Division mit Rest Fortbildungsveranstaltung am 5. Juni 2009 Innsbruck Ulrike Haitzmann Franz Niedertscheider Franz Pauer Fortbildungsveranstaltung am 5. Juni 2009 Innsbruck

Inhalt Division mit Rest als mehrfache Subtraktion Anwendung: Zifferndarstellung von natürlichen Zahlen Das Verfahren zur Division mit Rest für Zahlen in Zifferndarstellung Anwendung: optimales Kürzen von Brüchen Ich würde statt bzw. zusätzlich zur Inhaltsangabe ganz klar die Ziele formulieren, die du/wir mit diesem Vortrag erreichen möchten! Anmerkung: Ich persönlich sehe mich momentan noch nicht imstande zu argumentieren, warum die Division mit Rest auf „andere Art“ im Unterricht eingeführt werden sollte. Und das, obwohl ich bei unserem Treffen bereits von dir informiert wurde und ich mir mit Hilfe deines Manuskripts die Begründung/Zielsetzung formulieren wollte. Für mich ist das ein wichtiger Punkt, den wir bei unserem Treffen diskutieren sollten, denn: nur wenn mir selbst ganz klar ist, warum ich eine Idee verfolge, ein Verfahren anwenden möchte, … kann ich es auch an die Seminarteilnehmer „gut drüberbringen“!

Division mit Rest als mehrfache Subtraktion Aufgabe: Ein Stoß von Papierblättern soll an alle Teilnehmer/innen so verteilt werden, dass - möglichst viele Blätter verteilt werden und - jede/r Teilnehmer/in gleich viele Blätter bekommt. Wieviele Blätter bekommt jede/r Teilnehmer/in? Wieviele Blätter bleiben übrig? Reflexion: Wie wurde die Aufgabe gelöst? Können wir solche Aufgaben immer lösen? Durch wie viele Zahlen wird die Lösung beschrieben? Sind diese eindeutig bestimmt?

Division mit Rest als mehrfache Subtraktion Die Zahlen 0,1,2,3,… sind natürliche Zahlen. Wir können sie auf verschiedene Weisen anschreiben, zum Beispiel: zwölf (deutsch), dodici (italienisch), IIIIIIIIIIII (Steinzeit), XII (römisch), 12 (Dezimalziffern), 1100 (Binärziffern), … “Die Anzahl der Blätter in diesem Stoß Papier” ist eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl !

Division mit Rest als mehrfache Subtraktion Satz über die Division mit Rest: Zu zwei natürlichen Zahlen a und b gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen m und r so, dass a = m x b + r und r < b ist. Die Zahl r heißt dann Rest von a nach Division durch b und die Zahl m heißt (ganzzahliger) Quotient von a und b. Verfahren zur Berechnung der Zahlen m und r (“Divisionsalgorithmus”): - Wenn a kleiner als b ist, ist m=0 und r=a. - Wenn a größer oder gleich b ist, subtrahiere b von a so lange, bis die Differenz kleiner als b ist. Diese Zahl ist dann der Rest und die Anzahl der Subtraktionen ist der Quotient.

Division mit Rest als mehrfache Subtraktion Dividiere die Anzahl der roten Kugeln mit Rest durch 3! Ich nehme immer 3 Kugeln weg! Das mache ich 5 mal, dann bleiben 2 übrig!

Division mit Rest als mehrfache Subtraktion Aufgabe: Dividieren Sie die Anzahl der Kreuze auf dem ausgeteilten Blatt mit Rest durch zehn. Also: Berechnen Sie Zahlen m und r so, dass die Anzahl der Kreuze gleich 10 x m + r ist und r < 10 ist! Dividieren Sie dann dieselbe Zahl mit Rest durch 2! Also: Berechnen Sie Zahlen m und r so, dass die Anzahl der Kreuze gleich 2 x m + r ist und r < 2 ist! Reflexion: Was müssen wir können, um diese Aufgabe zu lösen? Subtrahieren und entscheiden, ob eine Zahl größer als eine andere ist.

