Forschungsstatistik I

Präsentation zum Thema: "Forschungsstatistik I"—  Präsentation transkript:

1 Forschungsstatistik I
Prof. Dr. G. Meinhardt WS 2004/2005 Fachbereich Sozialwissenschaften, Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz Stunde

2 Themen der Stunde I. Häufigkeitsverteilungen II. Quartile und Median
III. Abweichungsmaße

3 Häufigkeitsverteilungen
Absolute Häufigkeit eines Wertes x : Relative Häufigkeit eines Wertes x : (N = Anzahl aller Werte) Kumulierte absolute Häufigkeit bis zu einer Schranke x : Relative kumulierte Häufigkeit bis zu einer Schranke x : (Empirische Verteilungsfunktion) [Datenbeispiele, Mathematica]

4 Beispiel Diskrete Variable: 50 mal einen Würfel werfen Hufigk. Summen-
% glt. Kumul % 1 7 2 11 18 3 9 27 4 6 33 5 8 41 50 Diskrete Variable: 50 mal einen Würfel werfen

5 Beispiel kontinuierliche Variable: 50 Zeiten für eine Wertejustage
Hufigk. Summen- % glt. Kumul % <x<= 0.0000 <x<= 2 4.0000 <x<= 3 5 <x<= 10 <x<= 20 <x<= 12 32 <x<= 14 46 <x<= 4 50 kontinuierliche Variable: 50 Zeiten für eine Wertejustage

6 Beispiel: Kumulierte Häufigkeiten
Kumuliert Würfeln Kumuliert Zeiten Häufigkeit Häufigkeit Augenzahl Justagezeit (Intervall-Mitte)

7 Klassenbildung Die Meßwertklassen dürfen sich nicht überschneiden
Die obere Klassengrenze gehört zur Klasse, die untere nicht Alle Klassen sollen dieselbe Breite haben (Normalfall) Nicht mehr als 20 Klassen bilden Anzahl k der Kategorien sollte etwa betragen

8 Beispiel zu viele optimal
Optischer Eindruck wird durch Anzahl der Klassen bestimmt

9 Median N ungerade: N gerade:
Justagezeit Relative kumulierte Häufigkeit Median N ungerade: Der te Wert N gerade: Mittel zwischen bem Wert und ten Der Median ist derjenige Wert, der die Reihe der Messwerte Halbiert (50% liegen drunter, 50% drüber) [Tafelbeispiel, Mathematica]

10 Quantile: Centil, Dezentil, Quartil
Relative kumulierte Häufigkeit Median = 2. Quartil 1. Quartil Justagezeit Die Meßwerte (x), die bestimmten relativen Häufigkeiten entsprechen, werden Quantile genannt. Centil: 100er Einteilung Dezentil: 10er Einteilung, Quartil: 4er Einteilung

11 Quantile: empirische Bestimmung
Es sei p ein Anteilswert, 0 < p < 1. Ein Wert xp, für den gilt, dass mindestens ein Anteil der Daten p kleiner oder gleich xp und mindestens ein Anteil 1-p der Daten größer oder gleich xp ist, heisst p-Quantil. Es gilt: Quantile können auch über eine graphische Methode aus der empirischen Verteilungsfunktion gewonnen werden. [Berechnungsbeispiele, Mathematica-Beispiele]

12 Quantile: empirische Bestimmung
Fall 1: Np ist nicht ganzzahlig: Die Horizontale vom p-Wert der Y Achse trifft auf ein senkrechtes Treppenstück. Der X-Wert ist das zugehörige Quantil. Fall 2: Np ist ganzzahlig: Die Horizontale vom p-Wert der Y Achse trifft genau eine Treppenstufe. Mittelung der Treppengrenzen ergibt das Quantil.

13 Ausgleichskurve Relative kumulierte Häufigkeit Median = 2. Quartil 1. Quartil Justagezeit Die Quantile kann man auch mit einer glatten Ausgleichskurve, die die empirische Verteilungsfunktion gut beschreibt, ermitteln [Tafel+Mathematica]

14 Abweichungsmaße Die Abweichungsmaße bewerten die Abweichung aller Werte des Kollektivs von einem Maß der zentralen Tendenz. Sie Geben das Ausmaß der Homogenität der Werte an Die wichtigsten Abweichungsmaße sind 1. Varianz und Standardabweichung 2. Mittlere Abweichung 3. Halber Quartilsabstand

15 Mittlere Abweichung Ist die Summe aller Abweichungsbeträge vom Mittelwert Diese Abweichung ist vom Median minimal (von jedem anderen Wert ist sie größer)

16 Halber Quartilabstand
Justagezeit Relative kumulierte Häufigkeit Q1 Q3

17 Varianz und Standardabweichung
Die Varianz ist die Summe aller Abweichungsquadrate vom Mittelwert, gewichtet um den Stichprobenumfang Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz [Tafelbeispiel: alternative Berechnung]

18 Bedeutung bei Normalverteilung
Liegt die Normalverteilung vor, so ist der relative Anteil der Beobachtungen Einheiten der Standardabweichung um den Mittelwert eindeutig zugeordnet.

19 Standardisierung Die Standardisierung drückt einen Meßwert aus als eine Abweichung vom Mittelwert, gemessen in Einheiten der Standardabweichung Die Standardvariable z hat folgende Eigenschaften: [Mittelwert Null] [Standardabweichung Eins] [Tafelbeispiele, Mathematica: Standard-Normalverteilung]