Kap. 7: Die quadratische Funktion – numerisch, graphisch, theoretisch Dr. Dankwart Vogel Uni Essen WS 2009/10

Drei Beispiele Beispiel 1 Rohölreserven der Welt Wann ist der Vorrat erschöpft? Uni Essen WS 2009/10

Jahresverbrauch n Jahre nach 2007 in Mio. Barrel pro Tag: Beachte: Nimmt der Verbrauch linear zu, so nimmt der Vorrat quadratisch ab. Jahresverbrauch n Jahre nach 2007 in Mio. Barrel pro Tag: Verbleibende Erdölreserven n Jahre nach 2007 in Mrd. Barrel: Frage: Wann genau ist das Vorkommen erschöpft? Die Antwort gibt zunächst Excel: Numerisch: n Vorrat 29 41,1 30 -4,0 Uni Essen WS 2009/10

Graphisch: Bereits 2037 ist das Erdölvorkommen erschöpft. Uni Essen WS 2009/10

Gesucht ist die Lösung einer Gleichung der Form: Theoretisch Gesucht ist die Lösung einer Gleichung der Form: Beachte: Wir sind zum kontinuierlichen Modell übergegangen. Interessiert uns nicht nur, wann das Ölvorkommen auf null, sondern wann es auf irgendeinen Wert gesunken ist, müssen wir die Funktion umkehren. Beide Probleme Lösen einer (quadratischen) Gleichung und Umkehren einer (quadratischen) Funktion können wir graphisch, numerisch oder algebraisch angehen. Uni Essen WS 2009/10 5 5

Auch die Umkehrfunktion lässt sich graphisch, numerisch und Lies am Funktionsgraph zum gegebenen r-Wert den zugehörigen t-Wert ab. Numerisch Mit TR oder Excel Tabellenfunktion Solver Algebraisch quadratische Ergänzung p/q-Formel Auch die Umkehrfunktion lässt sich graphisch, numerisch und algebraisch finden. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die quadratische Funktion nur für umkehrbar ist. Uni Essen WS 2009/10 6 6

Beispiel Umkehrung der quadratischen Funktion Durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. Durch Vertauschen von x und y und Auflösen nach x: Die zweite Lösung (negative Wurzel) entfällt, da vorausgesetzt ist. Uni Essen WS 2009/10

Umkehrung der quadratischen Funktion allgemein Durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. Durch Vertauschen von x und y und Auflösen nach x: Eine der beiden Lösungen entfällt, je nach dem welcher Ast der Funktion g umzukehren ist. Uni Essen WS 2009/10

Formen der quadratischen Gleichung Allgemeine Form Normalform Scheitelpunktform Produktdarstellung Drei-Punkte-Form Jede dieser Formen hat ihre Berechtigung. Frage: Wann verwenden wir welche? Uni Essen WS 2009/10

quadratisches Polynom Der Graph eines quadratischen Polynoms quadratisches Polynom Graph des Polynoms Normalparabel (NP) um a in y-Richtung gestreckt zusätzlich um in y-Richtung verschoben zusätzlich um in x-Richtung verschoben Satz: Der Graph des quadratischen Polynoms ist eine Parabel. Beweis: Da sich jedes quadratische Polynom in die Scheitelpunktsform bringen lässt, geht sein Graph durch Strecken und Verschieben aus der NP hervor – ist also eine Parabel. Uni Essen WS 2009/10

Was man sich merken sollte Die Streckung muss der Verschiebung in y-Richtung vorausgehen, sonst ist die Reihenfolge egal. (Warum?) Die x-Koordinate von S ist , denn S liegt genau in der Mitte zwischen beiden Nullstellen. (Denke an die p/q-Formel!) Dies bleibt richtig, wenn die Parabel keine oder eine Nullstelle hat. Die y-Koordinate ergibt sich dann durch Einsetzen. So erhält man schnell, mühelos und sicher die Scheitelpunktsform aus der Normalform. Die p/q-Formel ersetzt nicht die Methode der quadratischen Ergänzung. (Wer dagegen die quadratische Ergänzung beherrscht, kann die p/q-Formel jederzeit herleiten, also entbehren.) Jedes quadratische Polynom lässt sich auf die Form bringen. An ihr lässt sich sofort ablesen, dass es bei sein Minimum (bzw. Maximum) annimmt, wenn (bzw. ) ist. Uni Essen WS 2009/10

Aufgabe Wie kann man allein aus dem Bild einer Parabel auf die Vorzeichen der Koeffizienten a, b, c in schließen? Exploration Uni Essen WS 2009/10

Lösung Die Parabel ist nach oben geöffnet Der Scheitelpunkt liegt links der y- Achse Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist oberhalb O Uni Essen WS 2009/10

P A U S E Uni Essen WS 2009/10