(Harmonische) Schwingungen Kapitel 2: Dynamik 2.3 Anwendungen (II): (Harmonische) Schwingungen

Schwingungen sind wichtig ... Wann brauche ich das ??? Auf der Schaukel, im Boot, beim Reden, beim Musizieren, beim Handy, Radio, elektronischen Geräten, um IR- und Raman-Spektren zu verstehen, Phononen im Festkörper, Anregungszustände von Mesonen, beim Autofahren... Schwingungen sind wichtig ... ...aber sehen beim ersten Anblick mathematisch nicht ganz leicht zu behandeln aus... 2 Testfälle: mathematisches Pendel Federpendel

Zur Erinnerung: Mathematisches Pendel (Masse m an Faden der Länge l) Schritt 1: Kraft bestimmen ! Es wirkt die Schwerkraft, aber sie wird zum Teil durch den Faden kompensiert. a Komponente in Richtung des Fadens (kompensiert durch den Faden) ~cos a l Verbleibende, wirkende Komponente ~sin a F=-mg

NM Schritt 2: Wie hängen s und a zusammen ? in rad ! Zu lösen ist also die Differentialgleichung: 2. Ableitung der Funktion ist ihr Sinus ??? Kaum (nicht) analytisch zu knacken ! NM Um die Gleichung dennoch lösen zu können, muß man nähern ! Idee: Lineare Näherung in der Umgebung einer Stelle durch Gerade mit der Steigung der Funktion an dieser Stelle x f(x) x0 f(x) f(x0)+f‘(x0)(x-x0) Für sin x um x0=0: f(x0)=0, f‘(x0)=1, sin x x f‘(x0)

Schritt 3: Lösung der genäherten Differentialgleichung Zu lösen ist also die Differentialgleichung: d.h. wir suchen eine Funktion, deren 2. Ableitung proportional zum Negativen der Funktion ist ! Lösungsansatz: Raten ! Anpassung von A und j an die Anfangsbedingungen: man kennt Ort und Geschwindigkeit zu t=0. Einsetzen u. ausrechnen !

Ein physikalisch ganz anderes Szenario: Federkräfte Hooke‘sches Gesetz: Dehnt (oder drückt) man einen elastischen Körper, erzeugt er eine der Deformation entgegenwirkende Kraft, die zu der Dehnung (Stauchung) proportional ist: F(x)=-kx Die Größe k heißt Federkonstante. Welche Kräfte wirken, wenn ich eine bei x0 im Gleichgewicht befindliche Feder um die Strecke x auslenke ? F(x)=-kx DGL: Die Lösung kennen Sie schon ...

2.4 Beschleunigte Bezugssysteme Kapitel 2: Dynamik 2.4 Beschleunigte Bezugssysteme

Alltagserfahrung ! Was verursacht Bewegungen ? Bewegungen werden durch Kräfte verursacht ! Ein Körper, auf den keine resultierende Kraft wirkt, befindet sich im Zustand der Ruhe ... oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung ! „Trägheitsgesetz“ oder „1. Newton‘sches Axiom“ Alltagserfahrung ! ... Gilt aber nicht für Beobachter in beliebigen Systemen ! z.B. Flugzeug beim Start ! Allgemein: Nicht in beschleunig- ten Bezugssystemen. Systeme, in denen das Trägheits- gesetz erfüllt ist heißen Inertialsysteme.

Scheinkräfte ! ...und sonst ??? A‘ A A‘ A sieht eine Fallbewegung A‘ sieht außer dem Fall noch Bewegung durch Scheinkraft -ma

Spezialfall: (gleichförmige) Kreisbewegung Variablen x, y ? Besser: r,j r j Winkelgeschwindigkeit w Problem: Wie geht das vektoriell ? w kann kein Skalar sein, den Geschwindigkeits- und Radiusvektor stehen senkrecht aufeinander. Lösung: Kreuzprodukt ! Die Winkelgeschwindigkeit steht parallel zur Drehachse. Rechte-Hand-Regel zur Richtungsangabe !

Corioliskraft A‘ A Q Q‘ P

Spezialfall: (gleichförmige) Kreisbewegung Zentrifugalkraft Dv Warum ist das beschleunigt ? Die Richtung des Geschwin- digkeitsvektors ändert sich ! v1 v0 Diese Winkel sind gleich, weil die Geschwindigkeits- vektoren jeweils senkrecht auf Radiusvektoren stehen. Ds r STRAHLENSÄTZE !!!

Die Richtung der Beschleunigung ist auf das Zentrum des Kreises gerichtet. Diese Beschleunigung heißt Zentripetal- beschleunigung ! Um den Körper auf der Kreisbahn zu halten, muß daher eine Zentripetalkraft aufgebracht werden. Der mitbewegte Beobachter spürt eine Scheinkraft, die ihn vom Zentrum des Kreises wegzudrücken scheint, die Zentrifugal- kraft.