Portfoliomodelle Faktormodelle Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Jan Wosnitza Portfoliomodelle Faktormodelle

Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Quelle: Wehn, C. S.: „Einführung in die finanzmathematische Messung von Kreditrisiken...“, Siegen 2006 CreditRisk+ is a methodology for calculating the distribution of possible credit losses from a portfolio. Developed by Credit Suisse and launched in 1997, the CreditRisk+ methodology has attracted much attention from practitioners, academics and the regulatory community. The model is now available in the PortfolioRisk+ model spreadsheet (which has much other functionality besides). It is also available on the Internet (LOCuS). Data requirements are minimal: risk can be estimated by specifying a loss given default for each asset, together with estimated default probabilities and their volatilities. The model is very fast: it employs an analytic method (not a simulation) to derive the distribution of losses, so calculations take seconds, not minutes or hours. Both portfolio level risk and contributions to risk by asset are calculated.

Erwartungswert und Varianz: Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Erwartungswert und Varianz: Credit Event = Ereigniss Default = Ausfall Downgrading = Bonitätsverschlechterung Stochastischer Prozess = Betrachtung von Zufallsvariablen im zeitlichen Verlauf Irrfahrten = Einfache zeitdiskrete stochastische Prozesse zur idealisierten Modellierung von Kursen oder Bewegung physikalischer Teilchen Ausgehend von einem Startwert X(t=0) werden die Zufallsvariablen X(t), für Zeitpunkte t=1,2,… rekursiv nach einfachen Konstruktionsprinzipien erzeugt.

Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Z(t) = Zufälliger binärer Zuwachs, der die Werte u („up“) und –d („down“) annehmen kann:

http://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsbewegung, 31.05.2008

Für den Erwartungswert und die Varianz ergibt sich ein linearer Trend: Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Satz 1 Für den Erwartungswert und die Varianz ergibt sich ein linearer Trend: Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Zuwächse und der Linearität des Erwartungswertes gilt:

Für zwei unabhängige Zufallsvariablen gilt: Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Satz 2 Für zwei unabhängige Zufallsvariablen gilt:

Nebenrechnung für den Integranden: Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Beweis 2 Nebenrechnung für den Integranden: Nebenrechnung für Erwartungswerte:

Beweis 2 Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Beweis 1 Für die Varianz erhält man unter Berücksichtigung der Unabhängigkeit der Zuwächse:

Beweis 1 Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Binomialprozesse sind zur Modellierung von positiven Zufallsvariablen bzw. Prozessen nur bedingt geeignet, da auch negative Realisationen möglich sind, und die Größe der Zuwächse unabhängig vom momentanen Wert sind, was empirischen Erfahrungen widersprechen kann (z.B. Aktienkurse Geometrische Binomialprozesse sind durch eine multiplikative Rekursion definiert:

Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Aus der Linearität des Erwartungswertes und der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen folgt: Dabei gilt:

Durch Logarithmieren erhält man einen Binomialprozess (=Random Walk): Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Durch Logarithmieren erhält man einen Binomialprozess (=Random Walk): Für große t ist Yt approximativ normalverteilt (Zentraler Grenzwertsatz!) und somit Xt approximativ lognormalverteilt.

Wenn der Startwert X0 gleich Null ist, folgt: Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Allgemeinere Irrfahrten ergeben sich zum Beispiel, wenn die Zuwächse weiterhin als unabhängig und identisch verteilt angenommen werden, Eine Gaußsche Irrfahrt erhalten wir, wenn wir normalverteilte Zuwächse annehemen: Wenn der Startwert X0 gleich Null ist, folgt: Wegen des zentralen Grenzwertsatzes gilt für beliebig identisch verteilte Zuwächse:

Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Stochstische Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen, besitzen die Markov-Eigenschaft: Bei bekannter Gegenwart sind Zukunft und Vergangenheit (bedingt) unabhängig. Insbesondere Irrfahrten der Form sind stochstische Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen. Geometrische Irrfahrten sind zwar keine Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen, sie besitzen jedoch gemäß ihrer Definition offensichtlich die Markov-Eigenschaft:

