ist als zweidimensionales kontinuierliches, lineares und autonomes System darstellbar
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Beispiel 2: Getriebenes dissipatives Pendel Kontrollparameter: Zustandsvektor: mit Systemgleichung: Das getriebene dissipative Pendel ist als zweidimensionales kontinuierliches, nicht-lineares und nicht-autonomes System darstellbar
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Beispiel 3: Getriebenes dissipatives Pendel (Alternative)
Kontrollparameter: Zustandsvektor: Systemgleichung: Das getriebene dissipative Pendel ist als dreidimensionales kontinuierliches, nicht-lineares und autonomes System darstellbar
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Beispiel 4: Populationsdynamik
Zustandsvektor (1-dim): Populationszahl einer biologischen Spezies in der k-ten Generation ( k 0 , 1 , ) Kontrollparameter: Vermehrungsfaktor Dämpfungsparameter für Futtermangel Systemgleichung: Umbenennung: Logistische Gleichung (Verhulst-Gleichung) Die logistische Gleichung beschreibt ein eindimensionales diskretes, nicht-lineares System
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3.2. Spezielle Phasenraumgebiete
Fixpunkte: Ein Zustandsvektor heißt Fixpunkt wenn gilt: kontinuierliches System: bzw. äquivalent: diskretes System: bzw. äquivalent:
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Attraktoren stabile Fixpunkte
oszillatorisches Verhalten ii) „Schwingfall” Fixpunkt exponentielles Verhalten i) „Kriechfall” Repulsoren instabile Fixpunkte ii) „Schwingfall” Fixpunkt i) „Kriechfall” oszillatorisches Verhalten exponentielles Verhalten
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Sattelpunkte semistabile Fixpunkte
Grenzzyklen / Grenztori (bei nicht-linearen Systemen) Grenzzyklus 2-dim. Phasenraum instabilerFixpunkt (n 1)-dimensionaler Grenztorus n-dimensionaler Phasenraum Poincaré-Schnitte:
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Beispiel: Lorenz-Attraktor (3-dim.)
Seltsame Attraktoren: stabile aber irreguläre (chaotische) Bewegung im Attraktionsgebiet. Poincaré-Schnitte sind verschlungene selbstähnliche Figuren nicht-ganzzahliger Dimension (Fraktale). Beispiel: Lorenz-Attraktor (3-dim.) 2-dimensionale Projektionen Experimentelle Realisierung dieses Systems Abschnitt
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Poincaré-Schnitte seltsamer Attraktoren
Ikeda-System Getriebenes Pendel mit Dämpfung
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Selbstähnlichkeit des Poincaré-Schnitts des Henon-Attraktors
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⅓ Einschub: Fraktale und gebrochene Dimensionen 1
Beispiel: Koch-Kurven: Ersetze durch ad Infinitum Koch-Schneeflocke C1 C2 C3 C4 C5 1 Dimension: Überdeckung von Ck mit Nk Kästchen 1-dimensionale Figur: 2-dimensionale Figur: d-dimensionale Figur: Koch-Kurven:
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3.3. Stabilität von Fixpunkten
Diskrete Systeme: Fixpunkt, d.h. Jacobi-Matrix zu : Eigenwerte von A: 1 , 2 , , n ℂ zu Hauptachsen 1 , ... , n o.B.d.A.: i 0 ( i 0 nur für singuläre Wahl von Kontrollparametern ) Theorem: Ein Fixpunkt ist bzgl. der Richtung der Hauptachse i stabil, falls i 1, und instabil, falls i 1. Ein Fixpunkt ist insgesamt genau dann stabil, wenn gilt: Bemerkung: Im i 0 exponentielles Verhalten Im i 0 oszillatorisches Verhalten Beweis: Tafel
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Kontinuierliche Systeme: Fixpunkt, d.h.
