Multivariate Analysemethoden Johannes Gutenberg Universität Mainz und Multivariates Testen Vorlesung 21.05.2007 Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz

Multivariate Varianzanalyse (MANOVA) Multivariates Testen MANOVA Multivariate Varianzanalyse (MANOVA) Ziele Mehrgruppen / Mehrfaktorenvergleiche von Messungen auf mehreren abhängigen Variablen. Vermeidung von Entscheidungsfehlern durch fälschliche implizite Unabhängigkeitsannahme bei univariater Abtestung der einzelnen abhängigen Variablen. Vermeidung der Probleme durch multiples Testen durch Verwendung eines einzigen Tests für das gesamte Design. Verbesserte Teststärke und Validität bei Verwendung von Testbatterien und (mäßig) korrelierten Profilskalen. Voraussetzung Gleiche (homogene) Varianz-Kovarianz Matrizen (Sj) in allen Gruppen. Testungen der Gruppenunterschiede (Centroide), sowie der Homogenität der Sj - Matrizen erfordern die Gültigkeit der multivariaten Normalverteilung.

Ansatz Anwendung Nachteile Multivariates Testen MANOVA Vergleich der Quadratsummen für „between“ und „within“ Group Varianz, erzeugt aus allen Variablenkomponenten. Statistik erhält man ebenso über über Eigenwertzerlegung einer aus B und W Komponenten zusammengesetzten Matrix. Anwendung Allgemein: Experimentelle Analyse im Rahmen von multidimen- sionalen Evaluationsstudien. Multiple Effektivitätsstudien. Nachweise der Veränderung von Profilen durch experimentelle oder therapeutische Intervention in repeated measurement Designs. Untersuchung differentieller Effekte auf mehren Ebenen (Mehrebeneanalyse). (Z.B. Arbeitszufriedenheit auf 3 Hierachieebenen untersuchen). Nachteile Restriktion gleicher Varianz-Kovarianz Matrizen in allen Gruppen. Auswirkung der Verletzung der Annahme der multivariaten Normalverteilung schwer abzuschätzen.

PrototypischeDatensituation 2D Beispiel MANOVA 2D-Beispiel 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 5.0 6.0 7.0 Koordination: X1 Fahrleistung: X2 Regression nüchtern Regression 1 Promill 1 Promill 0.5 Promill PrototypischeDatensituation Generell: g- Gruppen gemessen auf p Variablen. Hier g=2, p=2, Koordination (X1) und Fahrleistung (X2) Gleiche Regressionssteigungen und gleiche Varianzen in den Gruppen auf beiden Variablen (Homogenität der Varianzen und Covarianzen) Stichprobendaten entstammen multivariat normalverteilten Populationen.

1D - Testen unzulänglich 2D Beispiel MANOVA 2D-Beispiel Fahrleistung: X2 Regression 0.5 Promill Regression 1 Promill 1 Promill 0.5 Promill Koordination: X1 1D - Testen unzulänglich Univariat sind die Rohwertverteilungen nicht gut getrennt, und daher ebenfalls nicht die Mittelwerteverteilungen (hohes N nötig für signi- fikante Gruppenunterschiede in den Kennwerteverteilungen) Signifikanzurteile sind unabhängig und führen zu p Signifikanzaus- sagen, obwohl nur eine erwünscht ist Information der gleichen Beziehung zwischen den abhängigen Variablen (gleiche Korrelation) wird nicht genutzt .

2D - Testen Ausgangslage 2D Beispiel MANOVA 2D-Beispiel Fahrleistung: X2 Regression 0.5 Promill Regression 1 Promill 1 Promill 0.5 Promill Koordination: X1 2D - Testen Ausgangslage 2D 95% Quantile zeigen an, daß die Mittelwerte der jeweils anderen Gruppe nicht mehr im Konfidenzbereich der Rohwerte liegen (bei den univariaten Verteilungen liegen sie darin) Orthogonal zur Hauptvarianzrichtung der Ellipsen bestehen optimale Trennbedingungen für die Mittelwerte Ein Test, in den die Korrelation der beiden Variablen eingeht, hat daher optimale Chancen, Unterschiede der Centroide aufzudecken. MANOVA