Die Pfade (Realisierungen) sind stetige Funktionen auf [0;) Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Ein stochastischer Prozess {W(t), t  0} heißt Wiener-Prozess, wenn gilt: W(t)~N(0;²t) W(0)=0 Der Prozess hat unabhängige Zuwächse, d.h. für 0s<t ist W(t)-W(s) unabhängig von W(s) Für 0s<t gilt für die Zuwächse: W(t)-W(s)~N(0,²·(t-s). D.h. sie sind normalverteilt und stationär (d.h. die Verteilung des Zuwachses hängt nur von der Länge des Zeitintervalls t-s ab) Die Pfade (Realisierungen) sind stetige Funktionen auf [0;)

http://de.wikipedia.org/wiki/Wiener-Prozess, 31.05.2006

Bestimmung der Kovarianz des Wiener-Prozess W(t)-W(s) ist per Definition unabhängig von W(s). Daraus folgt, dass der Korrelationskoeffizient zwischen den beiden Größen Null ist. Per Definition des Korrelationskoeffizenten ist nun auch die Kovarianz der beiden Größen Null. (Die Verweise in der Gleichung beziehen sich auf die Definition des Wiener-Prozess a) und c)

Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Auch die Markov-Eigenschaft überträgt sich von der Irrfahrt auf den Wiener-Prozess

Für 0<st sind die Zufallsvariablen X(t)/X(s) und X(s) unabhängig Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Ein stochastischer Prozess {X(t), t0} heißt geometrische Brownsche Bewegung, wenn gilt: X(0)=1 Für 0<st sind die Zufallsvariablen X(t)/X(s) und X(s) unabhängig Für 0<st sind die logarithmierten Quotienten der Zufallsvariablen normalverteilt: Die Pfade sind stetig

Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Die geometrische Brownsche Bewegung ist auch Lösung der speziellen stochastischen Differentialgleichung der Form: ?

http://de. wikipedia. org/wiki/Geometrische_brownsche_Bewegung, 31. 05 http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_brownsche_Bewegung, 31.05.2008

Aktienkurs von Henkel AG &Co. KGAA https://www.cortalconsors.de/euroWebDe/-, 31.05.2008 Aktienkurs von Henkel AG &Co. KGAA

Unternehmenswert zum Zeitpunkt T = AT: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Bilanz Aktiva Passiva Vermögen = A Eigenkapital = S Fremdkapital = K Unternehmenswert zum Zeitpunkt T = AT:

Im Zeitpunkt T sind folgende Fälle zu unterscheiden: ATK Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Im Zeitpunkt T sind folgende Fälle zu unterscheiden: ATK Das Fremdkapital K wird zurückgezahlt Der Restwert des Unternehmens für die Aktionäre beträgt AT-K 0 AT<K Die Fremdkapitalgeber erhalten den Restwert des Unternehmens. D.h., dass die Schuld nicht vollständig getilgt werden kann. Ein Ausfall ist somit eingetreten Die Eigenkapitalgeber (Aktionäre) erhalten nichts, die Aktien sind wertlos

Das Auszahlungsprofil ist in der Abbildung dargestellt. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Das Auszahlungsprofil ist in der Abbildung dargestellt. Links: aus Sicht der Eigenkapitalgeber Rechts: aus Sicht der Fremdkapitalgeber Put- und Calloption

Annahmen im Modell von Black-Scholes: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Annahmen im Modell von Black-Scholes: Markt lässt keine Arbitragemöglichkeit zu Keine Dividenden Zinssatz r bekannt und fest Volatilität des Underlyings bekannt und fest Keine Transaktionskosten Zeitlich kontinuierlicher Handel möglich Beliebig kleine Stückelung des Underlyings Leerverkauf des Underlyings möglich Geldleihe Lognormalverteilung des Aktienkurses

Lognormalverteilung des Aktienkurses Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Lognormalverteilung des Aktienkurses

Black-Scholes-Merton-Formel: (Herleitung: Lemm, J Black-Scholes-Merton-Formel: (Herleitung: Lemm, J. (2006): „Binomialmodell für Optionen“)

Erwartungswert der Lognormalverteilung: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Satz 3 Erwartungswert der Lognormalverteilung:

