Kapitel 10: Raumgruppen 10.1 Kristallographische Gruppen (eine detaillierte Vorstellung kann und soll nicht Thema einer „Einführung in die Kristallographie“ sein) 10.3 Ebenengruppen 10.4 Bandgruppen

Kristallographische Hierarchien Es gibt: 7 Kristallsysteme 14 Bravais-Gitter 32 Punktgruppen (Kristallklassen) mit 47 einfachen Kristallformen 230 Raumgruppen 122 AS-Punktgruppen (58 AS + 32 graue+32 einfarb.) 1651 AS-Schubnikov-Gruppen (AS: Antisymmetrie)

Symmetriegruppen Im zweidimensionalen Fall gibt es: 4 Kristallsysteme (Parallelogramm, Rechteck, Quadrat, Rhombus) 5 Gitter 10 Punktgruppen 17 ebene Raumgruppen Im vierdimensionalen Fall gibt es: 64 Bravais-Gitter 227 Punktgruppen 4783 Raumgruppen

Raumgruppen Definition Die Gesamtheit aller Symmetrieoperationen in einem Gitter (oder einer Kristallstruktur) nennt man Raumgruppe. Eine Raumgruppe ist eine Gruppe von Symmetrieoperationen unter Einschluß der Gittertranslationen. Raumgruppensymbol: Bravais-Gitterzentrierung + erzeugende Symmetrieelemente z.B. I 41/amd

Raumgruppen Eigenschaften: Zähligkeit allgemeine Punktlage, spezielle Punktlage asymmetrische Einheit Ableitung der zugehörigen Punktgruppe aus dem Symbol Im zweidimensionalen Fall: Ebenengruppen Bandgruppe Die detaillierte Behandlung der Raumgruppen kann nicht Gegenstand dieser einführenden Lehrveranstaltung sein. Als zweidimensionales Analogon werden die 17 Ebenengruppen kurz vorgestellt.

Ebenengruppen Im zweidimensionalen Fall gibt es: 4 Kristallsysteme mit : - Parallelogramm (engl.: oblique) - Rechteck (rectangular) - Quadrat (square) - Rhombus (triequiangular, hexagonal) als Elementarmasche 5 Gitter: - 4 primitive + zentriertes Rechteckgitter 10 Punktgruppen 17 ebene Raumgruppen Zahlreiche Beispielgraphiken sind dem „Escher Web Sketch“ entnommen (Autoren: Wes Hardaker und Gervais Chapuis, Univ. Lausanne, www-sphys.unil.ch\escher)

Ebenengruppen Parallelogramm p 1

Parallelogramm p 2 Ebenengruppen

Parallelogramm Ebenengruppen Punktgruppe Ebene Raumgruppe 1 p 1 2 p 2

Ebenengruppen Rechteck p m

Ebenengruppen Rechteck p g Asymm. Einheit

Ebenengruppen Rechteck c m

Ebenengruppen Rechteck p 2mm

Ebenengruppen Rechteck c 2mm

Ebenengruppen Rechteck p 2mg Koordinaten äquivalenter Punktlagen: 4 Elementar- maschen Koordinaten äquivalenter Punktlagen: 1 x,y -x,-y ½+x,-y ½-x,y m ¼,y ¾,-y 2 2 0, ½ ½, ½ 2 2 0,0 ½, 0 Zähligkeit spezielle Lage Koordinaten

Ebenengruppen Rechteckgruppen m p 1m1 m p 1g1 m c 1m1 2mm p 2mm 2mm p 2mg 2mm p 2gg 2mm c 2mm

Ebenengruppen Quadrat p 4

Ebenengruppen Quadrat p 4mm

Quadrat Ebenengruppen p 4gm

Ebenengruppen Square 4 p 4 4mm p 4mm 4mm p 4gm

Ebenengruppen Rhombus (hexagonal, triequiangular) p 3 AE

Ebenengruppen Rhombus p 3m1

Ebenengruppen Rhombus p 31m

Ebenengruppen Rhombus p 6

Ebenengruppen Rhombus p 6mm +

Ebenengruppen Hexagonal 3 p 3 3m p 3m1 3m p 31m 6 p 6 6mm p 6mm +

Raumgruppen Auflistung aller Raumgruppen in den Internationalen Tabellen Beispiel: I 41/amd

Bandgruppen

Bandgruppen

Übung 10 Nennen Sie Kristallsystem, Bravais-Gitter, Kristallklasse und Zähligkeit der allgemeinen Punktlage zu folgenden Raumgruppen: C 2/c Fddd I 422 A bm2 P 312 R 3c P 63cm F d-3c Analysieren Sie Tapetenmuster, Ornamente, Modedrucke und Fliesenmuster hinsichtlich ihrer Zugehörigkeit zu einer der 17 Ebenengruppen !