Forschungsstatistik I Prof. Dr. G. Meinhardt WS 2006/2007 Fachbereich Sozialwissenschaften, Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz Stunde

Themen der Stunde Merkmalszusammenhänge: Überblick und Gegenstand Zurückführen der Werte einer Variable auf eine andere: Regression Lineare Regression: Y = a X + b

Merkmalszusammenhänge Univariate Statistik: Beschreibung von einzelnen statistischen Größen Bivariate Statistik: Beziehung zwischen 2 statistischen Variablen Merkmalszusammenhang: Es besteht ein Zusammenhang zwischen 2 Variablen X und Y, wenn die Werte von X mit den Werten von Y einhergehen, bzw. in gewissem Grad korrespondieren.

Beispiele Gibt es einen Zusammenhang von Drogenkonsum und mentaler Leistungsfähigkeit? Kann man aus der Abinote die Note des Examens vorhersagen? Haben Raucher häufiger Lungenkrebs als Nichtraucher? Hängt der Therapieerfolg ab von einer positiven Einstellung zur Psychotherapie? [Beispiel: Schuh-und Körpergröße, Test-Retest]

Beispiel: Zusammenhang bei metrischen Daten Zusammenhänge von X und Y : Vorhersagbarkeit von Y aus X

Beispiel: Zusammenhang bei Nominaldaten (Häufigkeiten) Kein Zusammenhang der beiden Variablen Lungenkrebs (LK) und Rauchen (R) ! R+R- LK LK

Beispiel: Zusammenhang bei Nominaldaten (Häufigkeiten) Maximaler Zusammenhang der beiden Variablen Lungenkrebs (LK) und Rauchen (R) ! R+R- LK+2500 LK

Themengebiet Regression & Korrelation Lineare Regression & Korrelation Ausgleichspolynome n-ter Ordnung Nichtlineare Regression: a) auf lineare Regression zurückführbare Modelle b) echte nichtlineare Modelle Mehr als 2 Variablen: Multiple Regression & Korrelation

Merkmalszusammenhänge Kein Zusammenhangpositiver Zusammenhangnegativer Zusammenhang Für mindestens intervallskalierte Variablen erkennt man eine mögliche Beziehung im Scatterplot

Näherungskurven Näherungskurven können linear oder nichtlinear sein. Je mehr Parameter sie haben, desto schmiegsamer sind die Kurven

Zur Modellwahl Regressionsmodelle können exploratorisch oder prüfend gewählt werden Die Entscheidung über die Güte der Modellpassung wird anhand von Kennziffern der Vorhersageleistung getroffen Je mehr Parameter ein Modell hat, desto eher kann es komplizierteren Verläufen der Daten folgen und verschiedene Trends abbilden Vorhersageleistungen sind daher relativ zur Anzahl der freien Parameter zu bewerten

Lineare Näherungskurve Lineare Näherung ist oft die zunächst einfachste Gibt recht gut einen Trend der Beziehung an: mehr geht oft nicht Unterscheidung zwischen empirischer und theoretischer Näherungskurve

Lineare Näherungskurve: Modellansatz Die lineare Näherungskurve (Regressionsgerade) wird so bestimmt, daß die Summe der quadrierten Abweichungen der Y Werte von der Geraden minimal werden (Kleinstquadratkriterium) Modell: Fehler: Datenerklärung: Kriterium für die Parameterbestimmung [Tafelrechnung: Bestimmung der Normalgleichungen für die Parameter a 0 und a 1 ]

Die Normalgleichungen Die Normalgleichungsregel führt für Polynome k-ter Ordnung stets auf dasselbe Gleichungssystem wie die Behandlung des Minimierungsproblems Modell: Regel: Multipliziere jede Seite der Gleichung nacheinander mit 1, x, x 2,...,x k und summiere über die N- Fälle Für k = 1 (lineare Regression) ergibt das:

Die Koeffizienten a 0 und a 1 Die Steigungskonstante a 1 ergibt sich als Quotient der sog. Kovarianz und der Varianz der Variable x. Auflösen des Normalgleichungssystems nach a 1 ergibt: [Tafelbehandlung]

Die Koeffizienten a 0 und a 1 Der Schnittpunkt a 0 läßt sich direkt aus der Steigungskonstanten und den beiden Mittelwerten errechnen Auflösen des Normalgleichungssystems nach a 0 :

Varianzzerlegung Für die lineare Regression gilt die additive Varianzzerlegung Die Kriteriumsvarianz ist die Summe aus Vorhersagevarianz und Fehlervarianz

Determinationskoeffizient Wegen der Varianzzerlegung Der Determinationskoeffizient gibt den Anteil der erklärten Varianz an der gesamten Kriteriumsvarianz an. gilt Man definiert als Determinationskoeffizient

Determinationskoeffizient Der Anteil der erklärten Varianz ist der Anteil der quadrierten Kovarianz an dem Produkt der beiden Varianzen. Ferner gilt (s. Steigungsdreieck) Und daher Woraus man für den Determinationskoeffizienten erhält

Standardschätzfehler Der Standardschätzfehler beschreibt die Streuung um die Regressionsgerade. Er ist definiert als Anteil an der Streuung des Kriteriums, der zulasten der Unzuverlässigkeit geht. gilt Wegen und daher

Regression X aus Y AnsatzKoeffizienten Die Regressionsgerade X aus Y (grau) minimiert den Vorhersagefehler in X- Richtung. Man erhält die Koeffizienten der Geraden durch Vertauschen von X und Y und Lösen den Normalgleichungen. Beide Geraden schneiden sich im Punkt [Tafel]

Abweichungswerte AnsatzGeraden Bei Abweichungswerten fällt die additive Konstante weg. Beide Geraden schneiden sich im Nullpunkt [Tafel]

z - Werte Die Covarianz von z- standardisierten Variablen ist der sog. Pearson – Produkt – Moment Korrelationskoeffizient Die Covarianz von z- Werten ist: [Tafel] Geraden:

z - Werte Die Geradensteigung bei z- standardisierten Variablen ist der Pearson – Produkt – Moment Korrelationskoeffizient. Beide Regressionsgeraden fallen zusammen, es gibt nur noch eine. Die Geradensteigung bei z- Werten ist:

Der Produkt-Moment- Korrelationskoeffizient Der Produkt-Moment Korrelationskoeffizient gibt Stärke und Richtung des linearen Zusammenhanges zweier Variablen an. für seinen Wertebereich. Es gilt: Er ist invariant gegenüber linearen Transformationen