8. Vektoren

Ortsvektor oder Polarvektor

A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A + 0 = A = 0 + A 0 =

A + B = 0 B = - A = A + (-B) = A - B A - B ≠ B – A (A - B) - C ≠ A - (B - C)

8.2 Skalarmultiplikation |lA| = |l lA = Al l(mA) = (lm)A = lmA l(A ± B) = lA ± lB (l ± m)A = lA ± mA

= p/4 8.2 Schreiben Sie die Strecken als Vektoren A, B, C, D. Berechnen Sie daraus L und |L|.

koordinatenfreie Darstellung: 8.3 Einheitsvektor A |A| |A|   koordinatenfreie Darstellung: Die Relation "X besitzt dieselbe Richtung wie Y “ ist eine Äquivalenzrelation. X = lY mit l > 0

8.4 Skalarprodukt (inneres Produkt) 3  3   A  B  C ist nicht definiert: (A  B)  C ≠ A  (B  C) kein neutrales Element 1 mit A  1 = A kein Inverses A-1 mit A  A-1 = 1 A / B ist nicht definiert. Aus C = A / B würde C  B = A folgen.

A  B = B  A A  (B ± C) = (A  B) ± (A  C) |A| =

Nach dem Kosinussatz gilt |A - B|2 = |A|2 + |B|2 - 2|A||B|cosj Zwei Vektoren schließen einen Winkel j mit 0 ≤ j ≤ p ein.

Zwei Vektoren schließen einen Winkel j mit 0 ≤ j ≤ p ein.

Winkelsatz des Pythagoras

A·B = |A|·|B|·cosj

A  B = 0 A  B = |A||B| A  B = -|A||B| B B B A

A3 A2 A1 Leopold Kronecker (1823 – 1891)

8.5 a) Berechnen Sie die Vektoren A, B, C, D, die Längen der Kanten und die Winkel an der Spitze der Pyramide. Die Spitze liegt 60 Einheiten höher als die Basis A, B, C, D. b) Legen Sie den Punkt B 20 Einheiten tiefer und den Punkt D 30 Einheiten höher und berechnen Sie alles neu.

Zyklische Vertauschung der Indizes x  y  z  x ... 8.5 Kreuzprodukt (äußeres Produkt) 3  3  3 Zyklische Vertauschung der Indizes x  y  z  x ... bzw. 1  2  3  1 ...

A  0 = 0 = 0  A Das Kreuzprodukt ist antikommutativ: A  B = -(B  A) A  (B ± C) = (A  B) ± (A  C) Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ:

Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren |A  B| = |A||B|sinj Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren Rechte-Hand-Regel

Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren |A  B| = |A||B|sinj Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren Rechte-Hand-Regel

kombiniert Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Das Spatprodukt (A  B)  C kombiniert Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Volumen eines aus drei Vektoren gebildeten Spates oder Parallelepipeds. Von sechs Parallelogrammflächen begrenztes Prisma. = (B  C)  A = A  (B  C)

8.6 Parallelverschiebung

8.6 Parallelverschiebung = 0

8.7 Polarkoordinaten

8.8 Vektorraum Ein Vektorraum (V, K, s) über dem Körper K ist eine abelsche Gruppe (V, +) zusammen mit einer Skalarmultiplikation s, d.h. einer Abbildung s: KV  V. Wir schreiben für das Bild s(l, A) auch lA oder lA. Für diese Abbildung gilt, wenn A, B  V und l, m  K und 1 das Einselement des Körpers K ist: (l + m)A = lA + mA l(A + B) = lA + lB (lm)A = l(m A) 1A = A = A1 Beispiele für V: Menge aller Punkte des 3 Menge aller Abbildungen f:   