Forschungsstatistik I Prof. Dr. G. Meinhardt WS 2004/2005 Fachbereich Sozialwissenschaften, Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz Stunde 24.11.04

Themen der Stunde I. Was ist Messen ? II. Messen und Skalenniveaus

Was ist Messen? [Naiver Messbegriff] Objekt – Eigenschaft - Eigenschaftsausprägung [Vorläufiger Messbegriff] Objekte unterscheiden sich aufgrund der Ausprägungen, die sie in Eigenschaften haben. Die Zuordnung von Zahlen zu Objekten aufgrund ihrer Eigenschaftsausprägungen nennen wir Messen.

Mengen und Relationen Um einen genaueren Messbegriff zu haben, muss man Die Gesamtheit der Objekte spezifizieren, auf die er zutreffen soll (Menge) Die Relation (Vergleichsebene) zwischen den Objekten angeben und sagen, wie viele Objekte in dieser Vergleichseben betrachtet werden (Stelligkeit) Beispiel M={Ameise, Igel,Hase, Fuchs} Relation: mi „frißt“ mj

Mengen und Relationen M={Ameise, Igel,Hase, Fuchs} Relation R: mi „frißt“ mj 1 Fuchs Hase Igel Ameise x R y R ={(Igel,Ameise),(Fuchs,Ameise),(Fuchs,Hase)} Eine Relation R, definiert auf einer Menge M, ist eine geordnete Menge. Die Länge der n-Tupel ist ihre Stelligkeit.

Funktion (Abbildung) Es seien A und B Mengen. Existiert eine Regel f derart, daß jedem a Î A genau ein Element b Î B zugeordnet wird, so heißt f Abbildung oder Funktion. Man schreibt f(a) = b oder f: A ® B. Die Menge A heißt dann Definitionsmenge oder Urbildmenge die Menge B heißt Wertemenge oder Bildmenge.

Injektive Abbildung Eine Abbildung f: A ® B heißt eindeutig oder injektiv, wenn aus f(a1)=f(a2) folgt daß a1 = a2 gilt.

Surjektive Abbildung Gibt es bei der Abbildung f: A ® B zu jedem b Î B stets ein a Î A, so daß b = f(a) gilt, so heißt f surjektiv oder Abbildung von A auf B.

Bijektive Abbildung Ist eine Abbildung f: A ® B sowohl injektiv als auch surjektiv, so heißt f eineindeutig oder bijektiv.

Relativ Eine Menge A von Objekten und die darauf definierten relationen Ri kann man zu einem System zusammenfassen und nennt dies Relativ. Man schreibt: U = áA;R1¼ Rn ñ Ist A eine Menge von empirischen Objekten, so heißt U „empirisches Relativ“, ist A eine Zahlenmenge, so heißt A „numerisches Relativ“.

Messen Es sei U = áA;R1¼ Rn ñ ein empirisches Relativ und V = áB;S1¼ Sn ñ ein numerisches Relativ. Existiert eine Abbildung f: A ® B derart, daß für alle i = 1,...,n gilt Ri(a1,...,ak) := Si[f(a1),..., f(ak)] so sagen wir, dass das numerische Relativ das empirische relativ repräsentiert, weil den Relationen zwischen den Zahlen genau die Relationen zwischen den Objekten entsprechen. Die Funktion f heißt dann Skala.

Skalenniveaus Die Zuweisung von Zahlen zu Objekten f ist jeweils eine andere, je nachdem welche Art der Relation zwischen de Objekten betrachtet wird 1. Nominalskala (Äquivalenzrelation) Äquivalenten Objekten müssen gleiche Zahlen zugewiesen werden, verschiedenen Objekten verschiedene Zahlen. Jede Abbildung f, die dies erfüllt, heißt Nominalskala. Sie ist invariant gegenüber Umbenennungen, solange die o.g. Bedingung dabei erfüllt bleibt.

Nominalskala Beispiele: Zahlencodes für Produktkategorien, Geschlecht, Religionszugehörigkeit Die Kategorien müssen das Merkmal vollständig beschreiben (komplementär sein) Nominalskalen liefern Häufigkeiten und prozentuale Anteile als statistische Information: Pflanzenfresser Fleischfresser Allesfresser

Ordinalskala (Schwache Ordnungsrelation) Ist f derart, daß Objekte mit gleichen Merkmalsausprägungen gleiche Zahlen, Objekte mit kleineren Ausprägungen kleinere Zahlen, so heißt f Ordinalskala (Rangskala). Beispiele: Produktpräferenzen, Sport- oder Kunstranking, Mitarbeiterbeurteilungen Ordinalskalen liefern Rangdaten und Prozentrangdaten („Sie gehören zu den besten 10% des Jahrgangs“) als statistische Information

Ordinalskala Invarianz gegenüber allen monoton wachsenden Transformationen: 1 2 3 4 -1 7 9 ist zulässig! X Y Algebraische Verrechnungen (z.B. Mittelwerte oder Standardisierung) der Skalenwerte sind nicht sinnvoll, wohl aber Prozentrangangaben wie Quantile und Median.

Verhältnisskala (anschauliche Addition) Y = a X, a > 0 Die Abbildung f ist derart, daß sie Objekten Zahlen zuweist derart, dass dem Verhältnis der Zahlen das Verhältnis der Merkmalsausprägungen entspricht. Sie ist eindeutig bis auf Ähnlichkeitstransformationen: Y = a X, a > 0 Beispiele: Reaktionszeitmessung, Längenmessung, Gewichtsmessung, Messung von Empfindungsstärken Verhältnisskalen haben einen natürlichen Nullpunkt, der nicht verändert werden darf. Nur die Einheit der Skala ist frei wählbar. Ist die Einheit ebenfalls natürlich (z.B. bei absoluten Häufigkeiten), spricht man von Absolutskala.

Verhältnisskala Invarianz gegenüber Ähnlichkeitstransformationen: ist zulässig! Y = a X, a > 0 1 2 3 4 -1 6 8 -2 X Y

Verhältnisskala Es dürfen alle statistischen Kennwerte angegeben werden, die auf Summation und Teilen beruhen, also Mittelwerte und Momente höherer Ordnung Streuungsmaße Verteilungsfunktionen Korrelationsfunktionen

Intervallskala (Unterschiedsrelation) Y = a X + b, a > 0 Die Abbildung f ist derart, daß sie Objekten Zahlen zuweist derart, dass gleichen Merkmalsunterschieden dieselben Zahlendifferenzen entsprechen. Die Intervallskala ist eindeutig bis auf monoton wachsende lineare Transformationen: Y = a X + b, a > 0 Beispiele: Intelligenz- und Leistungsmessung, Persönlichkeitstests, Temperatur in Celsius Bei Intervallskalen ist der Nullpunkt willkürlich und darf verändert werden. Die Einheit ist ebenfalls frei wählbar.

Intervallskala Invarianz gegenüber Lineartransformationen: 1 2 3 4 -1 6 -2 -4 Y = a X + b, a > 0 ist zulässig! X Y

Intervallskala Es dürfen alle statistischen Kennwerte angegeben werden, die auf Summation und Teilen beruhen, also Mittelwerte und Momente höherer Ordnung Streuungsmaße Verteilungsfunktionen Korrelationsfunktionen Intervallskala und Verhältnisskala sind sog. metrische (einheitsbehaftete) Skalen, für die alle geläufigen statistischen Kennwerte berechnet werden dürfen

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