Problem Annahmen 1. One-Way MANOVA MANOVA Unterscheiden sich g unabhängige Populationen in ihren auf p Variablen gemessenen Centroiden ? g = Anzahl Gruppen n = Snl = n1 + n2 +…ng p = Anzahl Variablen Population 1: Population 2: Population g: Konstanten i : Fälle (Personen) l : Gruppen Indices Annahmen Die Samples X1l, X2l,…, Xnll sind Zufallsstichproben der Größe nl mit einem Populationszentroiden ml. Die Zufallsstichproben sind unabhängig. Alle Populationen haben dieselbe wahre Varianz-Covarianzmatrix S. Jede Population ist p- variat normalverteilt.

xilj Datenschema Parameter- schätzer Zu prüfende Annahmen 1. One-Way MANOVA MANOVA Datenschema Population 1: Population 2: Population g: Var Group Case xilj Parameter- schätzer … Zu prüfende Annahmen Homogenität der Varianz-Covarianz-Matrizen und p-variate Normalverteilung der Stichprobenwerte

MANOVA Modell Additive Zerlegung p x p Matrizen 1D Analog 1. One-Way MANOVA MANOVA MANOVA Modell Additives Modell zum Vergleich von Centroiden aus g Populationen mit eil unabhängigen und N(0,S) verteilten Fehlerkomponenten. Additive Zerlegung Beobachtung Grand Mean Treatmenteffekt Fehlerkomponente Grand Mean abziehen, Kreuzprodukt bilden , und summieren über Fälle ergibt: Totale QS und Kreuzprodukte Treatment QS und Kreuzprodukte Fehler QS und Kreuzprodukte p x p Matrizen 1D Analog

Additivität der Variation 1. One-Way MANOVA MANOVA p x p Matrizen Hierin sind die x Vektoren mit p Komponenten (Variablen): Regel Die Matrizen B und W werden als inneres Produkt (Zeilen- mal Spalten) der Variablen-Vektoren aufgebaut und dann über Fälle und Gruppen summiert. Sie sind stets p x p Matrizen. Matrix-Notation Additivität der Variation Es gilt: Within Group QS und Kreuzprodukte Totale QS und Kreuzprodukte Between Group QS und Kreuzprodukte

aus gepoolten S - Matrizen 1. One-Way MANOVA MANOVA W-Matrix aus gepoolten S - Matrizen mit Sl der Varianz-Covarianz Matrix in Gruppe l. B-Matrix (p=2 Vars Beispiel) Treatment (Group) Quadratsummen & Kreuzprodukte x1 x2 x1 x2 Komponenten Var Group Var

Alternative Berechnung 1. One-Way MANOVA MANOVA MANOVA Table Source of Variation Matrix of SS & Cross- Products (SSP) Degrees of Freedom Treatment B g - 1 Error W Total M = B + W n - 1 Test-Statistik Die H0: t1 = t2 = … = tg = 0 wird abgelehnt, wenn (Quotient der generalisierten Varianzen, „Wilk‘s Lambda“) zu klein wird. Alternative Berechnung mit s der Rang der Matrix W-1B und li ihr i-ter Eigenwert

c2 - Test der Wilks Statistik Simultane Kontraste Vorteil der MANOVA 1. One-Way MANOVA MANOVA Lehne H0 ab, wenn c2 - Test der Wilks Statistik (c2 Verteilung mit p(g-1) Freiheitsgraden, Bartlett) Für p < 3 und g < 3 sind F-Tests üblich. Bartletts Test ist für größere Stichproben und eine größere Anzahl Variablen exakt. Simultane Kontraste Als Kontraste sind Wilks-Tests oder Hotellings T2 gebräuchlich: ist verteilt wie mit Vorteil der MANOVA (Höhere Freiheitsgrade)

Voraussetzungund Probleme der Prüfung 1. One-Way MANOVA MANOVA Voraussetzung Homogene S – Matrizen Prüfgröße Box-M Test ist c2 verteilt mit p(p+1)(g-2)/2 Freiheitsgraden Voraussetzungund Probleme der Prüfung Der Test setzt multivariat normalverteilte Populationen voraus. Ebenso sollte die Anzahl der Messungen in den Gruppen >20 und die Anzahl der Variablen < 5 sein. Testung über die Homogenität der Korrelationsmatrizen (Residualanalyse) prüft nur die Homogenität der Covarianzen, nicht der Varianzen. Diese können aber mit einem Bartlett Test Gesondert auf Homogenität geprüft werden.