Division mit Rest als mehrfache Subtraktion Wir dividieren 17 mit Rest durch 3: 17 - 3= 14 1 Subtraktion 14 - 3=11 2 Subtraktionen 11- 3= 8 3 Subtraktionen 8 - 3= 5 4 Subtraktionen 5 - 3= 2 5 Subtraktionen 2 < 3 also: 17 = 5 x 3 + 2

Division mit Rest als mehrfache Subtraktion Dividiere 192 mit Rest durch 63 ! 192 - 63= 129 1 129 - 63= 66 2 66- 63 = 3 3 3 < 63  also: 192 = 3 x 63 + 3

Aufgabe (für Römer/innen): Dividiere L mit Rest durch XVI ! Division mit Rest als mehrfache Subtraktion Aufgabe (für Römer/innen): Dividiere L mit Rest durch XVI ! L – XVI = XXXIV XXXIV – XVI = XVIII, XVIII – XVI = II II < XVI; also: L = III x XVI + II

Division mit Rest als mehrfache Subtraktion Aufgabe: Dividiere 321 mit Rest durch 123! 321 - 123 198 75 75 < 123 also: 321 = 2 x 123 + 75 Anmerkung: Den Term 321 = 2 x 123 + 75 bezeichne ich im Unterricht auch als „ein anderes Gesicht der Zahl 321“. Ich weiß nicht, ob es für dieses Referat wichtig ist, aber bei dieser Gelegenheit könnte man darauf hinweisen, dass ein wichtiger Aspekt im Unterricht die verschiedenartigen Darstellungen von Zahlen in Form von Termen sind. Beispiel aus meinem Unterricht: 3 . 123 = 3 . (120 + 3) = 3 . 120 + 3 . 3 = 3 . 12 . 10 + 9 = 36 . 10 + 9 = 360 + 9 = 369 („All das sind Gesichter der Zahl 369“)

Division mit Rest als mehrfache Subtraktion Dividiere 456 mit Rest durch 78! 456 - 78 378 300 222 144 66 66 < 78, 5 Subtraktionen also: 456 = 5 x 78 + 66

Division mit Rest als mehrfache Subtraktion Wir können diese Rechnung (Dividiere 456 mit Rest durch 78!) auch abkürzen (müssen dazu aber multiplizieren können): Schätzung: voraussichtlich können wir 78 fünf mal von 456 subtrahieren. Berechne 5 x 78 = 390 < 456 und 456 – 390 = 66. Weil 66 < 78 ist, war unsere Hypothese richtig und wir sind fertig. Hätten wir geschätzt, dass wir 78 sechs mal von 456 subtrahieren können: 6 x 78 = 468 > 456, also müssen wir unsere Hypothese nach unten verändern. Hätten wir geschätzt, dass wir 78 vier mal von 456 subtrahieren können: 4 x 78 = 312, 456 – 312 = 144 > 78, also müssen wir unsere Hypothese nach oben verändern.

Zifferndarstellung von natürlichen Zahlen Eine grundlegende Voraussetzung für das „Verstehen“ der Division (für erfolgreiches Dividieren) ist die Zifferndarstellung von natürlichen Zahlen Bild 1: Eine Zahl gibt es auch , wenn ihre Zifferndarstellung nicht bekannt ist – dieser Papierstapel stellt eine Zahl dar Bild 2: Auch diese Anhäufung von Münzen stellt eine Zahl dar Aussage 3: Die Zifferndarstellung einer Zahl ist eine „Zusatzinformation“ über diese Zahl. Die Zifferndarstellung einer Zahl ist eine „Zusatzinformation“ über diese Zahl. Die Zahl gibt es, auch wenn ihre Zifferndarstellung nicht bekannt ist.

Zifferndarstellung von natürlichen Zahlen Mit Hilfe der Zifferndarstellung lassen sich Problemstellungen um einiges schneller bzw. einfacher lösen, z. Bsp.: Welcher „Geldhaufen“ ist größer? Man kann also Zahlen leichter miteinander vergleichen und erhält ein Werkzeug, mit dem das Rechnen schneller ablaufen kann bzw. das Grundverfahren verfeinert werden kann. Vorteile der Zifferndarstellung: Zahlen miteinander vergleichen Werkzeug, mit dem das Rechnen schneller ablaufen kann (Verfeinern des Grundverfahrens)

Zifferndarstellung von natürlichen Zahlen Was bedeutet 2009, was bedeutet 384? 2009 = 2 x 1000 + 0 x 100 + 0 x 10 + 9 384 = 3 x 100 + 8 x 10 + 4 Dabei ist 10 = zehn, 100 = zehn mal zehn und 1000 = zehn mal zehn mal zehn. Diese Art, Zahlen anzuschreiben, nennt man Darstellung der Zahlen durch Dezimalziffern. Nach Wahl je eines Symbols (einer Ziffer) für die Zahlen von Null bis Neun ( bei uns 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ) kann man alle Zahlen durch Nebeneinanderschreiben von Ziffern darstellen. Ist das wirklich so? Könnte es nicht eine natürliche Zahl geben, die nicht durch Dezimalziffern dargestellt werden kann? Unsere Kultur hat sich auf die Darstellung der Zahlen durch Dezimalziffern „geeinigt“ – Bedeutung wird mit Hilfe der oben stehenden Folie erklärt! Satz 3: Gibt es ein Verfahren, dass jede natürliche Zahl in Dezimaldarstellung überführt???

