Globaler Ansatz Hough-Transformation stammt aus Computer-Graphik 2-dimensional (Bild-Verarbeitung) Verallgemeinerung auf d-dimensionale Räume Übertragung des Clustering in einen neuen Raum (“Parameter-Raum” der Hough-Transformation) Einschränkung des Suchraumes (von nicht-abzählbar unendlich auf O(n!)) übliche Suchheuristik für Hough-Transformation: O(2d)  effiziente Suchheuristik! Zimek: Correlation Clustering

Hough-Transformation gegeben: gesucht: lineare Unterräume, in denen viele Punkte liegen Idee: Abbildung von Punkten im Datenraum (Bild-Raum) auf Funktionen im Parameter-Raum x y picture space parameter space    p1 Zimek: Correlation Clustering

d-dimensionale Polarkoordinaten ei, 1  i  d: Orthonormal-Basis x = (x1,…,xd)T: d-dimensionaler Vektor auf Hypersphäre um den Ursprung mit Radius r ui: Einheitsvektor in Richtung der Projektion von x auf den Unterraum span(ei,…,ed) 1,…,d-1: i Winkel zwischen ui und ei span(e2,e3) e1 e2 e3 x u2 2 u3 3=0 u1 1 Zimek: Correlation Clustering

Parametrisierungsfunktion Länge des Normalenvektors mit mit den Winkeln 1,…,d-1 für die Gerade durch Punkt p: y  s p3 f p3 f p2 p2 f p1 p1 (s, s) s s x  picture space parameter space Zimek: Correlation Clustering

Eigenschaften der Transformation Punkt im Datenraum  Sinusoid im Parameterraum Punkt im Parameterraum  Hyperebene im Datenraum Punkte auf gemeinsamer Hyperebene im Datenraum  Sinusoide mit gemeinsamem Schnittpunkt im Parameterraum Schnitt von Sinusoiden im Parameterraum  Hyperebene durch die entsprechenden Punkte im Datenraum Zimek: Correlation Clustering

Correlation Clustering mittels Hough-Transformation dichte Regionen im Parameterraum  lineare Strukturen im Datenraum (Hyperebenen mit   d-1) exakte Lösung: Bestimmung aller Schnittpunkte nicht durchführbar zu exakt approximative Lösung: Grid-basiertes Clustering im Parameterraum  finde Zellen, die von mindestens m Sinusoiden geschnitten werden Suchraum begrenzt, aber in O(rd) möglichst reine Cluster erfordern großes r (Auflösung des Grids) Zimek: Correlation Clustering

Algorithmus CASH: effiziente Suchheuristik CASH: Clustering in Arbitrary Subspaces based on the Hough-Transform [SIAM DM08, special issue SAM] Parameterraum wird rekursiv achsenweise geteilt mit einer festen Ordnung der Achsen [1, … , d-1,  ] Fortsetzung immer mit dem Hyperquader, der die meisten Punkte repräsentiert (Prioritätssuche) Zimek: Correlation Clustering

Algorithmus CASH: effiziente Suchheuristik Hyperquader, die weniger als m Punkte repräsentieren, können ausgeschlossen werden  frühzeitiges Ende des Suchpfades Hyperquader, die nach s rekursiven Teilungen von mindestens m Sinusoiden geschnitten werden, repräsentieren ein Correlation Cluster (mit   d-1) Punkte des Clusters (bzw. entsprechende Sinusoide) werden aus allen anderen Hyperquadern entfernt rekursive Untersuchung des Clusters nach Transformation in den entsprechenden d-1-dimensionalen Unterraum, um Correlation Cluster mit   d-2 etc. zu finden Zimek: Correlation Clustering

Algorithmus CASH: Eigenschaften findet beliebige Anzahl von Clustern Benutzerangaben: Suchtiefe (Anzahl der Splits  maximale Größe einer Cluster-Zelle/Genauigkeit) Mindestdichte einer Zelle ( minimale Anzahl von Punkten im Cluster) Dichte einer Zelle bezüglich Parameterraum beruht nicht auf der “locality assumption” für Datenraum  globales Verfahren für Correlation Clustering Suchheuristik skaliert linear in Anzahl der Punkte, aber durchschnittlich mit ~ d3 ABER: worst case-Degeneration zu vollständiger Aufzählung (exponentiell in d) ist theoretisch möglich Zimek: Correlation Clustering