Mittelwert, Median, Quantil Deskriptive Statistik Mittelwert Median, Quantil

Projekt: Inge Projekt: „Inge“

Körpergrößen [cm] von 111 16-jährigen Mädchen Urliste Körpergrößen [cm] von 111 16-jährigen Mädchen 171, 154, 171, 160, 162, 154, 173, 168, 163, 164, 161, 177, 162, 168, 168, 168, 165, 174, 166, 164, 159, 148, 159, 165, 169, 156, 157, 166, 172, 158, 166, 165, 175, 161, 166, 159, 177, 158, 157, 170, 165, 164, 168, 172, 160, 166, 164, 165, 173, 170, 174, 164, 166, 156, 168, 154, 171, 163, 165, 157, 168, 176, 159, 171, 161, 162, 169, 165, 177, 164, 176, 163, 172, 163, 165, 168, 170, 155, 165, 161, 163, 168, 159, 153, 164, 167, 168, 160, 163, 166, 172, 165, 166, 158, 153, 178, 160, 160, 161, 177, 164, 168, 161, 166, 179, 169, 173, 166, 177, 168, 167 Minimum := 148 Mittelwert := 165.3 Maximum := 179

Urliste sortiert, Median 153 153 153 153 153 154 155 155 155 155 156 156 157 157 157 157 157 158 158 158 158 158 158 158 159 159 159 160 161 161 161 161 161 161 161 161 162 162 162 162 162 162 162 162 162 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 164 164 164 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 166 166 166 167 167 167 167 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 168 168 169 169 169 169 169 169 169 169 169 170 170 170 171 173 173 176 176 181 182 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 Median = „der Wert in der Mitte der Liste“ ACHTUNG: Wir beginnen die Zählung mit Null Mitte := 0,5 * (n – 1) = 55

Warum ist der Median so beliebt? Er ist gut verständlich! Er teilt die Ergebnisse in zwei gleiche Teile: diejenigen die kleiner bzw. größer sind Er ist meistens anwendbar! Für metrische und für qualitativ ordinale Merkmale Er ist graphisch gut darstellbar! Allein die Bestimmung des Median ist sehr aufwendig, was ihn bei Mathematikern und Programmierern nicht so beliebt macht!!!

Analog zum Median erklärt man das Quantil: 153 153 153 153 153 154 155 155 155 155 156 156 157 157 157 157 157 158 158 158 158 158 158 158 159 159 159 160 161 161 161 161 161 161 161 161 162 162 162 162 162 162 162 162 162 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 164 164 164 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 166 166 166 167 167 167 167 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 168 168 169 169 169 169 169 169 169 169 169 170 170 170 171 173 173 176 176 181 182 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 Analog zum Median erklärt man das Quantil: Beispiel: 25%-Quantil oder 0,25-Quantil teilt die Ergebnisse an der „25%-Linie“ also „25% sind kleiner, d.h. 75% sind größer“ = 160,5

Wie bestimmt man den zu einem Quantil Quantil (Berechnung) Wie bestimmt man den zu einem Quantil gehörenden Wert einer Verteilung? n ist die Anzahl der Werte in der Urliste! q ist das Quantil ( 0 < q < 1) [also ... !!!] Da wir bei Null beginnen zu zählen, hat der gesuchte Wert die Position p := q * (n – 1) ... und wenn p keine ganze Zahl ist ... ? (z.B. 28,73) Dann bestimmen wir das Ergebnis durch Interpolieren: Also: P28 + (P29 – P28) * 0,73

Inge-Grafik

Aufgabe Aufgabe: Landauf, landab wird behauptet, dass Mädchen in der Pubertät besonders stark wachsen. Von einem sogenannten „Wachstumsschub“ ist da die Rede! In unserer Graphik, die wir soeben erstellt haben, ist davon offensichtlich nicht viel zu sehen?!? Wie kann man den viel zitierten „Wachstumsschub“ aus dem gegebenen Datenmaterial herleiten bzw. mit seiner Hilfe „beweisen“?

das ist ein griechischer Buchstabe: Mittelwert Mittelwert Weil der Mittelwert, oder wie man bei uns auch sagt „Durchschnitt“, allen sehr vertraut ist, formulieren wir diesen Begriff zur Abwechslung einmal so, wie es echte Wissenschaftler machen würden: Seien x1, x2, x3, ... , xn Merkmalsausprägungen einer Urliste mit n Daten eines metrischen Merkmals, dann ist der Mittelwert x dieser Urliste wie folgt definiert: das ist ein griechischer Buchstabe: genannt Sigma n x =  xi 1 n i=1

zu 1. ... die „Formel“ ist doch wirklich simpel ?!? Eigenschaften Der Mittelwert ist bei Mathematikern sehr beliebt, weil er 1. leicht zu berechnen ist, 2. eine universelle, grundlegende Idee symbolisiert 3. „wunderschöne“ Eigenschaften hat zu 1. ... die „Formel“ ist doch wirklich simpel ?!? zu 2. ... die Idee vom „Gleichgewicht“ zu 3. ... die Summe der „Differenzen“ ist NULL

Mittelpunkt Anmerkungen zu den Begriffen: Mittelpunkt, Mittelwert und Schwerpunkt Mittelpunkt: Mittelpunkt eines Kreises Mittelpunkt einer Strecke Mitte zwischen zwei Zahlen Mittelpunkt eines regelmäßigen Vielecks Mittelpunkt eines Rechtecks Mittelpunkt eines Würfels/Kugel aber: Mittelpunkt eines Dreiecks? Mittelpunkt eines Trapezes? Mittelpunkt eines Polygons (=Vielecks)? Mittelpunkt eines Körpers?

Mittelwert (= Durchschnitt): Anmerkungen zu den Begriffen: Mittelpunkt, Mittelwert und Schwerpunkt Mittelwert (= Durchschnitt): Mitte zwischen zwei Zahlen Mittelwert (Durchschnitt) von Zahlen Durchschnitts-Geschwindigkeit Durchschnittliche Veränderung Durchschnittlicher Anteil Mittelwert <> häufigster Wert (=Modus) Mittelwert <> Wert in der Mitte (=Median) Vorsicht ist geboten bei: Durchschnitts-Geschwindigkeit Durchschnittliche Veränderung Durchschnittlicher Anteil aber:

Schwerpunkt Anmerkungen zu den Begriffen: Mittelpunkt, Mittelwert und Schwerpunkt Schwerpunkt: Mitte zwischen zwei Zahlen Mitte einer Strecke Schwerpunkt eines Dreiecks (DynaGeo-Demonstration) Schwerpunkt einer Fläche Schwerpunkt eines Körpers aber: „Schwerpunkt“ beim Hebel „Schwerpunkt“ beim Mobile Besonderheiten: Schwerpunkt beim Hochsprung

Schwerpunkt einer Punktwolke