Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Michael Hauhs / Gunnar Lischeid Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis Kausalität, Transferfunktionen, multivariate Methoden Skalierung, (Multi-)Fraktale Komplexität und Information von Zeitreihen Wavelets

Beispiel: Fernsehturm "Telemax" (280 m) (R. Heer, Uni Hannover) Dargestellt ist das Periodogramm der Auslenkungen eines GPS-Sensors am Turm Frequenzangaben in [1/Tag] Frequenz 0,16 -> 6,25 Tage Frequenz 0.07 -> 14,3 Tage

Kumulatives Periodogramm (normiert auf Summe = 1) Bei weissem Rauschen: gerade Linie von (0,0) nach (, 1) => Signifikanztest gegen weißes Rauschen! ε %-Signifikanz: Senkrechter Abstand zur Geraden: mit ε 0,01 0,05 0,10 0,25 dε 1,63 1,36 1,22 1,02 Signifikanztest: Hipel and Mcleod (1994), S. 78

Kumulatives Periodogramm: Beispiel Lehstenbach/Fichtelgebirge, Tageswerte

Endliches weißes Rauschen

Spektrale Dichte: Varianz der Schätzung (W.W.S. Wei, Time Series Analysis, Addison Wesley 1990)

Periodogramm als Schätzer Periodogramm als Schätzer für das Spektrum des die Zeitreihe erzeugende Prozesses: positiv: Erwartungswert des Periodogramms konvergiert mit zunehmender Länge der Zeitreihe negativ: die Varianz des Schätzers nimmt nicht mit zunehmender Länge des Datensatzes ab, da neu hinzukommende Information in die Verwendung von mehr Fourier-Stützstellen, und nicht in die Verringerung der Varianz an den einzelnen Stützstellen fließt: Erhöhung der Abtastrate => Verschiebung der Nyquist-Frequenz, d.h., Erfassung neuer Spektralanteile Verlängerung der Zeitreihe bei gleicher Abtastbreite => dichtere Verteilung der gleichbleibend ungenauen Schätzwerte. => verläßlichere Spektralschätzer zur Schätzung des der Zeitreihe zugrunde liegenden Prozeßspektrums gesucht

Spektogramm = Darstellung der Spektraldichten erfordert in der Regel eine Glättung des Periodogramms zur Verringerung von Bias und Varianz und zur Erhöhung der Stabilität der Schätzer Glättung erfolgt i.d.R. über Fenstertechniken = stückweise Gewichtung der Daten in der Zeitdomäne: Bartlett-Fenster in der Frequenzdomäne: Daniell-, Tukey-Hanning-, Hamming-, Parzen-Fenster

Typische Spektralschätzer: Versatzfenster

Fouriertransformation Jede periodische Zeitreihe x(t) lässt sich auch im Frequenzraum darstellen: => Verwendung der selektiven Fouriertransformation als Filter: Tiefpassfilterung: Eliminieren der hochfrequenten Anteile Hochpassfilterung: Eliminieren der niederfrequenten Anteile Bandpassfilterung: Eliminierung aller Anteile außerhalb eines bestimmten Frequenzbereiches

Fast Fourier Transformation (FFT) Numerisch schnelles Verfahren für Werte: lediglich statt Multiplikationen erforderlich Prinzip: Die diskrete Fourier-Transformation eines Datensatzes der Länge N ist gleich der Summe der beiden diskreten Fouriertransformationen der Länge N/2 (getrennt für geradzahlige und ungeradzahlige t )

Fast Fourier Transformation (FFT) Index g: für geradzahlige t Index u: für ungeradzahlige t

Fouriertransformation Für unendlich lange Zeitreihen gibt es alle Frequenzen Spektrum von Merkmale: umkehrbar existiert für absolut integrierbare Funktionen zeitglobal Stationarität prinzipiell erforderlich

Powerspektrum = Leistungsspektrum = Power Spectral Density (PSD) = Verallgemeinerung der Spektralanalyse für nicht-periodische, endliche (und diskrete) Funktionen methodisch: fensterweise Durchführung einer Fouriertransformation der Autokorrelationsfunktion übliche Darstellung: doppelt-logarithmischer Plot des Leistungsspektrums ( 'power-law' Charakteristik) bitte beachten: im Detail uneinheitliche Nomenklatur (z.B. Art der Normalisierung, Berücksichtigung negativer Frequenzen, etc.)