Beweis 3

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Eine besondere Rolle spielt die Standardnormalverteilung. Oftmals führt man normalverteilte Zufallsvariablen auf ihr standardisiertes Analogon zurück. Dies ist in der Regel ohne Informationsverlust möglich, da die Standardisierung lediglich eine lineare Transformation ist. Zur Transformation der Log-Renditen in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable definieren wir Z durch:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Damit lässt sich die Verteilungsfunktion F einer N(,2)-verteilten Zufallsvariable X durch die Verteilungsfunktion  der Standardnormalverteilung ausdrücken:

Für die risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit gilt im Merton-Modell bei einem zur Zeit 0 noch nicht ausgefallenen Unternehmen: Man beachte, dass es sich hierbei um risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten handelt.Die Distance to Default –d2 gibt einen Abstand bis zum Ausfall des Unternehmens an. Dies ist ein zentraler Parameter im Merton-Modell

Beweis für: Beweis 5 Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Beweis 5 Beweis für:

Satz 4 Man beachte, dass es sich hierbei um risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten handelt. Die Distance to default –d2 gibt einen Abstand bis zum Ausfall des Unternehmens an

Satz 4 Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

Beweis 4 Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

Beweis 4 Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

Beweis 4 Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

Beweis 4 Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Satz 5 Der Barwert der Kreditrisikobehafteten Nullkuponanleihe PT=K-(K-AT)+ zum Zeitpunkt t[0;T] ist:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Beweis 5 Per Konstruktion ist Pt bei Fälligkeit die Differenz aus einem Zerobond mit Nominal K und einer Put-Option auf den Firmenwert mit Strike K. Dann ist Pt zur Zeit tT damit gleich der Differenz der Barwerte dieser Instrumente: ?

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Das Ein-Faktor-Merton-Modell geht als Spezialfall der Asset-Wert-Modelle davon aus, dass das ökonomische Geschick eines Kreditnehmers von der Realisierung eines zugrunde liegenden latenten Prozesses abhängt. Dieser Prozess wird als stochastischer Prozess modelliert, wobei die Stochastik dieses Prozesses die allgemeine Unsicherheit bzgl. zukünftiger Entwicklungen ausdrücken soll Sobald das Vermögen einer Firma eine gewisse kritische Schranke ci unterschreitet, wird die Firma als insolvent oder zahlungsunfähig angesehen und alle zugehörigen Kredite werden als ausgefallen markiert. Beschränkt man sich bei dieser Betrachtungsweise auf einen festen Evaluierungshorizont auf der Zeitachse, reduziert sich der latente Prozess auf eine zugrunde liegende latente Variable, die einer gewissen Verteilung folgt. Das klassische Meron-Modell nimmt als latenten Prozess die log-Renditen einer geometisch Brownschen Bewegung an, woraus für einen festen Evaluierungshorizont T>0 normalverteilte Variablen resultieren.

Die latente Variable von Kreditnehmer i ist Ri Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Wir gehen von einem Portfolio mit m Kreditnehmern aus. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass jeder Kreditnehmer nur einen Kredit bei der Bank aufgenommen hat. Die latente Variable von Kreditnehmer i ist Ri Sobald der Score Ri unter eine gewisse, kritische Schranke ci fällt, Ri<ci, sprechen wir von einem Ausfall des Kreditnehmers i. Bei dieser Darstellung gehen wir von einem festen Zeithorizont T als Evaluierungshorizont aus, z.B. T=1 Jahr Die Ausfallwahrscheinlichkeit pi des Kreditnehmers i ist auf Basis obiger Ausführungen gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der Score Ri am Horizont T kleiner als der Cut-off Wert ci ist Die Gleichung für Ri ist eine gängige Art, die latente Variablen Ri der m Kreditnehmer im Portfolio mittels eines systematischen Faktors Y zu parametrisieren. Daher kommt die Bezeichnung Ein-Faktor-Modell.

