Lösung der elastischen Wellengleichung auf einem variablen FD-Gitter Daniel Köhn und Thomas Bohlen Graz, den 24. Januar 2005

Einführung in die adaptive FD-Modellierung Kantenlänge L L/2 Vs 1 Vs 2 >> Vs 1

FD-Diskretisierung auf einem homogenen Gitter Vs 1 Beachte Gitterdispersion: dh 1 /n mit 1 =Vs 1 /f max n = 12 (2.Ordnung) = 8 (4.Ordnung) Vs 2 >> Vs 1 L/2 oversampled

FD-Diskretisierung auf einem adaptiven Gitter Vs 1 Beachte Gitterdispersion: dh 1 /n mit 1 =Vs 1 /f max n = 12 (2.Ordnung) = 8 (4.Ordnung) Vs 2 >> Vs 1 L/2

Rechenzeitersparnis Rechenzeit 2D: 1/25 Rechenzeit 3D: 1/125

Implementierung des adaptiven FD-Codes Nach Jastram (1992)

Testproblem: homogener Raum (1x1 m), umgeben von Luft 100x100 Gitterpunkte dt = 3e-6 s Rechenzeit: Zeitschritte Test: 2D-Modellierung eines homogenen Raumes Verwendeter FD-Code: - Velocity-Stress Formulierung der elastischen Wellengleichung - Standard Staggered Grid (SSG) - FD-Operatoren 2.Ordnung => zu interpolierende Variablen: s yy, v x

Test: 2D-Modellierung eines homogenen Raumes

Analyse der Instabilität

Definition des Instabilitätszeitpunktes

Einfluss unterschiedlicher Interpolationsverfahren auf den Instabilitätszeitpunkt Hypothese: Addition der Interpolationsfehler führt zur Instabilität ?

Modellierung des Interpolationsfehlers durch multiplikativen Gaussschen Noise S yy (j,i) = S yy (j,i) (1+ ) v x (j,i) = v x (j,i) (1+ wobei, [-0.02, 0.02]

Modellierung des Interpolationsfehlers durch multiplikativen Gaussschen Noise => Instabilität ist nicht allein auf Interpolationsfehler zurückzuführen. Entwicklung der L 1 -Norm (vx, multiplikativer Noise)

Analyse des Wellenzahl-Spektrums im Übergangsbereich zwischen groben und feinem Gitter

Wellenzahl-Spektrum und L 1 -Norm als Funktion der Zeit

Der Einfluß des groben Gitters Nyquist-Wellenzahl feines Gitter Nyquist-Wellenzahl grobes Gitter Quellsignal Coarse Grid Nyquist Peaks

Stabilisierung des adaptiven FD-Codes

Response des 1D-Butterworth-Filters zur Unterdückung der Coarse Grid Nyquist Peaks Response des 1D-Butterworth-Filters zur Unterdückung der Coarse Grid Nyquist Peaks Nyquist-Wellenzahl feines Gitter Nyquist-Wellenzahl grobes Gitter

Unterdrückung des Noise durch Tiefpass-Filterung Unterdrückung des Noise durch Tiefpass-Filterung

Rechenzeitersparnis: Testproblem Rechenzeitersparnis: Testproblem Homogenes Gitter s Adaptives Gitter s Relative Rechenzeit adaptiv/homogen % Theoretisch maximal möglich %

Zusammenfassung Die Amplitude des Interpolationsfehlers (multiplikativer Noise) wächst während der Rechnung stetig an. Das Auftreten der Coarse Grid Nyquist Peaks führt aufgrund der Verletzung des Nyquist-Kriteriums des groben Gitters zur Entstehung einer numerischen Instabilität. Diese wächst exponentiell mit der Zeit an. Eine Tiefpassfilterung des k-Bereichs unterhalb der Nyquist- Wellenzahl des groben Gitters führt zu einer Stabilisierung des adaptiven FD-Codes.

Ausblick Implementierug einer Filterung im Orts-Bereich (Parallelisierung). Genauigkeitstest anhand geologischer Beispiele: - Probleme mit hohen Vp/Vs-Verhältnissen - Auflösung kleinskaliger Strukturen 3D-Parallelisierung