Luftwiderstand und Magnuseffekt Vortrag: Luftwiderstand und Magnuseffekt Fachdidaktik Seminar Alexander Falger, 6.12.2005

Überblick Motivation (Bilder, Videoclips) Unterschied: laminare und turbulente Strömung Herleitung der Luftwiderstandskraft über Energieerhaltung Alternative mikroskopische Herleitung der Luftwiderstandskraft Der cw Wert Beispiel 1: Freier Fall (Kugel und Papierzylinder) Beispiel 2: Kraftstoffverbrauch einiger Autos Magnuseffekt

Luftwiderstand im Alltag: Beim Radfahren: (Tour de France) Am Sternenhimmel: Die Sternschnuppe

Magnuseffekt im Alltag: Beim Fußballspielen: roberto carlos

laminare und turbulente Strömung Unterscheidung: laminare und turbulente Strömung Stokes Reibung laminar Wenn die Strömungsgeschwindigkeit von einem Medium eine gewisse Grenze überschreitet, dann geht die laminare in eine turbulente Strömung über. turbulent

des Mediums sowie vom Radius r der Röhre ab. Eine wichtige Kennzahl Diese kritische Geschwindigkeit hängt von der Dichte  und der Viskosität  des Mediums sowie vom Radius r der Röhre ab. Eine wichtige Kennzahl zur Charakterisierung von Strömungen des Mediums ist die Reynolds-Zahl Re, die durch Re = 2rv/ definiert ist, wobei v die mittlere Stömungsgeschwindigkeit des Mediums ist. entgegengesetzt rotierende Wirbel alternierende Wirbelablösung KarmanscheWirbelstrasse

Bei Außenströmungen, z.B. über einen Tragflügel geht die laminare Grenzschicht ab Rekrit = 105 – 106 in eine turbulente Grenzschicht über typischer Radfahrer: Laminar: Turbulent:

Herleitung der Luftwiderstandskraft: Für die Strecke, die ein Fahrzeug mit der Querschnittsfläche A mit der Geschwindigkeit v in der Zeit zurücklegt, gilt Dabei wird von ihm ein Luftvolumen zur Seite geschoben, welches die Masse besitzt.

Man nehme an, dass die Luftmoleküle dabei eine Geschwindigkeit w erhalten, die der Geschwindigkeit v proportional ist. Für die kinetische Energie W der zur Seite geschobenen Luftmasse m gilt dann: oder mit w² = cW  v² (aus der Annahme w ~ v folgt w² ~ v²) Zum Beschleunigen der Luft muss das Fahrzeug diese Arbeit aufbringen. Weil das Fahrzeug nun die Luftwiderstandskraft FL erfährt und dieser bei der Geschwindigkeit v das Gleichgewicht halten muss folgt für FL:

Äquivalente Herleitung der Luftwiderstandskraft: (mikroskopische) Äquivalente Herleitung der Luftwiderstandskraft: Ein Luftmolekül mit der Masse m0 und dem Impuls pi = - m0•v•ex prallt auf die Sphäre In unserem vereinfachten Modell nehmen Wir an, dass es sich um einen elastischen Stoß handelt.  pi = pf oder Quadrieren wir beide Seiten der Gleichung Erhalten wir: Und ausmultipliziert ergibt dies: oder Betrachten wir nun die x-Komponente unserer Ausgangsgleichung:

Setzen wir diese pfx in die vorherige Gleichung ein,so erhalten wir: Und somit: Wir haben nun einen möglichen Fall behandelt, aber welchen gemittelten Impuls erfährt unsere Sphäre bei allen Luftmolekülen? Dazu muss man dieses Integral lösen, wobei da ein Flächenelementstückchen der Sphäre beschreibt: Ergebnis: Betrachten wir n Moleküle:

Diese Zeichnung zeigt die reale und die angenäherte Volumenverschiebung der Moleküle, diese beiden können als äquivalent angesehen werden. Daraus ergibt sich: oder und In vorangegangener Gleichung einsetzen: So erhalten wir:

Der cw Wert:

Wie bestimmt man diesen cw Wert:

Beispiel freier Fall mit Luftwiderstand: Link

Freier Fall der Kugel: Wir vernachlässigen den Luftwiderstand, da FL = 7,5 • 10-4 • v2  bei einer Geschwindigkeit v = 13,3 m/s entspricht FL = 0,01 • Fg Die Kugel fällt auf der ganzen Strecke gleichmäßig beschleunigt mit der Fallbeschleunigung g = 10 m/s2. Für sie gelten die bekannten Gleichungen für den "Freien Fall": s = 1/2 • g • t2 v = g • t

Fall des Papiertrichters: Der Papiertrichter fällt zunächst ebenfalls beschleunigt. Je größer seine Fallgeschwindigkeit v wird, desto mehr nimmt die Luftwiderstandskraft FL zu. Sie wirkt der Gewichtskraft Fg entgegen, so dass die Gesamtkraft Fges auf den Papiertrichter im Verlauf der Fallbewegung immer kleiner wird. Daher nimmt die Beschleunigung a immer mehr ab. Ist die Luftwiderstandskraft FL betragsmäßig gleich der Gewichtskraft Fg, wird die Gesamtkraft Fges und damit auch die Beschleunigung a null. In diesem Augenblick bleibt der Papiertrichter nicht etwa stehen, sondern er fällt ab diesem Zeitpunkt mit konstanter Geschwindigkeit weiter. (Dies ist etwa am Ende der Animation erfüllt) FW = FG

Diagramme: Das s-t-Diagramm ist die bekannte (nach unten geöffnete) Parabel. Nach t = 2 s ist die Kugel z.B. bei s = 1/2 • -10 m/s2 • (2 s)2 = -20 m. Das v-t-Diagramm ist eine Ursprungsgerade mit negativer Steigung. Der Betrag der Geschwindigkeit nimmt linear mit der Zeit zu. Nach t = 2 s hat die Kugel z.B. die Geschwindigkeit v = -g • t = -10 m/s2 • 2 s = -20 m/s.

Berechnung des Kraftstoffverbrauchs einiger Modelle: Audi A4:

BMW 740i:

Porsche 911:

Motorrad:

Dazu benötigen wir: sowie: Dichte der Luft:  = 1,29 kg/m3 Wirkungsgrad der Fahrzeuge:  = 30% = 0,3 Heizwert des Kraftstoffes: H = 32,6 MJ/Liter

Berechnung der Kraft zur Überwindung des Luftwiderstandes: Berechnung der daraus resultierenden Verschiebungsarbeit auf s = 100 km: Die Verschiebungsarbeit entspricht der genutzten Energie:

Berechnung der notwendig zugeführten Energie: Die zugeführte Energie entspricht der Energie; die durch Verbrennung frei wird: Berechnung der Kraftstoffmenge:

Verbrauch [l] Audi A4 BMW 740i Porsche 911 Motorrad v [m/s]

Der Magnuseffekt: Benannt nach seinem Entdecker Heinrich Gustav Magnus (1802-1870) Ein Ball wird von Luft umströmt Ein rotierender Ball versetzt Luftschichten in seiner Umgebung Ebenfalls in Rotation. Es entsteht eine Zirkulationsströmung. Treten beide Fälle gleichzeitig auf, überlagern sich diese. Dabei werden die Stromlinien auf einer Seite zusammengedrängt  Unterdruck. Auf der entgegengesetzten Seite sind die Stromlinien auseinander gezogen  Überdruck. Dadurch entsteht eine Kraft, die quer zur Strömung gerichtet ist. Diese wird als Querkraft bezeichnet.