Jacobi-Matrix zu : Eigenwerte von A: 1 , 2 , , n ℂ zu Hauptachsen 1 , ... , n o.B.d.A.: i 0 ( i 0 nur für singuläre Wahl von Kontrollparametern ) Theorem: Ein Fixpunkt ist bzgl. der Richtung der Hauptachse i stabil, falls Re i 0, und instabil, falls Re i 0. Ein Fixpunkt ist insgesamt genau dann stabil, wenn gilt: Bemerkung: Im i 0 exponentielles Verhalten Im i 0 oszillatorisches Verhalten Beweis: Tafel
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3.4. Chaotische Trajektorien
Betrachte Trajektorien, beschränkt auf endliche Bereiche (um Fixpkte.) chaotisch nicht chaotisch Grenztorus / Fixpunkt Eigenwerte: Lyapunov-Exponent (diskreter Fall) Lyapunov-Exponent (kontinuierl. Fall) Die Trajektorie ist chaotisch, wenn der maximale, entlang der Trajektorie gemittelte, Lyapunov-Exponent 0 Begründung: Tafel Nachbartrajektorie noch nicht ,,zurückgefaltet” ,,klein”
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Praktische Berechnung des maximalen mittleren Lyapunov-Exponenten:
und möglichst kleinen Abstand d0 im Phasenraum. Wähle möglichst kleines „Zeit“-Intervall diskret kontinuierlich Hardware: Rauscheinfluss noch klein Software: Rundungsfehler noch klein t0 2 d2 Referenz-Trajektorie t0 d0 Anfangsauslenkung nicht entlang einer Hauptachse t0 3 d3 t0 d1 d0 d0 d0
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Fixpunkt ist stabil (Attraktor)
3.5. Die Logistische Gleichung Anschauliches Beispiel (1): Identität f(x)x x1 F(x0) in Einheiten von a x1 x0 Fixpunkt x Fixpunkt ist stabil (Attraktor)
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x Anschauliches Beispiel (2): Identität f(x)x Fixpunkt Attraktor
in Einheiten von a Fixpunkt x0 x Repulsor
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x Anschauliches Beispiel (3): Attraktor Identität f(x)x
in Einheiten von a x0 Repulsor x
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x Anschauliches Beispiel (4): Repulsor Identität f(x)x
Grenzzyklus Periode 2 in Einheiten von a x0 Repulsor x
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x Anschauliches Beispiel (5): Repulsor Identität f(x)x
Grenzzyklus Periode 4 in Einheiten von a Repulsor x
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x Anschauliches Beispiel (6): Repulsor Identität f(x)x
in Einheiten von a Chaotische Trajektorie (Seltsamer Attraktor) Repulsor x
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x Anschauliches Beispiel (7): Repulsor Identität f(x)x
Grenzzyklus Periode 5 in Einheiten von a Repulsor x
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neuer stabiler Fixpunkt
Zusammenfassung der experimentellen Resultate: Feigenbaum-Diagramm 0.5 1.0 xk a 1 2 3 4 Fixpunkt 0 stabil Fixpunkt 0 instabil neuer stabiler Fixpunkt a1 a2 a3 Hopf-Bifurkation Periode 2 Bifurkation Periode 4 Chaos stabile Inseln
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Feigenbaumkonstante Eigenschaften: Feigenbaumdiagramme Fraktale
Definition: Feigenbaumkonstante Theorem (Universalität des Chaos): Für glatte Systemfunktionen ist unabhängig vom System und von der Wahl des variierten Kontroll-parameters. Die Feigenbaumkonstante ist transzendent und hat den Wert: Dies gilt sowohl für diskrete als auch für kontinuierliche Systeme.
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Formale Untersuchung der logistischen Gleichung:
Fixpunkte: ex. nur für a 1 Stabilität: 0 a 1 stabil 1 a 3 instabil stabil 3 a 4 instabil instabil
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2 neue stabile Fixpunkte
Bifurkationspunkt a 3 Betrachte iterierte Systemfkt. F∘F: Fixpunkt x Bifurkationspunkt: F(x) 1 Wendepunkt in iterierter Systemfkt. 2 neue stabile Fixpunkte in F∘F mit gleicher Steigung in F∘F entstehen. F bildet diese aufeinander ab Periode 2 Nachrechnen! y x F∘F stabil a 2,8 x 2 neue stabile Fixpunkte x F∘F a 3,0 x F∘F a 3,2 y x y x labil instabil Wendepunkt
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4 neue stabile Fixpunkte entstehen in F∘F∘F∘F Periode 4
Zweite Bifurkation: 4 neue stabile Fixpunkte entstehen in F∘F∘F∘F Periode 4 Wendepunkte y x F∘F∘F∘F instabil labil labil x Beispiel für einen Weg ins Chaos über eine unendliche Bifurkationsfolge. Es gibt noch viele andere Wege! etc.
