Baireuther – Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen 1. Arithmetische Grundvorstellungen - Begriffsbildung 2. Grundvorstellungen von Zahlen und Zahlenräumen 2.1. Zahlaspekte 2.2 Zahldarstellung in Lernmaterialien 3. Grundvorstellungen zu Addition und Subtraktion 3.1. Aufbau von Operationsverständnis 3.2. Ausbau flexibler Rechenkompetenzen 3.3. Schulung effektiver Rechenkompetenzen 3.4. Rechnen in erweiterten Zahlbereichen 4. Grundvorstellungen zu Multiplikation und Division 4.1. Aufbau von Operationsverständnis 4.2. Ausbau flexibler Rechenkompetenzen (4.3. Schulung effektiver Rechenkompetenzen 4.4. Rechnen in erweiterten Zahlbereichen) 5. Aufbau von Arithmetischen Grundvorstellungen 5.1. Aufgabenkultur 5.2. Integration verschiedener Grundvorstellungen

Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen - Unterrichtskultur Grundvorstellung - Begriffsbestimmung Erweiterte und modifizierte Beschreibung  mentale (visuelle) Repräsentation  bedeutungsvoll durch sinnstiftende Lernerfahrungen  förderlich für operatives Handeln  tragfähig  ausbaufähig  integrationsfähig Grundvorstellung liegt dem systematischen mathematischen Handeln zugrunde

Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen – Unterrichtskultur Mentale oder visuelle Repräsentation sinn- und bedeutungsvoll E-I-S-Prinzip (J.S. Bruner 1972) Lernerfahrungen müssen sowohl auf der enaktiven wie auf der ikonischen als auch auf der symbolischen Ebene angesiedelt sein. Prinzip vom Intermodalen Transfer: Lernerfahrungen sollen so angelegt sein, dass auf Dauer die Übertragung zwischen allen drei Repräsentationsmodi möglich ist.  Terme und Rechenhandlungen regelmäßig interpretieren

Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen – Unterrichtskultur Offen und förderlich für operatives Handeln Operatives Prinzip (H. Aebli 1963) Die aus konkreten Lernhandlungen (durch Verinnerlichung) erworbenen mentalen Operationen sollen sich in Gruppierungen organisieren Kennzeichen kognitiver Gruppierungen: Kompositionsfähigkeit Assoziativität Reversibilität Identität Konkrete Rechenhandlungen in systematischen Zusammenhang einbetten: Nachbaraufgaben Umwegaufgaben Umkehraufgaben Ergebnisgleiche Aufgaben jeweils anschaulich interpretieren

Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen – Unterrichtskultur Tragfähig für größere Aufgabenbereiche Prinzip der mathematischen Variation (Z.P. Dienes 1970) Damit es beim Schüler zur Bildung eines Begriffes (Verfahrens ..) kommt, müssen genügend variierte repräsentative Beispiele vorliegen. speziell: Funktionale Variation Damit die Wirkung einer mathematischen Zuordnung deutlich wird, müssen die Eingaben systematisch variiert werden. Was passiert, wenn ...? speziell: Generalisierende Variation Damit die Allgemeingültigkeit einer mathematischen Regel (einer Formel, eines Verfahrens) erkennbar wird, muss ausgehend von einfachen Beispielen ein beliebig fortsetzbares Netz von Erfahrungen entstehen. Was passiert, wenn ...?

Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen – Unterrichtskultur Ausbaufähig bei Erweiterungen des Zahlenraumes Die Behandlung eines Wissensgebietes soll so erfolgen, dass auf höherem Niveau ein Ausbau möglich wird Die Behandlung eines Wissensgebietes ist nicht aufzuschieben, bis sie abschließend möglich erscheint Spiralprinzip (Bruner 1972) Prinzip des vorwegnehmenden Lernens Prinzip der Fortsetzbarkeit Welche Vorstellungen haben wir bei „einfacheren“ Beispielen ?

Baireuther – Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen Ausbau der „digitalen“ Grundvorstellung Einmaleins Produkt großer Zahlen

Baireuther – Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen Ausbau der „digitalen“ Grundvorstellung Dezimal-brüche Die systematische Bestimmung von Flächeninhalten ist Grundvorstellung für die systematische Berechnung von Produkten. Brüche Diese Vorstellung ermöglicht auf allen Ebenen wichtige (arithmetische) Erfahrungen zur Multiplikation Deutung

Baireuther – Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen Ausbau der „analogen“ Grundvorstellung a) Vervielfachen mit Skalen Multiplikation als Operation mit Skalen b) Umkehrungen: Division - Messen - Teilen

Baireuther – Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen Ausbau der „analogen“ Grundvorstellung c) Dezimalbrüche Brüche d) Rationale Zahlen

Baireuther – Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen Ausbau der Grundvorstellung „proportional“ a) Vervielfachung des Zahlenraumes – analoge Skalen b) Vervielfachung mit großen Zahlen

Baireuther – Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen Ausbau der Grundvorstellung „proportional“ c) Division als direkte Umkehroperation d) Proportionale Zuordnung Der Multiplikation (Division) mit Größen entspricht als Grundvorstellung die proportionale Zuordnung mit der Doppelskala als Visualisierung. Diese Grundvorstellung ermöglicht auf allen Ebenen wesentliche Einsichten in die Auswirkung der Multiplikation auf Größenordnungen.

Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen – Unterrichtskultur Integrationsfähig in arithmetisches Gesamtkonzept Prinzip der Variation der Veranschaulichung Um bei der Begriffsbildung individuelle Zugänge und das Erfassen des mathematischen Kerns zu fördern, muss die begriffliche Struktur in möglichst vielen repräsentativen Veranschaulichungen geboten werden Kannst Du die Aufgabe auch anders darstellen? Was ändert sich, was bleibt gleich?

Baireuther – Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen Grundvorstellungen - Perspektiven Erweiterte und modifizierte Beschreibung  mentale (visuelle) Repräsentation  bedeutungsvoll durch sinnstiftende Lernerfahrungen  förderlich für operatives Handeln  tragfähig  ausbaufähig  integrationsfähig Grundvorstellungen werden nur wirksam, wenn sie kontinuierlich genutzt und regelmäßig evaluiert werden