Powerspektrum = Leistungsspektrum Def.: Energie eines Signals Leistungsspektrum, Powerspektrum, spektrale Dichte,... Nachteil: keine Phaseninformation mehr => Viele Prozesse mit gleichem Powerspektrum!

Faltungstheorem Faltung (Convolution) zweier Funktionen:  s. Orthogonalität / Korrelation! Faltungstheorem:  Die Fouriertransformation der Faltung zweier Funktionen ist gleich dem Produkt der Fouriertransformationen der einzelnen Funktionen. Anwendung: Das Leistungsspektrum einer Zeitreihe ist die Fouriertransformierte ihrer Autokorrelation (Wiener-Khintchin-Theorem)

Powerspektrum = Fouriertransformation der Autokorrelationsfunktion

Farbiges Rauschen  Klassifizierung nach Steigung  der an den abfallenden Ast der Kurve im doppelt-logarithmischen Plot gefitteten Gerade  = 0  weißes Rauschen: ohne jegliche Struktur, frequenzunabhängige spektrale Energiedichte 0 <  < 1  rotes Rauschen: größere Varianz der langperiodischen (niederfrequenten) Anteile => Tiefpassfilter; autokorrelierte Daten ("Trägheit") -1 <  < 0  blaues Rauschen: größere Varianz der kurzperiodischen (hochfrequenten) Anteile => Hochpassfilter 1/f Rauschen: spektrale Dichte ist umgekehrt proportional zur Frequenz (1/f Rauschen i.e.S. = rosa Rauschen:  = 1 bzw. 0,5 <  < 1,5)

Beispiele für Powerspektren I Regen, β = 0.36 Abfluss, β = 1.15 Lehstenbach/Fichtelgebirge

Beispiele für Powerspektren II Regen, β = 0.28 Abfluss, β = 1.53 Lange Bramke/Harz

Beispiel: Cl im Abfluss kleiner Einzugsgebiete (Kirchner et al. 2000)

Beispiel: Cl im Abfluss kleiner Einzugsgebiete (Kirchner et al. 2000)

Powerspektren für nicht-äquidistante Daten: Lomb-Scargle-Normalisierung Messungen der Zeitreihe zu beliebigen Zeitpunkten tj : für und J.D. Scargle (1982): Studies in astronomical time series analysis. II. Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data. The Astrophysical Journal 263, 835-853 (1982); zitiert z.B. von Kirchner et al. (2000) Lomb, N.R. (1976), Astrophysical Space Science 39 = beste (im least squares Sinne) Approximation

Ein ziemlich lückiger Datensatz...

...und sein Spektrum

Beispiel: Abflusspegel mit großer Lücke

Lomb-Scargle-Spektrum im Vergleich

Ausblick auf weitere Fouriermethoden Multivariate Fouriertransformationen Kreuzspektren (Kohärenz zwischen zwei Zeitreihen) Skalierung, Potenzgesetze Behandlung langreichweitiger Spektren Zeitlokale Spektren: Zeit-Frequenz-Diagramme, Wavelets

Beispiel: Kreuzspektrum (Mercube-Einzugsgebiet; Molénat et al. 1991) Niederschlag Abfluss Kreuz-spektrum Molénat, J., P. Davy, C. Gascuel-Odoux, P. Durand (1999). "Study of three subsurface hydrologic systems based on spectral and cross-spectral analysis of time series." Journal of Hydrology 222: 152-164.

Aufgabe Führen Sie eine Fourieranalyse des Niederschlags-Temperatur- Abfluss-Datensatzes durch. Rekonstruieren Sie die Zeitreihen; führen Sie dabei eine Bandpassfilterung durch, indem Sie nur die vorherrschenden Frequenzen berücksichtigen. Erstellen Sie das Powerspektrum der Niederschlags-, Temperatur- und Abflussdaten, und bestimmen Sie die Steigung β der Regressionsgeraden im doppelt-logarithmischen Plot.