Matthias Ludwig PH Weingarten Raumkurven und Schnitte Ein Plädoyer für Funktionales Denken in der Raumgeometrie Matthias Ludwig PH Weingarten
Bestandsaufnahme Funktionen fast nur eindimensional Formeln als Funktionen in der Raumgeometrie Kaum dynamische Prozesse Keine Bewegungen in der Raumgeometrie Viel Potential vorhanden Matthias Ludwig
Einführung Funktionales Denken => Algebra Bekannte Beispiele aus der Raumgeometrie Die Füllkurven Matthias Ludwig
Füllkurven Matthias Ludwig
Füllkurven V h V h Matthias Ludwig
Füllkurven V h V h Matthias Ludwig
Sektglas und Eiskugel Wie voll muss ein kegelförmiges Sektglas gefüllt werden, damit es halb voll ist? (50%, 66%, 73%, 79%, 85%) Um wie viel Prozent muss der Radius der Eiskugel zunehmen, damit ein fairer Eisverkäufer den doppelten Preis verlangen kann? (16%, 26%, 36%, 41%, 50%, 100%) Matthias Ludwig
Sektglas und Eiskugel Erstaunen!? Beide Volumenformeln kann man in Abhängigkeit einer Größe (Höhe oder Radius) darstellen. Matthias Ludwig
Sektglas und Eiskugel Funktionales Argumentieren Vollrath 1989 Matthias Ludwig
TRaumkurven Matthias Ludwig
TRaumkurven Matthias Ludwig
TRaumkurven Matthias Ludwig
TRaumkurven Matthias Ludwig
TRaumkurven Matthias Ludwig
TRaumkurven Matthias Ludwig
TRaumkurven Für jeden Punkt auf der Rotationsfläche gilt: x2+y2=r(z)2 Der Radius r hängt also von der Höhe z ab. Der Graph von r(z) beschreibt die Kurve welche die Rotationsfläche erzeugt. Im Falle der Parabel ist es eine Wurzel. Matthias Ludwig
TRaumkurven Der Kehrwert von a gibt die Anzahl der Umschlingungen pro Periode an. Matthias Ludwig
TRaumkurven Matthias Ludwig
TRaumkurven Erzeugungsweise durch Überlagerung Es bewegt sich ein Punkt auf der Kurve welche die Rotationsfläche erzeugt. Durch Superposition der beiden Bewegungen erhält man die Raumkurve. Matthias Ludwig
TRaumkurven Matthias Ludwig
TRaumkurven Matthias Ludwig
TRaumkurven Matthias Ludwig
Formen als Funktionswerte Idee des Beweglichen Denkens (Roth 2002) Im zweidimensionalen Raum erhält man Ortslinien oder „neue Kurven (Weth 1997) Im dreidimensionalen Raum kann man Ebenen durch Körper drehen und gleiten lassen. Je nach Schnittwinkel erhält man unterschiedlich geformte Schnittflächen. Matthias Ludwig
Die Kegelschnitte Sicher das berühmteste Beispiel Als Funktionswerte in Abhängigkeit des Schnittwinkels erhält man geoemtrische Formen bzw. algebraische Kurven. Matthias Ludwig
Die Kegelschnitte Matthias Ludwig
Die Würfelschnitte von Max Bill Ein Würfel wird durch Schnitte mit einer Ebene in kongruente Teilkörper zerlegt bzw. halbiert. Je nach Schnittwinkel erhält man verschiedene Schnittflächen. Welche? Matthias Ludwig
Die Würfelschnitte von Max Bill Matthias Ludwig
Die Würfelschnitte von Max Bill Matthias Ludwig
Stetige Würfelschnitte Matthias Ludwig
Stetige Würfelschnitte Matthias Ludwig
Eine Würfelschnittfunktion Matthias Ludwig
Eine Würfelschnittfunktion Matthias Ludwig
Eine Würfelschnittfunktion Matthias Ludwig
Eine Würfelschnittfunktion Matthias Ludwig
Tetraederschnitte über funktionales Denken zu einer genialen Verpackung Welche Schnittflächen können bei einem Tetraeder auftreten? Dreiecke Spezielle Vierecke Matthias Ludwig
Tetraederschnitte Matthias Ludwig
Tetraederschnitte Matthias Ludwig
Tetraederschnitte Mögliche Fragestellungen: Wie verändert sich der Flächeninhalt der Schnittfläche in Abhängigkeit der Schnitthöhe? Wie verändert sich der Umfang des Rechtecks in Abhängigkeit der Schnitthöhe? Matthias Ludwig
Tetraederschnitte Wie verändert sich der Umfang des Rechtecks in Abhängigkeit der Schnitthöhe? Antwort: Er ändert sich gar nicht. Der Umfang ist eine Konstante. U=2s Matthias Ludwig
Tetraederschnitte Matthias Ludwig
Tetraederschnitte Matthias Ludwig
Tetraederschnitte 2s Matthias Ludwig
Anwendung im Alltag Matthias Ludwig
Anwendung im Alltag Matthias Ludwig
Anwendung im Alltag Matthias Ludwig
Vorläufiger Abschluss Durch Funktionen Situationen erfassen und beherrschen ist nach Vollrath ein wichtiges Ziel auf dem Weg zum Funktionalen Denken. Ein letztes Beispiel: Matthias Ludwig
Traumschnitte vom Dodekaeder zum großen Dodekaeder Matthias Ludwig
Matthias Ludwig
Matthias Ludwig
Matthias Ludwig
Matthias Ludwig
Matthias Ludwig
Matthias Ludwig
Matthias Ludwig
Matthias Ludwig
Matthias Ludwig
Matthias Ludwig
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Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit Für weitere Fragen und Informationen ludwig@ph-weingarten.de mathematik.ph-weingarten.de/~ludwig Matthias Ludwig