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Die Variablen i bezeichnen hierbei unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen, unabhängig von Y, welche die residuale, nicht durch Schwankungen des systematischen Faktors Y erklärbare Schwankungen der latenten Variablen Ri widerspiegeln. Der Faktor i quantifiziert das Maß der Abhängigkeit der latenten Variablen Ri von dem systematischen Faktor Y Merton hat in seinem Modell folgende Normalverteilungsannahme getroffen:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

Blau: Bear Stearns Cos. Inc. https://www.cortalconsors.de/, 31.05.2008 Blau: Bear Stearns Cos. Inc.

Grün: DAX Blau: Deutsche Bank https://www.cortalconsors.de/, 31.05.2008 Grün: DAX Blau: Deutsche Bank

https://www.cortalconsors.de/, 31.05.2008 Grün: SMI Blau: Novartis

Grün: Dow Jones Industrial Average Blau: General Electrics https://www.cortalconsors.de/, 31.05.2008 Grün: Dow Jones Industrial Average Blau: General Electrics

Aus den getroffenen Normalverteilungsannahmen erhalten wir: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Aus den getroffenen Normalverteilungsannahmen erhalten wir:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Mit Hilfe der Fouriertransformation erhalten wir eine andere Darstellung für die Delta-Funktion:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Satz 6 Die Variable Ri ist als Linearkombination zweier unabhängiger standardnormalverteilter Zufallsvariablen ebenfalls standardnormalverteilt:

Beweis 6

Allgemeiner wird in der Mathematik das p-Quantil wie folgt definiert: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Als Quantil der Ordnung p (oder p-Quantil)wird in der Statistik ein Merkmalswert bezeichnet unterhalb dessen ein vorgegebner Anteil p aller Fälle der Verteilung liegt. Dabei ist p eine reelle Zahl zwischen 0 und 1. Allgemeiner wird in der Mathematik das p-Quantil wie folgt definiert: Sei X eine Zufallsvariable und F ihre Verteilungsfunktion, so heißt für p{0; 1} die durch unten angegebene Funktion definierte Funktion F-1 Quantilfunktion. F-1(p) wird als p-Quantil von F bezeichnet

http://de.wikipedia.org/wiki/Quantil, 31.05.2008

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Der Schwellenwert ci ist folglich ein Quantil der Standardnormalverteilung:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Satz 7 Die Korrelation der latenten Variablen zweier verschiedener Kreditnehmer ist: Man spricht bei dieser Korrelation auch von Assetkorrelation zweier Kreditnehmer

Beweis 7

Ausfallwahrscheinlichkeit im Einfaktormodell Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Ausfallwahrscheinlichkeit im Einfaktormodell Erwähnenswert ist die Eigenschaft der bedingten Unabhängigkeit der Kreditnehmer, gegeben eine Realisierung Y=y des systematischen Faktors Y. Die Unabhängigkeit der Kreditausfälle – gegeben Y=y – legt nahe die bedingten Ausfallwahrscheinlichkeiten etwas näher zu betrachten:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Die unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit geht in die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit über folgenden Zusammenhang ein: Ein gemeinsamer Ausfall tritt dann und nur dann ein, wenn am Evaluierungshorizont T die Ausfallereignisse für beide Kreditnehmer eingetreten sind. Stochastisch gesprochen hängt also die Wahrscheinlichkeit für das simultane Ausfallereignis von der gemeinsamen Verteilung von Ri und Rj ab.

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Zufallsvektor: Ein p-dimensonaler Zufallsvektor setzt sich aus p eindimensionalen Zufallsvariablen zusammen: Erwartungswertvektor: Existiert für jede Zufallsvariable Xi eines Zufallsvektors X der Erwartungswerti so schreiben wir: Kovarianzmatrix: Die Kovarianz Cov(Xi, Xj) zweier Zufallsvariablen Xi und Xj wird mit ij bezeichnet. Die Kovarianzmatrix  enthält alle Kovarianzen und Varianzen eines Zufallsvektors:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Korrelationsmatrix: Die Korrelaionsmatrix R enthält anstelle der Kovarianzen die Korrelationen ij der Zufallsvariablen Xi und Xj Die Kovarianzmatrix und Korrelationsmatrix enthalten unter- und oberhalb der Hauptdiagonalen genau die gleichen Elemente, da:

