Aspekte der Risikoanalyse - das Duration-Konzept Die Duration als Maß für die Zinsempfindlichkeit von Anleihen

Zinsänderungen bei festverzinslichen Wertpapieren – Barwertbetrachtung (Wieder-)Verkaufspreis (d.h. der Kurs) eines Wertpapiers (WP) unterliegt Schwankungen; diese richten sich nach dem Marktzins i Steigender Marktzins  sinkender Kurs, da Investoren aufgrund der festgelegten Zahlungen eine entsprechende Rendite nur über den Kurs erwirtschaften können Sinkender Marktzins  steigender Kurs für das WP, da die Rückzahlungen nicht mehr so stark abgezinst werden  höherer Barwert (= Kurs) 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Zinsänderungen bei festverzinslichen Wertpapieren - Endwertbetrachtung Endwert eines Wertpapiers (WP) ist abhängig von den Änderungen des Marktzinses i  hier gegenläufiger Effekt zur Barwertbetrachtung Steigender Marktzins  höherer Endwert, da die laufenden Kupon-Zahlungen (Zinszahlungen) zu dem höheren Marktzins wieder angelegt werden können Sinkender Marktzins  sinkender Endwert, da laufende Kuponzahlungen nur zu dem geringeren Marktzins wieder angelegt werden können 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Carolin Kopyto MAF BN SS 2011 Zinsänderungen bei festverzinslichen Wertpapieren – Ausmaß der Kursänderung Fragestellungen: Welche Eigenschaften eines festverzinslichen WPs (z.B. Laufzeit, Kuponhöhe) und welche externen Einflussfaktoren (z.B. Marktzinsniveau) beeinflussen die Kursempfindlichkeit des WP? Gibt es eine Laufzeit eines WP, die als Haltedauer interpretiert, die unterschiedlichen Effekte der Zinsänderung aufwiegt, d.h. immunisiert?  siehe Vortrag von Hr. Dreesen 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Duration als Sensitivitätskennzahl Die Duration ist eine Sensitivitätskennzahl, welche die durchschnittliche Kapitalbindungsdauer einer Geldanlage in ein festverzinsliches WP bezeichnet. Die Duration ist der gewichtete Mittelwert der Zeitpunkte, zu denen der Anleger Zahlungen (Kupons) aus dem WP erhält. Als Gewichtungsfaktor des Durchschnitts werden die Barwerte der Zinszahlungen der jeweiligen Geldanlage (WP) herangezogen. 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Annahmen des Durationskonzepts Flache Zinsstrukturkurve: vereinfachte Annahme laufzeitunabhängiger Zinsen; dadurch können Zahlungen, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallen, mit einem einheitlichen Zinssatz abgezinst werden Einmalige Änderung des Marktzinsniveaus: Änderung erfolgt unmittelbar nach Erwerb des WP Wiederanlage der Kuponzahlungen erfolgt zum Marktzins i Keine Transaktionskosten und keine Steuern 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Duration – Ausgangspunkt (1) Beispiel: Anleihe A besteht aus zukünftigen Kuponzahlungen Zk zu den Zeitpunkten tk (k = 1,..,n). Rücknahmekurs Cn im Zeitpunkt tn ist dabei in der letzten Zahlung Zn bereits enthalten! Zum Zeitpunkt t=0 ergibt sich der finanzmathematische Wert (dirty price, Bruttopreis) C0 der Anleihe durch Abzinsen sämtlicher Zahlungen Zk mit dem im Zeitpunkt t=0 herrschenden Marktzins i. 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Duration – Ausgangspunkt (2) Ist i der stetige Periodenzinssatz, so gilt: Ist i der diskrete exponentielle Periodenzinssatz, so gilt: 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Beispiel – Berechnung Barwert nach stetiger und diskreter Methode Anleihe (Nennwert 100 €), Laufzeit k = 5 Jahre, Kupon i.H.v. 10 €, Rücknahmepreis 100 €, Marktzins i = 8% Stetiger Barwert: C0 = 106,62 € Diskreter Barwert: C0 = 107,99 € 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Carolin Kopyto MAF BN SS 2011 Empfindlichkeit des Kurses C0 durch Änderung der unabhängigen Variablen i Berechnung der Änderung der Variablen C0 bei Änderung der unabhängigen Variablen i um eine kleine Einheit di erfolgt durch die erste Ableitung C´0 (i) bzw. durch das Differential dC0 = C`0 (i) * di D.h. 