Kapitel 4: Statik in kontinuierlichen Medien 4.1 reale Festkörper

Feste Körper reagieren zunächst elastisch, wenn sie einer Spannung ausgesetzt werden, d.h. sie zeigen Formelastizität Die resultierende Dehnung ist zunächst proportional zur angelegten Spannung. Wächst diese, kommt es zu irreversiblen Materialänderungen und schließlich zur Zerstörung des Körpers.

Zur Beschreibung der Reaktion homogener Festkörper auf die Wirkung von Kräften auf den Körper führt man 4 Kenngrößen ein: Das Elastizitätsmodul, d.h. die Dehnung pro angelegter Spannung Die Poissonzahl, d.h. das Verhältnis von Querkontraktion zu Dehnung Das Kompressionsmodul K, das die Volumenänderung bei gegebenem allseitigen Druck beschreibt Das Torsionsmodul G, das die Scherung bei gegebener Scherspannung bzw. gegebenem Drehmoment beschreibt

Kennt man zwei dieser Module, kann man die anderen Module bestimmen. Es gelten die Beziehungen: Experimentell am einfachsten zugänglich sind Elastizitäts- und Torsionsmodul. Für fast alle Festkörper sind die Zahlenwerte der Module sehr viel höher als die Werte der zugehörigen Reißpunkte.

Wird ein Balken gebogen, so behält nur eine Faser des Balkens ihre ursprüngliche Länge. Diese Faser heißt neutrale Faser . Oberhalb der neutralen Faser erfolgt Dehnung, unterhalb der neutralen Faser Stauchung. Die maximale Senkung des Balkens wird durch den Biegungspfeil s beschrieben. Die analytische Beschreibung der Biegung kann im allgemeinen Fall beliebig kompliziert werden. Wichtig für seine Beschreibung ist das Flächenträgheits- moment IF, das definiert wird durch: wobei r den Abstand zur neutralen Faser darstellt, und die betrachtete Fläche die Querschnittsfläche des Balkens ist.

Kapitel 4: Statik in kontinuierlichen Medien 4.2 reale Flüssigkeiten 4.2.1 Druck in realen Flüssigkeiten

Prüfen wir's nach ! Was ist bei einer Flüssigkeit anders ??? Es gibt keine Scherspannungen ! Es gibt keine Formelastizität, aber Volumenelastizität Flüssigkeiten können schlecht komprimiert werden ! In eine Richtung ausgeübter Druck breitet sich in alle Richtungen gleichmäßig aus.

Eine wesentliche Größe zur Beschreibung von Flüssigkeiten (und später auch Gasen) ist der Druck p=F/A, d.h. die pro Flächeneinheit wirkende Kraft. Die SI-Einheit des Druckes ist das Pascal (Pa). 1 Pascal ist ein Newton pro Quadratmeter. Der Druck ist eine der Größen, bei denen sich das SI-System nur schwer durchsetzt. Andere gängige(re) Einheiten für den Druck sind: das bar; 1 bar=100000 Pa die Atmosphäre; 1 atm=1.013bar=101300 Pa das Torr; 760 Torr=1 bar=100000 Pa im englischsprachigen Raum ist auch die Druckangabe in psi (pounds per square inch) gängig.

Welcher Druck wirkt auf eine Fläche im Inneren einer Flüssigkeit ? Wir wissen bereits aus dem Experiment: Wird auf eine in einem Gefäß eingeschlossene Flüssigkeit äußerer Druck ausgeübt, verteilt sich der Druck ungehindert auf jeden Punkt der Flüssigkeit und die Wand des Behälters. (Pascal‘sches Prinzip). Andererseits muß der Druck in einer Wassertiefe h höher sein als an der Oberfläche, denn an diesem Punkt wirkt neben dem äußeren Druck die Gewichtskraft der Wasser- säule. Beachten Sie, daß wir hier konstante Dichte voraussetzen !

Das Pascal‘sche Prinzip findet technische Anwendung in der Hydraulik: Da der Druck sich nach allen Seiten fortpflanzt, gilt: Man kann also durch geeignetes Verhältnis der Flächen, auf die die Kräfte wirken, eine Kraft verstärken.

Kapitel 4: Statik in kontinuierlichen Medien 4.2 reale Flüssigkeiten 4.2.2 Auftrieb und Schwimmen

Wenn ein schwerer Gegenstand an einer Federwaage ins Wasser getaucht wird, zeigt die Skala der Waage eine geringere Gewichtskraft an. Der Grund dafür ist, daß der Druck der Flüssigkeit auf den Gegenstand wirkt, d.h. es gibt eine zusätzliche Abtriebskraft und eine zusätzliche Auftriebskraft. In der Kräftebilanz ergibt sich:

Daraus ergibt sich das Archimedische Prinzip, das besagt: Ein Körper, der teilweise oder vollständig in einer Flüssigkeit eingetaucht ist, erfährt eine Auftriebskraft, deren Betrag gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit ist. Damit kann man z.B. die Dichte eines unbekannten, unregel- mäßig geformten Materials bestimmen. Falls die Dichte des Körpers kleiner als die der Flüssigkeit ist, stellt sich ein Gleichgewicht zwischen Auftrieb und Gewichtskraft ein, der Körper schwimmt. Um die Lage des Körpers zu bestimmen, muß man feststellen, in welcher Position für gegebenes eingetauchtes Volumen der Schwerpunkt am niedrigsten liegt.