Die Mehrdimensionale Normalverteilung ist ebenso wie ihr eindimensionales Pendant eine stetige Verteilung, so dass eine Dichte existiert: Für p=2 sprechen wir von einer bivarianten Normalverteilung: Für den Fall, dass X1 und X2 standardnormalverteilt sind, vereinfacht sich die Dichte der bivarianten Normalverteilung:

http://de.wikipedia.org/wiki/Standardnormalverteilung, 31.05.2008

Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit: Da ci und cj über ci=-1(pi) und cj=-1(pj) von den Ausfallwahrscheinlichkeiten abhängen, hängt auch die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit von den Ausfallwahrscheinlichkeiten pi und pj ab. Als dritter Parameter geht in die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit die Assetkorrelation zwischen den betrachteten Kreditnehmern ein. Eine analoge Gleichung kann für die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit für k der m Kreditnehmer im Portfolio (km) hergeleitet werden.

Cauchy-Schwarz-Ungleichung: Für zwei Zufallsgrößen X und Y gilt: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Satz 8 Cauchy-Schwarz-Ungleichung: Für zwei Zufallsgrößen X und Y gilt: Gleichheit gilt genau dann, wenn es reelle Zahlen a,b gibt, die nicht beide Null sind, sodass P(aX+bY=0)=1, d.h. wenn X und Y konstante Vielfache von einander sind.

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Beweis 8 Wir dürfen annehmen, dass >0, denn sonst wäre P(Y=0)=1, also auch E(XY)=0, und die behauptete Ungleichung stimmt trivalerweise.

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Beweis 8 Falls Gleichheit gilt, so ist der Erwartungswert von (X-Y)2 gleich Null, also folgt P(X-Y=0)=1. Falls >0, so können wir =a und b= wählen. Falls =0, so können wir a=0 und b=1 wählen.

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Aus einer Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung auf die Zufallsgrößen X-E(X) und Y-E(Y) folgt insbesondere die Ungleichung:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Wir stellen nun einen Zusammenhang zwischen Ausfall- und Assetkorrelation her: Die Standardabweichung erhält man über das Modell Bernoulli-verteilter Ausfälle

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Umrechnung von Assetkorrelationen ij in Ausfallkorrelationen Corr(1Di,1Dj): 

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Die Faktordarstellung erlaubt die Zerlegung der latenten Variablen Ri in eine systematische Komponente (gegeben durch die Variable Y) und einen kreditnehmerspezifischen Effekt i. Man kann die (quadrierte) Schwankung der latenten Variablen eines Kreditnehmers wie folgt zerlegen

Wir betrachten ein Portfolio mit m Kreditnehmern: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Wir betrachten ein Portfolio mit m Kreditnehmern: Wir nehmen also vereinfachend an, dass die Assetkorrelation für alle Kreditnehmer gleich ist. Im Weiteren nehmen wir an, dass für alle Kreditnehmer die Kredithöhe (Exposure) Li=1 und die Schwellenwerte gleich sind: ci=c. Mit Hilfe des Satzes der Totalen Wahrscheinlichkeit, erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit für genau n Ausfälle:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Bei gegebenem treibendem Faktor Y=y ist die Wahrscheinlichkeit für genau n Ausfälle in dem Portfolio, wenn wir annehmen, dass pi=pj für alle i,j{1,2,…,m} Hier ist auch die bedingte Unabhängigkeit der Ausfälle im Portfolio eingegangen (Unabhängig bis auf die Ausprägung von Y)

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Die bedingte Aufallwahrscheinlichkeit eines einzelnen Kreditnehmers ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Firma Ri unter den Schwellenwert c sinkt, unter der Bedingung, dass Y=y ist.

