Wir haben gemogelt !

Untersuchung der Flächeninhalte unter dem Graphen im Intervall [0;b] für folgende Funktionen:

Untersumme der Rechtecksflächen Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer größer werden, so gilt:

Untersumme der Rechtecksflächen Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer größer werden, so gilt:

Untersumme der Rechtecksflächen Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer größer werden, so gilt:

Wie bestimmt man bei einer beliebigen Potenzfunktion den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion im Intervall von [0; b] ? Wir wissen: Wir vermuten: Funktionsterm Flächeninhalt unter dem Graphen im Intervall [0; b]

Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit f = xn im Intervall [0; b] beträgt: Wir „leiten auf“ !

Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von Potenzfunktionen Stelle x f(x) g(x) f(x)+g(x) 1 2 4 6 3 9 12 16 20 5 25 30 x x² x + x²

Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von Potenzfunktionen Fläche unter Gf auf [0;b] Fläche unter Gg auf [0;b] Fläche unter Gf+g auf [0;b] 1 0,5 0,33 0,83 2 2,67 4,67 3 4,5 9 13,5 4 8 21,33 29,33 5 12,5 41,67 54,17 Stelle x f(x) g(x) f(x)+g(x) 1 2 4 6 3 9 12 16 20 5 25 30 x x² x + x²

Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von Potenzfunktionen Stelle x f(x) g(x) f(x)+g(x) 1 2 4 8 12 3 9 27 36 16 64 80 5 25 125 150 x x² x³ x² + x³

Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von Potenzfunktionen Fläche unter Gf auf [0;b] Fläche unter Gg auf [0;b] Fläche unter Gf+g auf [0;b] 1 0,33 0,25 0,58 2 2,67 4 6,67 3 9 20,25 29,25 21,33 64 85,33 5 41,67 156,25 197,92 Stelle x f(x) g(x) f(x)+g(x) 1 2 4 8 12 3 9 16 25 32 48 5 64 91 x x² x³ x² + x³

Beobachtung zur Summe von Potenzfunktionen Wenn man zwei Potenzfunktionen addiert, addieren sich die Flächeninhalte zwischen den Graphen und der x-Achse.

Wir betrachten jetzt Faktoren vor einer Potenzfunktion Stelle x f(x) g(x) 1 3 2 6 9 4 12 5 15 x 3x

Wir betrachten jetzt Faktoren vor einer Potenzfunktion Fläche unter Gf auf [0;b] Fläche unter Gg auf [0;b] 1 0,5 1,5 2 6 3 4,5 13,5 4 8 24 5 12,5 37,5 Stelle x f(x) g(x) 1 3 2 6 9 4 12 5 15 x 3x

Beobachtung zum Faktor bei Potenzfunktionen Wenn man eine Potenzfunktion mit einem Faktor multipliziert, wird auch der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse mit dem Faktor multipliziert.

Aufgabe: Bestimme den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit im Intervall [0; 6] .

Null? - Oups! Was ist hier passiert? Wir betrachten den Graphen der Funktion.

Das Integral Man versteht unter dem Integral von a bis b der Funktion f die Summe der orientierten Flächeninhalte . Beim orientierten Flächeninhalt sind die Flächeninhalte ober-halb der x-Achse mit einem positiven und unterhalb der x-Achse mit einem negativen Vorzeichen versehen. +A1 +A3 -A2 -A4

Mit dem Rechteck-Verfahren wird also das Integral berechnet Mit dem Rechteck-Verfahren wird also das Integral berechnet! Das Integral stimmt genau dann mit dem Flächeninhalt zwischen dem Graph und der x-Achse überein, wenn der Graph auf dem Intervall nicht unterhalb der x-Achse verläuft.

Potenzfunktion Es gilt: a b

Wollen wir nun den Flächeninhalt der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit im Intervall [0; 6] bestimmen, so müssen wir die Teilflächen bis zu den Nullstellen bestimmen.

Drei Fragen/Aufgaben: 1. Was versteht man unter einem Integral. 2 Drei Fragen/Aufgaben: 1. Was versteht man unter einem Integral? 2. Formuliere eine „Summen- und Faktorregel“ für die Intergralrechnung. 3. Wann stimmt der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse mit dem Integral überein?

Hausaufgabe: BASICS: S. 181 – 183 durcharbeiten, ggf. Fragen notieren S. 185 Nr. 6 a - d Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion f mit f(x) = -x²+3x mit der x-Achse einschließt. (Tipp: Mach eine Skizze!) TOPS: Erläutere bzw. begründe den Begriff des „orientierten Flächeninhalts“