2004 1 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Einführung in.

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1 2004 1 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Einführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure I Übung im Sommersemester 2004 J. Seyfried http://wwwipr.ira.uka.de/~lehre/EInfo seyfried@ira.uka.de Tel.: (0721) 608-3656 Zimmer 107, Geb. 40.28

2 2004 2 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Übung? Übungsblätter –Aufgaben zur Wiederholung und Verdeutlichung –Aufgaben zur Vertiefung –alte Klausuraufgaben Fragen !!!!!!! (?) Wiederholung unklarer Sachverhalte

3 2004 3 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Übung? Übungsblätter –Aufgaben zur Wiederholung... –Aufgaben zur Vertiefung –alte Klausuraufgaben Fragen !!!!!!! (?) Wiederholung unklarer Sachverhalte !

4 2004 4 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Informatik I + II Informatik I Informatik II Informatik II Grundlagen -mathematische -logische -informationstheoretische Algorithmen

5 2004 5 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Vorbereitung auf die Klausur Stoff verstehen Aufgabenblätter rechnen –ohne in die Musterlösung zu schielen alte Klausuren rechnen sich „durchbeißen“, auch wenn man nicht gleich auf die Lösung kommt!

6 2004 6 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 1 Mengenbegriff: –Grundmenge wichtig: Komplementbildung {1, 2, 3, 4} C = ? IN - {1, 2, 3, 4} {5, 6, 7, 8, 9} auf Grundmenge {1,...9}

7 2004 7 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 1 Mengenbegriff: –Grundmenge wichtig 1 2 3 6 7 8 9 5 4 A B C D

8 2004 8 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 1 Venn-Diagramme Vereinigung: Komplement: Subtraktion: Durchschnitt: AB A AB AB A  B A - B A  B ACAC

9 2004 9 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 3 Relationen Uns geläufige Relationen: > <     ... „neue“ Relationen analog: statt 3<4: 3 R 4 Relationen kann man schreiben als: Matrix Tabelle formal...

10 2004 10 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Relationen – wofür? Ein Beispiel: 3 R 4 ? SELECT * FROM session WHERE session_id='f09f8733c8b898ced7ca8f9405457f00' Relationale Datenbanken (MySQL,...) werden heute häufig für Webpräsentationen mit dynamischem Inhalt (Content Management Systeme - „CMS“) verwendet

11 2004 11 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 3 Relationen kann man schreiben als: –Matrix –Tabelle –formal –... 1R3 1R5 2R1 2R5 4R1 4R3 4R5 5R3 Andere Schreibweise: (1, 3)  R

12 2004 12 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 3 {x: 3Rx} = {} {x: (4, x)  R} ={1, 3, 5} {x: xR5} = {1, 2, 4}

13 2004 13 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 3 Vorbereich: –alle Zeilen, in denen ein „Böbbel“ ist {1, 2, 4, 5} Nachbereich: –alle Spalten, in denen ein „Böbbel“ ist {1, 3, 5}

14 2004 14 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 4 Eigenschaften von Relationen spezielle Relationen reflexiv, irreflexiv symmetrisch, asymmetrisch antisymmetrisch transitiv intransitiv Äquivalenzrelation Ordnungsrelation (totale,...) Lernen!

15 2004 15 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 b) Eigenschaften von Relationen reflexiv 1 () an allen Knoten MatrixdarstellungGraphendarstellung

16 2004 16 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 b) Eigenschaften von Relationen irreflexiv 0 () an keinem Knoten MatrixdarstellungGraphendarstellung

17 2004 17 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 b) Eigenschaften von Relationen symmetrisch w 1. 1 x. 0.. y 0 z () Nur bidirektionale Kanten, Schleifen erlaubt MatrixdarstellungGraphendarstellung Matrix spiegelsymmetrisch

18 2004 18 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 b) Eigenschaften von Relationen asymmetrisch... Nur unidirektionale Kanten, keine Schleifen MatrixdarstellungGraphendarstellung a ij  a ji  i, j=1..n, i  j a ii  1  i=1..n

19 2004 19 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 b) Eigenschaften von Relationen antisymmetrisch... Nur unidirektionale Kanten, Schleifen erlaubt MatrixdarstellungGraphendarstellung a ij  a ji  i  j

20 2004 20 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 b) Eigenschaften von Relationen transitiv... Zu 2 benachbarten Kanten gibt es auch eine direkte MatrixdarstellungGraphendarstellung a ij =a jk =1  a ik =1  i, j, k=1..n

21 2004 21 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 b) Eigenschaften von Relationen intransitiv... Zu 2 benachbarten Kanten gibt es keine direkte MatrixdarstellungGraphendarstellung a ij =a jk =1  a ik =0  i, j, k=1..n

22 2004 22 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 c) Ordnungsrelationen Darstellung als Hasse-Diagramm: Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben Pfeile aus Transitivität werden weggelassen a bc ed

23 2004 23 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 c) Ordnungsrelationen Darstellung als Hasse-Diagramm: Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben Pfeile aus Transitivität werden weggelassen a bc ed Reflexivitäts-Kanten: weg

24 2004 24 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 c) Ordnungsrelationen Darstellung als Hasse-Diagramm: Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben Pfeile aus Transitivität werden weggelassen a bc ed Reflexivitäts-Kanten: weg