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

Wir haben y so gewählt, dass p(-y)=x und p(y)x für y>y Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ In einem Portfolio mit sehr vielen Kreditnehmern (m) liefert das Gesetz der großen Zahlen, wobei X jetzt die relative Häufigkeit der Ausfälle darstellt. Somit kommen wir zu: Wir haben y so gewählt, dass p(-y)=x und p(y)x für y>y

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse, erhalten wir für die Verlustfunktion, des realtiven Verlustes X

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Die bisherigen Ergebnisse können auf mehrere treibende Faktoren Yj der Assetwerte der Kreditnehmer erweitert werden Die Assetwerte (asset values) eines Kreditnehmers (einer Firma) werden duch einen Faktor Y von J möglichen treibenden Faktoren beeinflusst. Jeder treibende Faktor beeinflusst den Wert des Assets der n-ten Firma mit einem Gewicht nj. n nennt man den Gewichtsvektor der n-ten Firma. Die n-te Firma ist genau dann ausgefallen, wenn der Firmenwert unter die kritische Schranke cn.

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Wenn eine Realisierung des Faktor-Vektors Y=y gegeben ist, dann ist die Ausfallwahrscheinlichkeit des n-ten Kreditnehmers:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Wir können nun die Wahrscheinlichkeit für genau m Ausfälle in dem gesamten Portfolio angeben: (jetzt hat das Portolio genau N Kreditnehmer) Dabei geht die Summe über alle Teilmengen M{1,…,N} mit genau m Elementen. Man bezeichnet |M| als die Kardinalität |M|=m Die unbedingte Wahrscheinlichkeit genau m Ausfälle zu erleiden ist somit: Die numerische Implementierung dieser Gleichung ist oft unmöglich, wegen der großen Anzahl an Summationselementen in der Gleichung.

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Beispiel. Angenommen, dass Portfolio besteht aus zwei Klassen von Kreditnehmern C1 und C2. N1 Kreditnehmer befinden sich in Klasse C1 und N2 in C2. Kreditnehmer der selben Klasse haben die selben Schwellenwerte c1 oder c2 und die selben Faktorbeladungen (factor loadings): Die Kreditnehmer werden in verschiedene risikoklassen bzgl. der Kriterien Industrie, Länder, Rating. Aber in den einzelnen Risikoklassen wird keine Unterscheidung bzgl. der Kreditnehmer getroffen. Ähnliche Klasseneinteilungen (Klassifikationen werden auch bei CreditMetrics oder CreditRisk+ getroffen.

Die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit in Klasse 1 und 2 sind: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Die Assetwerte der Kreditnehmer innerhalb einer Klasse sind korreliert mit einem Korrelationskoeffizient 1 bzw. 2 Die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit in Klasse 1 und 2 sind:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Die bedingte Wahrscheinlichkeit genau m1 Ausfälle in Klasse 1 zu haben ist durch die Binomialwahrscheinlichkeit bestimmt: Insgesamt ergibt sich für die bedingte Wahrscheinlichkeit m Ausfälle in gesamten Portfolio zu beobachten Wenn m1 Ausfälle in Klasse 1 geschehen, dann benötigen wir m-m1 Ausfälle in Klasse 2 um gesamt Anzahl an Ausfällen m zu erhalten.

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Die unbedingte Wahrscheinlichkeit m Ausfälle im gesamten Portfolio zu beobachten ergibt sich mit Hilfe des Satzes der Totalen Wahrscheinlichkeit zu: Analog lässt sich dieser Ansatz auf mehr als zwei Klassen von Kreditnehmern (Obligors) übertragen.

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Eine weitere Verallgemeinerung des Modells erhalten wir, wenn wir Ratingklassen einführen, die es uns ermöglichen Veränderungen im Marktwert der Werte im Portfolio vor einem Ausfall zu modellieren. Wir führen Ratingklassen-Übergänge ein, die beeinflusst werden durch Veränderungen der Vermögenswerte (asset values) Rn, wenn die Firmenwerte bestimmte Schwellenwerte ckl unterschreiten. ckl ist der Schwellenwert für einen Übergang von Ratingklasse k zu Ratingklasse l. Wenn sich das Rating des Obligors (Kreditnehmers) n von der Ratingklasse k zu l verändert, dann verliert der Kredit (die Anleihe) den Wert (Ln=Exposure=Höhe des Kredits) kl·Ln:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert des Obligors n unter die Schwelle ckl, bei gegebenem Y=y, ist:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Von der bedingten Wahrscheinlichkeit der Ratingklassenübergänge und der dazugehörigen Wertveränderung der Anleihe kl, können wir den bedingten Erwartungswert und die bedingte Varianz des Wertes der Anleihe des Kreditnehmers n angeben:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ The normal approximation now approximates the conditional distribution of the change in the value of the portfolio with a normal distribution with the same conditional mean and variance as the conditional mean and variance of the portfolio. Wenn die Anzahl der Kredite (Anleihen) in dem Portfolio groß ist, ist dies eine gute Approximation

