Analytische Geometrie – Tradition und Alternativen Mathedidaktik IV WS 05/06 Prof. Dr. Zimmermann Nicole Himmerlich & Tobias Leyh
1. Fundamentale Ideen Algebraisierung und Geometrisierung im Anschauungsraum (a) Algebraisierung des Anschauungsraumes mit Hilfe von Koordinaten, linearen und quadratischen Gleichungen, linearen und affinen Abbildungen sowie Vektoren (b) Geometrisierung linear-algebraischer Sachverhalte und linearer Modellierung in der Ebene, im Raum oder im verallgemeinerten Anschauungsraum Messen von (a) Abständen, Längen und Winkeln mittels des Satzes von Pythagoras, mit dem Skalarprodukt und den Eichkurven (b) Parallelogrammflächen und Spatvolumina mittels Determinanten oder mittels Spatprodukt
1. Fundamentale Ideen Modellierung mittels (a) Kurven in Parameterdarstellung, Flächendarstellung und Funktionen mehrerer Veränderlicher (b) gerichteter Größen und Vektoren (c) Linearitätsüberlegungen. linearer Gleichungssysteme und linearer Abbildungen (d) Zustandsvektoren, Listen, Verflechtungs- und Übergangsmatrizen Algorithmus und Kalkül (a) Matrizenkalkül, Koordinaten- und Matrizentransformation, Gaußscher Algorithmus
1. Fundamentale Ideen Abbildung, Invarianz und erweiterter Funktionsbegriff (a) Abbildungen als Hilfsmittel zum Erfassen anschaulich-geometrischer Sachverhalte (b) Charakterisierung von Abbildungen durch Invarianten, Betrachtungen von Fixräumen und Eigenvektoren sowie von Symmetrie als wichtige Analysemittel (c) strukturerhaltende Abbildungen als fundamentales Ordnungsprinzip der modernen Mathematik (d) Funktionen mehrerer Veränderlicher und die Parameterdarstellung von Kurven als Erweiterung des Funktionsbegriffs aus der schulischen Analysis
2. DreiDGeo http://www.schule.bayern.de/unterricht/lernprogramme/
2. DreiDGeo Beispielaufgabe: Gegeben sind die Punkte A(8|0|1), B(3|4|1) und C(0|8|5) sowie die Gerade Bestimme eine Ebene E, die B enthält und senkrecht auf AC steht. Zeige, dass C Spiegelpunkt von A bezüglich E ist. Berechne den Schnittpunkt D von g mit E und den Winkel zwischen g und E. Berechne die zwei Punkte P und Q auf g, die von E den Abstand 9 haben.
2. DreiDGeo Für Lehrer: Erstellung von ordentlichen Zeichnungen im Unterricht Zeitersparnis beim Darstellen umfangreicher räumlicher Szenen Ausnutzung der Dynamik zur schnellen Veranschaulichung von räumlichen Szenen im Unterricht; Visualisierungshilfe Hilfe bei der Unterrichtsvorbereitung. Es werden Fehler vermieden und man erhält schnelle Übersicht über die Zusammenhänge Ermittlung des günstigsten Blickwinkels auf die räumlichen Objekte für den Ausdruck von Arbeitsblättern oder Folien Bei Erstellung von Aufgaben läuft das Programm im Hintergrund um günstige Konstellationen zu realisieren Eingehen auf Schülervorschläge wegen der schnellen Verfügbarkeit von Zeichnungen
2. DreiDGeo Für Schülerinnen und Schüler: Finden und Nachprüfen von Lösungswegen Rückkopplung und Aufgabenlösung mit der Anschauung Fehlerbereinigung durch Prüfung der rechnerischen Ergebnisse Kontrolle der Hausaufgaben in der Schule oder daheim Schulung der eigenen räumlichen Vorstellungskraft Eigenständiges Arbeiten Das Programm dient zur besseren Veranschaulichung, ersetzt aber keinesfalls den kreativen Umgang mit geometrischen Objekten zur Lösungsfindung!
3.1. Kartesische Koordinaten Verschiebung um Drehung um mit Drehwinkel Spiegelung an der Geraden
3.2. Polarkoordinaten
3.3. Bewegungen & Polarkoordinaten Das Dreieck ABC mit A(2|0), B(4|-2) und C(5|1) wird a) mit einem Winkel von 60° um Z(-1|-1) gedreht. b) an der Geraden y= ½x+1 gespiegelt. Berechnet die Koordinaten der Bildpunkte.
3.3. Bewegungen & Polarkoordinaten
3.3. Bewegungen & Polarkoordinaten
4. Anwendungen 1. Inversion am Kreis (mit Radius c) Kartesisch: Polar:
4. Anwendungen Neu: r als r = f(φ) Damit ist eine neue Darstellung vieler Kurven möglich! Beispiel 1: archimedische Spirale mit r = a·φ
4. Anwendungen Beispiel 2: logarithmische Spirale
4. Anwendungen
4. Anwendungen 3. Kegelschnitte > 1 Hyperbel = 1 Parabel < 1 Ellipse = 0 Kreis
5. Diskussion Vorkenntnisse? Lernziele? Kompetenzen? Vor- und Nachteile? Einsatzmöglichkeit im Unterricht?
5. Diskussion
6. Quellen G. Steinberg: Plädoyer für Polarkoordinaten im Mathematikunterricht in MU 3/1984 G. Steinberg: Polarkoordinaten. Hannover, Metzler 1993 H. Schupp /H. Dabrock: Höhere Kurven. Mannheim; Leipzig; Wien; Zürich, BI-Wissenschaftsverlag 1995 U.-P. Tietze/ M. Klika/ H. Wolpers: Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II Band 2. Braunschweig; Wiesbaden, Vieweg 2000 H. Andraschko: DreiDGeo – ein Programm zur Veranschaulichung der analytischen Geometrie in MU 5/2001 Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss