Kapitel 4: Statik in kontinuierlichen Medien 4.1 reale Festkörper

Experimentelle Befunde: Wir beobachten bei Zug Längenänderungen, die unterschiedlich für unterschiedliche Materialien sind und mit der Querschnittsfläche skalieren. Daher definieren wir die Dehnung e als relative Längenänderung: e=Dl/l und die Zugspannung s als Verhältnis der Zugkraft zur Querschnittsfläche des gezogenen Körpers: s=F/A 2) Das Verhältnis von Spannung zu Dehnung ist zunächst konstant. Diesen Bereich nennen wir Proportionalbereich. Die Konstante ist materialabhängig und wird als Dehnungs- modul oder Elastizitätsmodul E bezeichnet. E=s/e= Fl/ADl

Analog behandelt man Druck auf ein Material mit Hilfe der Druckspannung. Elastizitätsmodule für Druckspannung und Zugspannung können, aber müssen nicht gleich sein. Beispiel: Knochen ! 3) Jenseits des Proportionalitätsbereiches/ der Proportiona- litätsgrenze gibt es einen Bereich, indem die Änderungen nicht linear, aber noch reversibel sind, den Elastizitäts-bereich. Jenseits der Elastizitätsgrenze treten irreversible Deformationen auf. Jenseits des Reißpunktes wird der Körper zerstört.

4) Die Zugspannung bewirkt weiterhin eine Änderung der Dicke des Materials, die Querkontraktion Dd/d. Auch sie ist materialabhängig. Die Querkontraktion ist proportional der Längenkontraktion, die Proportionalitätskonstante ist die Poisson (´sche) -Zahl m=-Ddl/Dld. 5) Unter Zugspannung tritt demnach eine Volumenänderung des Körpers ein:

6) Wenn von allen Seiten eine Druckspannung auf einen Körper mit zugehörigem Elastizitätsmodul E wirkt, verringert sich dessen Volumen. Zur Beschreibung der Abhängigkeit der Volumenänderung von dieser Spannung definiert man das Kompressionsmodul K in analoger Weise wie das Elastizi- tätsmodul. Neben den volumenverändernden Druck- und Zug- spannungen gibt es auch solche, die das Volumen erhalten, die Schubspannungen, d.h. Scherspannung und Torsions- spannung.

6) Eine in tangentialer Richtung zur Oberfläche A angreifende Kraft heißt Scherkraft und führt zu einer Verformung des Körpers, die durch Kippung senkrechter Schnitte des Körpers um einen Winkel q, den Scherwinkel führt. Normiert man sie auf die Fläche, erhält man eine Scherspannung t. F t=F/A; Der Tangens dieses Winkels wird als Scherung g bezeichnet. Das Verhältnis von Scherwinkel zur Scherung ist für kleine Scherwinkel eine materialabhängige Konstante, das Schubmodul bzw. Torsions- modul G. G=t/g=F/tan q A Dx l q

Zur Bestimmung von G benutzt man die Torsion eines Stabes bei Einsatz eines definierten Drehmoments, bei der die resultierende Winkeländerung gemessen wird. Man kann das Schub- oder Torsionsmodul auch mittels Elastizitätsmodul und Poisson-Zahl ausdrücken. Es ergibt sich: und damit: In der Praxis sind E und G am leichtesten messbar, also benutzt man diese Beziehungen zur Bestimmung von µ und k.

Wird ein Balken gebogen, so behält nur eine Faser des Balkens ihre ursprüngliche Länge. Diese Faser heißt neutrale Faser . Oberhalb der neutralen Faser erfolgt Dehnung, unterhalb der neutralen Faser Stauchung. Die maximale Senkung des Balkens wird durch den Biegungspfeil s beschrieben. Die analytische Beschreibung der Biegung kann im allgemeinen Fall beliebig kompliziert werden. Wichtig für seine Beschreibung ist das Flächenträgheits- moment IF, das definiert wird durch: wobei r den Abstand zur neutralen Faser darstellt, und die betrachtete Fläche die Querschnittsfläche des Balkens ist.