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Carolin Kopyto MAF BN SS 2011 Empfindlichkeit des Kurses C0 durch Änderung der unabhängigen Variablen i Die Relative (prozentuale) Veränderung dC0 / C0 des Anleihepreises folgt in Abhängigkeit von der Zinsänderung di: 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Definition – Duration (bei stetiger Zinsformel) Unter der Duration D einer gegebenen Zahlungsreihe Z1, Z 2, …, Zn (fällig bezogen auf t=0 – zu den Zeitpunkten t1, t2, …, tn) beim Marktzinsniveau i (als stetiger Zinssatz) versteht man die Zahl D mit: 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Sensitivität von Anleihen bzgl. Zinsschwankungen Gegeben sei eine Zahlungsreihe (z.B. Anleihe) Z1, Z2, …, Zn zu den Zeitpunkten t1, t2, …, tn und – bei flacher Zinskurve – ein stetiger Marktzinssatz i. Die Duration der Zahlungsreihe sei D. Unmittelbar nach Bewertung der Zahlungsreihe durch ihren Barwert C0 ändere sich der Marktzins i um di. Dann ist die resultierende relative (prozentuale) Änderung dC0 / C0 des Barwerts C0 (näherungsweise) gegeben durch: dC0 / C0 = -D * di 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Ermittlung der Duration anhand eines Beispiels (1) Bsp.: Anleihe (Nennwert 100 €), Laufzeit k = 5 Jahre, Kupon i.H.v. 10 €, Rücknahmepreis 100 €, Marktzins i = 8% Zeitpunkt t Zahlung Zt Barwert C0 Zt* e-0,08t Zeitpunkt * Barwert t * Zt * e-0,08t 1 10 9,2312 2 8,5214 17,0429 3 7,8663 23,5988 4 7,2615 29,0460 5 110 73,7352 368,6760 Summe 106,6156 (= C0) 447,5949 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Ermittlung der Duration anhand eines Beispiels (2) dC0 = 447,5949 C0 = 106,6156 Duration D = dC0/C0 = 447,5949/106,6156 D = 4,1982 Somit können wir die relative Änderung des Anleihepreises ermitteln, wenn sich unmittelbar nach t=0 der Marktzins um einen kleinen Betrag di ändert. 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Ermittlung der Duration anhand eines Beispiels (3) Bsp.: di = 0,001, d.h. der stetige Marktzins ändert sich von 8,0% auf 8,1% dC0 / C0 = -D*di -4,1982*0,001 = -0,0041982 D.h., dass der Barwert C0 des Papiers um 0,41982% von 106,6156 auf 106,1680 ≈ 106,17 € fallen müsste. Probe: Zeitpunkt t Zahlung Zt Barwert C0 Zt* e-0,081t 1 10 9,2219369 2 8,5044121 3 7,8427151 4 7,2325024 5 110 73,367449 Summe 106,16902 (=C0) 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Alternative Definition der Duration Vorne haben wir gesehen, dass die Sensitivität dC0/C0 eines Wertpapiers ggü. Zinsschwankungen mit Hilfe der Duration D gemessen werden kann (= -D*di). Umgekehrt (nach D aufgelöst) bedeutet dies: 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Interpretation der „Durations-Formel“ Umformung: Interpretation: Der geklammerte Term: Im Zähler steht der Barwert der k-ten Zahlung; im Nenner der Barwert (Kurs) der gesamten Zahlungsreihe  Der Bruch enthält den Barwert-Anteil der k-ten Zahlung am Gesamt-Barwert Die geklammerten Terme sind „Gewichte“, die mit den jeweiligen Laufzeiten bzw. Zeitpunkte tk der Zahlungen Zk multipliziert werden. Jeder zukünftige Zahlungszeitpunkt tk wird mit dem Barwert gewichtet, den die zugehörige Zahlung zum Barwert C0 beiträgt. Duration D = gewogener Durchschnitt aller dieser Laufzeiten. Somit „durchschnittliche Bindungsdauer“ des eingesetzten Kapitals bis zum vollständigen Rückfluss oder „durchschnittliche gewichtete Fälligkeit“ der Kapitalanlage. 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Definition – Duration (bei diskreter Zinsformel) Unter der Duration D einer gegebenen Zahlungsreihe Z1, Z 2, …, Zn (fällig bezogen auf t=0 – zu den Zeitpunkten t1, t2, …, tn) beim Marktzinsniveau i (als diskreter Zinssatz) versteht man die Zahl D mit sog. Macaulay- Duration 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Carolin Kopyto MAF BN SS 2011 Empfindlichkeit des Kurses C0 durch Änderung der unabhängigen Variablen i Berechnung der Änderung der Variablen C0 bei Änderung der unabhängigen Variablen i um eine kleine Einheit di erfolgt durch die erste Ableitung C´0 (i) bzw. durch das Differential dC0 = C`0 (i) * di  d.h. 