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Wir nehmen für die bedingte Verteiteilung (bedingt bezüglich einer Realsiation der Zufallsvariablen Y) des Portfoliowerts eine Normalverteilung mit folgendem Mittelwert und Varianz an: Wenn die Anzahl der Kredite (Anleihen) in dem Portfolio groß ist, ist dies eine gute Approximation

Die unbedingte Verteilungsfunktion des Portfolio Wertes ist: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Bei Verwendung dieser Approximation wird die bedingte Verteilung des Portfoliowertes eine Standard-normalverteilung Die unbedingte Verteilungsfunktion des Portfolio Wertes ist:

Ausfallraten-basiert Credit Metrics (J.P.Morgan) Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Asset-Wert-bassiert Ausfallraten-basiert Credit Metrics (J.P.Morgan) CreditRisk+ (Credit Suisse First Boston) Insolvebz tritt ein, wenn das Vermögen eines Unternehmens seine Schu´lden unterschreitet. Deshalb hängt das Ausfallrisiko von der stochastischen Entwicklung der Aktiva eines Unternehmens ab. Da diese Entwicklung nicht direkt zu beobachten ist, werden andere Größen, z.B. der Börsenkurs als Indikatorvariable verwendet Die Schätzung des Ausfallwahrscheinlichkeit eines Kredites oder Kreditnehmers werden auf Basis historischer Ausfallhäufigkeiten vorgenommen

Bonitätsveränderungen Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Nach dem Risikokonzept bei der Definition des Modellierungsziels unterscheidet man Modelle, die einen möglichen Verlust aus dem Kreditausfall analysieren (Default models [DM]) und Modelle, die bereits eine Verschlechterung der Kreditqualität während der Laufzeit (z.B. Downgrading) als Kreditereignis betrachten und damit den Credit Spread von gehandelten Kreditinstrumenten wie Anleihen modellieren (Mark to Market Models [MTM]) CreditRisk+ CreditMetrics Definition Risiko Verlust aus Kreditausfällen Marktwertänderung Risikotreiber Keiner (Default Rates) Asset-Wert Kreditausfälle Ja Bonitätsveränderungen Nein (integrierbar) Ja (Credit Spread)

Zuordnung der Ausfallraten Korrelation von Ausfällen Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Bezüglich der Modellierung unterscheiden sich die einzelnen Modelle auch in den Datenquellen, wobei die Ausfallraten-Modelle bestimmte Abhängigkeiten über die Branchen und Sektoren oder auch makroökonomische bzw. konjunkturelle Abhängigkeiten unterstellen, während die Asset-Wert-basierten Modelle die multivariate Normalverteilung von Aktienrenditen und ihre Korrelation mit Aktienindizes unterstellen. Die Verluste bei Ausfall eines einzelnen Kredits (Loss Given Default [LGD]) sind ebenfalls a priori unbekannt. Für sie kann eine Korrelation mit anderen Einflussgrößen unterstellt werden oder der relative Verlust, der mit dem Rückgewinnungsanteil, der Recovery Rate, negativ korrespondiert, wird als konstant (zumindest pro Branche, Sektor, etc.) angenommen. Credit Risk+ CreditMetrics Zuordnung der Ausfallraten Internes Scoring/Rating Rating Korrelation von Ausfällen Stochastische Abhängigkeit der Ausfallraten Multivariate Normalverteilung der Asset-Renditen Korrelation der Kreditereignisse Volatile Ausfallraten und Sektorzuordnungen Korrelation der Aktienindizes (Region, Branche) Recovery Raten Zufällig konstant

Vielen Dank!

VIELEN DANK UND VIEL ERFOLG!