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nicht-linearer Schwingkreis
Bifurkationsweg ins Chaos: Eine experimentelle Realisierung (Chaos-Generator) Kontrollparameter x2 v L Rm Cm C R U0 U Um nicht-linearer Schwingkreis Übungsaufgabe: Zeige
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Dreidimensionales, nicht-lineares, autonomes, kontinuierliches System
x2 v L Rm Cm C R U0 U Um Umformulierung auf Systemgleichung: Dreidimensionales, nicht-lineares, autonomes, kontinuierliches System
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hohe Messgenauigkeit ,,hohe” Bifurkationsordnung
Labormessungen (T.L. 1998) n 3 2 1 4 5 6 7 n-te Bifurkation hohe Messgenauigkeit ,,hohe” Bifurkationsordnung
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3.6. Der Lorenz-Attraktor T T T T T1 > T2
Flüssigkeit Konvektionszellen X Strömungsgeschwindigkeit Y Z t Zeit Ra Rayleigh Zahl X , Y , Z , t Zahlen T T T T Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichung (nach Lorenz) Typische Werte der Kontrollparameter: ,,Rayleigh-Zahl” ,,Prandtl-Zahl” Standard
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Einzugsbereiche der stabilen Fixpunkte schrunpfen
Fixpunkte und Stabilitätsanalyse (Nachrechnen!) Voraussetzung: p > b 1 Kritische Rayleigh-Zahl: XF YF r stabil instabil 1 rk Wärmeleitung Konvektion Turbulenz Chaos Einzugsbereiche der stabilen Fixpunkte schrunpfen Grenzzyklen, Periodenverdopplung mit sinkendem r bei großen r ≫ rk
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: Zeitkonstante s1, s2: Skalierungsfaktoren
Elektronische Realisierung des Lorenz-Systems (Analoge Rechenschaltung mit Operationsverstärkern) Umrechnung auf physikalische Größen Mathematik Standardwerte Physik : Zeitkonstante ( R C von Integratoren ) s1, s2: Skalierungsfaktoren
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Standardwerte Uy 1 10 0,1 Ux(0) Uy(0) Uz(0) 0,267 Ux Uz
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3.7. Anhang: Über Operationsverstärker ( OpAmp )
Der ideale Operationsverstärker Ua U U I I U , U , Ua gemessen gegen Erde U , U , Ua U0 , U0 U0 Versorgungsspannung, typisch 15 V Unendliche Verstärkung: mit d.h. Ua endlich (nicht gesättigt) Leistungsfreiheit:
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3.7.2. Gegenkopplung Ua I 0 I 0 ZP Z1 Z2 Zn I1 I2 In
IP Frequenzraum (Wechselstrom): Zeit-Darstellung:
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a) Addierer Ua I 0 I 0 RP R1 R2 Rn I1 I2 In U 0 U1 U2
Un IP a) Addierer Ua U1 U2 Un c1 c2 cn Schaltsymbol
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b) Integrierer Ua I 0 I 0 C R1 R2 Rn I1 I2 In U 0 U1 U2
Un IP b) Integrierer Zeitkonstante (beliebig) Ua U1 U2 Un Schaltsymbol r1 r2 rn
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für Initialisierungszeiten
Ua I 0 I 0 C R1 R2 Rn I1 I2 In U 0 U1 U2 Un IP Ua(0) R t ≫ RC stationär, 0 symmetrischer Addierer für Initialisierungszeiten Ua U1 U2 Un r1 r2 rn Ua(0) Physikalisch: Initialisierung bedeutet Aufladung des Kondensators mit Q C Ua(0)
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c c) Spannungsfolger Ua U 0 Ui Anwendung: Koeffizientengeber
(belastungsunabhängiger Spannungteiler) R Ui Ua Rx R Rx c Schaltzeichen Ui Ua
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Belasteter Koeffizientengeber:
Ui Ua Rx R Rx RL UL unabhängig von RL Schaltung ohne Spannungsfolger: abhängig von RL ( lastabhängig) R Ui Rx R Rx RL UL
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k 3.7.3. Nichtlineare Bauelemente basierend auf OpAmps
Kombiniere OP-Verstärker mit Dioden, Transistoren, ... ( nicht-lineare Strom-Spannungs-Kennlinie) unbeschränkte Möglichkeiten Beispiel 1: Vier-Quadranten-Multiplizierer Ua U1 U2 k oft: Aus Multiplizierern ableitbar: Quadrierer, Dividierer, Radizierer Beispiel 2: Funktionsgeber Ua Ue f Typische Spezialbausteine: f abs, sign, sin, cos, tan, log, exp, ...
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U, U, U Dimension einer Spannung
Rechenschaltung für gedämpfte Schwingungen Problem: Gegeben: Wahl der Zeitkonstante: Zeit in Einheiten von : Einsetzen Zahl ohne Einheiten U, U, U Dimension einer Spannung
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Realisierung als Rechenschaltung:
1 U0 1 10
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Die elektronische Differentialgleichung: U 1 U 1 1
10 U 1 U 1 darstellbar mit dieser Schaltung Schwingfall aperiodischer Grenzfall Kriechfall
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