25 2004 25 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 c) Ordnungsrelationen Darstellung als Hasse-Diagramm: Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben Pfeile aus Transitivität werden weggelassen a bc ed Reflexivitäts-Kanten: weg Transitivitäts-Kanten: weg

26 2004 26 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 c) Ordnungsrelationen Darstellung als Hasse-Diagramm: Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben Pfeile aus Transitivität werden weggelassen a bc ed Reflexivitäts-Kanten: weg Transitivitäts-Kanten: weg

27 2004 27 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 c) Ordnungsrelationen Darstellung als Hasse-Diagramm: Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben Pfeile aus Transitivität werden weggelassen a bc ed Reflexivitäts-Kanten: weg Transitivitäts-Kanten: weg Pfeilrichtungen implizit

28 2004 28 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 c) Ordnungsrelationen Darstellung als Hasse-Diagramm: Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben Pfeile aus Transitivität werden weggelassen a bc ed Reflexivitäts-Kanten: weg Transitivitäts-Kanten: weg Pfeilrichtungen implizit

29 2004 29 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 c) Ordnungsrelationen Darstellung als Hasse-Diagramm: Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben Pfeile aus Transitivität werden weggelassen a bc ed a bc ed Hasse-Diagramm

30 2004 30 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 c) Ordnungsrelationen Darstellung als Hasse-Diagramm: Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben Pfeile aus Transitivität werden weggelassen Totalordnungen: Ketten a bc ed Hasse-Diagramm

31 2004 31 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 8 In einer Bibliothek werden jedem Buch seine bisherigen Leser zugeordnet. Was ist hier Vorbereich, was Nachbereich? Wird hierdurch eine Abbildung definiert? Menge der Bücher B Menge der Kunden K b R k  k hat b gelesen  b  B, k  K Vorbereich: V(R) = {x:  k  K mit xRk} Menge der Bücher, die mindestens einmal gelesen wurden Nachbereich: N(R) = {x:  b  B mit bRx} Kunden der Bibliothek, die mindestens ein Buch gelesen haben

32 2004 32 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 8 In einer Bibliothek werden jedem Buch seine bisherigen Leser zugeordnet. Was ist hier Vorbereich, was Nachbereich? Wird hierdurch eine Abbildung definiert? Menge der Bücher B Menge der Kunden K b R k  k hat b gelesen  b  B, k  K Ist R Funktion? Zu prüfen: Rechtseindeutigkeit V(R) = B Anschaulich: Funktion f: M  N f(m) definiert  m  M f(m) ist eindeutig 1 2 3 4 g: M  N 1 2 3 MN G ist keine Funktion!

33 2004 33 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 8 In einer Bibliothek werden jedem Buch seine bisherigen Leser zugeordnet. Was ist hier Vorbereich, was Nachbereich? Wird hierdurch eine Abbildung definiert? Menge der Bücher B Menge der Kunden K b R k  k hat b gelesen  b  B, k  K Ist R Funktion? Zu prüfen: Rechtseindeutigkeit V(R) = B R ist nicht rechtseindeutig (mehrmals gelesene Bücher) V(R) muss nicht gleich B sein (noch nie gelesene Bücher)

34 2004 34 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 9 Eigenschaften von Abbildungen Abbildungen auf abzählbaren Mengen: Surjektivität 1 2 3 4 Kein Element des Nachbereichs ist ohne Pfeil

35 2004 35 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 9 Eigenschaften von Abbildungen Abbildungen auf abzählbaren Mengen: Surjektivität 1 2 3 4 Kein Element des Nachbereichs ist ohne Pfeil Nicht surjektiv

36 2004 36 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 9 Eigenschaften von Abbildungen Abbildungen auf abzählbaren Mengen: Injektivität 1 2 3 4 Auf kein Element des Nachbereichs wird zwei Mal gezeigt

37 2004 37 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 9 Eigenschaften von Abbildungen Abbildungen auf abzählbaren Mengen: Injektivität 1 2 3 4 Auf kein Element des Nachbereichs wird zwei Mal gezeigt Nicht injektiv

38 2004 38 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 9 Komposition von Abbildungen f  g wird gesprochen: f nach g 1 2 3 4 1 2 3 4 g 1 2 3 4 1 2 3 4 f

39 2004 39 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 9 Komposition von Abbildungen f  g wird gesprochen: f nach g 1 2 3 4 1 2 3 4 g 1 2 3 4 1 2 3 4 f f  g

40 2004 40 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 9 Komposition von Abbildungen Zusammengefasst: 1 2 3 4 1 2 3 4 fgfg

41 2004 41 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 9 b) Komposition von Abbildungen Bei unterschiedlichen Wertebereichen: h  g zuletzt ausgeführte Abbildung (hier: h) gibt den Wertebereich an 1 2 3 4 1 3 h 1 2 3 4 1 2 3 4 f

42 2004 42 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 10 Monoton steigend  injektiv  surjektiv  bijektiv

43 2004 43 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 10  surjektiv f(x 1 )=f(x 2 )  x 1 =x 2 /  nicht injektiv  nicht bjektiv

44 2004 44 Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 10  surjektiv f(x 1 )=f(x 2 )  x 1 =x 2 /  nicht injektiv  nicht bjektiv