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Carolin Kopyto MAF BN SS 2011 Empfindlichkeit des Kurses C0 durch Änderung der unabhängigen Variablen i Die Relative (prozentuale) Veränderung dC0 / C0 des Anleihepreises folgt in Abhängigkeit von der Zinsänderung di: 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Einheitliche Darstellung der Zinsempfindlichkeit des Anleihekurses C0 Stetige Zinsformel mit i = stetiger Marktzins Diskrete Zinsformel mit i = diskreter Marktzins Einheitliche Darstellung: wobei: modifizierte Duration MD = D/(1+i) und D = Macaulay-Duration  Die MD spielt bei Verwendung der diskreten Zinsformel dieselbe Rolle wie Duration D bei Verwendung der stetigen Zinsformel 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Modifizierte Duration MD Die Modifizierte Duration gibt an, wie stark sich der Gesamtertrag einer Anleihe (bestehend aus den Tilgungen, Kuponzahlungen sowie Zinseszinseffekt bei der Wiederanlage der Rückzahlungen) ändert, wenn sich der Zinssatz am Markt ändert. Die Modifizierte Duration MD steht mit der Macaulay-Duration (D) in folgendem Zusammenhang: MD = D * [1/(1+i)] bzw. MD = D/(1+i) 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Ermittlung der Macaulay-Duration anhand eines Beispiels (1) Bsp.: Anleihe (Nennwert 100 €), Laufzeit k = 5 Jahre, Kupon i.H.v. 10 €, Rücknahmepreis 100 €, Marktzins i = 8% Zeitpunkt t Zahlung Zt Barwert C0 Zt* 1,08-t Zeitpunkt * Barwert t * Zt * 1,08-t 1 10 9,2593 2 8,5734 17,1468 3 7,9383 23,8150 4 7,3503 29,4012 5 110 74,8641 374,3207 Summe 107,9854 (= C0) 453,9430 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Ermittlung der Macaulay-Duration anhand eines Beispiels (2) dC0 = 453,9430 C0 = 107,9854 Duration D = dC0/C0 = 453,9430/107,9854 D = 4,2037 Somit können wir die relative Änderung des Anleihepreises ermitteln, wenn sich unmittelbar nach t=0 der Marktzins um einen kleinen Betrag di ändert. 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Ermittlung der Macaulay-Duration anhand eines Beispiels (3) Bsp.: di = 0,001, d.h. der diskrete Marktzins ändert sich von 8,0% auf 8,1% dC0 / C0 = -MD*di = [-D/(1+i)]*di (-4,1982/1,08)*0,001 = -0,0038923 D.h., dass der Barwert C0 bzw. Preis des Papiers um 0,38923% von 107,9854 auf 107,5651 ≈ 107,57 € fallen müsste. Probe: Zeitpunkt t Zahlung Zt Barwert C0 Zt* 1,081-t 1 10 9,2506938 2 8,5575336 3 7,9163123 4 7,3231381 5 110 74,518519 Summe 107,5662 (=C0) 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Definition der Duration als Elastizitätswert (1) Elastizitätsbegriff als Antwort auf Untersuchung der relativen (prozentualen) Änderung dC0/C0 bzw. d(1+i)/(1+i) (d.h. Änderung des Anleihewertes C0 bei kleiner Marktzinsänderung d(1+i)) Unter Elastizität εC0,q des Anleihepreises C0 in Bezug auf den Marktzinsfaktor q (=1+i) versteht man den Quotienten der relativen (prozentualen) Veränderung der beiden Variablen C0 und q 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Definition der Duration als Elastizitätswert (2) Mit Hilfe der Differentialrechnung, der Formel dC0/di und der klassischen diskreten Verzinsungsformel erhält man (unter Beachtung von dq = d (1+i) = di): Macaulay- Duration 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Definition der Duration als Elastizitätswert (3) Die Macaulay-Duration D beschreibt somit die prozentuale Veränderung des Anleihewertes C0 bei Änderung des Zinsfaktors um einen Prozent – eine Modifikation von D ist somit nicht notwendig. 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011

Definition der Duration als Elastizitätswert (4) - Beispiel Man nehme die Daten aus dem Beispiel von Folie 24f.: wobei i = 8%, di = 0,1%, D = 4,2037 dq = di = 0,1%-Punkte stellen eine Zunahme des Zinsfaktors 1,08 (=q) um 0,092592% (=0,1/1,08) dar Aus εC0, q = -D = -4,2037 folgt: dC0/C0 = -4,2037 * dq/q = -4,2037*0,092592% = -0,38923% Dies ist somit dasselbe Ergebnis, wie es mit der modifizierten Duration MD ermittelt wurde (siehe Folie 26)! 28.05.2011 Carolin Kopyto MAF BN SS 2011