Zifferndarstellung von natürlichen Zahlen Wie berechnet man die Dezimalziffern von a? Wir dividieren a mit Rest durch 10 (z.B. indem wir mit den Münzen so viele “Zehnerstapel” wie möglich bilden): a = m x 10 + z , z < 10 . Wenn m nicht 0 ist, dividieren wir m durch 10 (z.B. indem wir mit den Zehnerstapeln so viele “Hunderterstapel” wie möglich bilden): m = n x 10 + y, y < 10 dann ist auch a = n x 10 x10 + y x 10 + z Wenn n nicht 0 ist, dividieren wir n durch 10 (z.B. indem wir mit den Hunderterstapeln so viele “Tausenderstapel” wie möglich bilden): n = p x 10 + x, x < 10 Wir nehmen jetzt an, dass p=0 ist. Dann ist a = m x 10 + z = n x 10 x 10 + y x 10 + z = x x 10 x 10 + y x 10 + z . Also: Die Darstellung von a durch Dezimalziffern ist xyz. Mit diesem Verständnis der Zahlendarstellung können die Schüler/innen auch den Aufbau anderer Zahlensysteme nachvollziehen, z. Bsp.: Binärsystem

Zifferndarstellung von natürlichen Zahlen In einem Prozessor wäre es zu kompliziert, 10 verschiedene Symbole für Ziffern darzustellen. Daher verwendet man statt der Darstellung durch Dezimalziffern die Darstellung durch Binärziffern. Wir wählen das Symbol 0 für Null und 1 für Eins. Was bedeutet dann 1011, was bedeutet 10101?

Zifferndarstellung von natürlichen Zahlen 1011 = 1 x zwei x zwei x zwei + 0 x zwei x zwei + 1 x zwei + 1 also: 11 Foto zeigt eine Möglichkeit, die Zifferndarstellung im Binärsystem zu veranschaulichen: Bündelungsbrett Stellenwerte werden durch geometrische Symbole veranschaulicht Schüler/innen ordnen eine Menge von Würfeln nach dem Verfahren der vorletzten Folie (sie berechnen die Binärziffern ebenso leicht/ebenso schwer wie die Dezimalziffern: mehrfache Division mit Rest durch zwei – anstatt durch zehn).

Zifferndarstellung von natürlichen Zahlen 10101 = 1 x zwei x zwei x zwei x zwei + 0 x zwei x zwei x zwei + 1 x zwei x zwei + 0 x zwei + 1 also: einundzwanzig

Zifferndarstellung von natürlichen Zahlen Beispiel für Darstellung im „3er-System“: 1021 = 1 x drei x drei x drei + 0 x drei x drei + 2 x drei + 1 Also: vierunddreißig

Zifferndarstellung von natürlichen Zahlen Aufgabe: Berechnen Sie die Dezimalziffern der Anzahl der Kreuze auf den ausgeteilten Blättern. Aufgabe: Berechnen Sie die Binärziffern der Anzahl der Kreuze auf den ausgeteilten Blättern. Die Seminarteilnehmer auffordern, die vorher beschriebenen Prozesse selbst auszuprobieren!

Division mit Rest von Zahlen in Zifferndarstellung Wenn wir Zahlen in Zifferndarstellung gegeben haben, können wir diese Zusatzinformation für ein schnelleres Verfahren zur Division mit Rest verwenden. Idee (am Beispiel der Division mit Rest von 747 durch 33): Aus 74 = 2 x 33 + 8 ( 2 Subtraktionen) folgt 74 x 10 = ( 2 x 33 + 8 ) x 10 = ( 2 x 10 ) x 33 + 8 x 10 740 = 20 x 33 + 80 747 = 20 x 33 + 87 (Die Zifferndarstellung erspart uns 18 Subtraktionen!) Aus 87 = 2 x 33 + 21 (2 Subtraktionen) folgt 747 = 20 x 33 + 2 x 33 + 21 = 22 x 33 + 21 Dank der Zifferndarstellung mussten wir statt 22 nur 4 Subtraktionen ausführen! Schüler/innen brauchen unbedingt Vorwissen: 7 = 2 . 3 + 1; 70 = 2 . 30 + 10; 700 = 2. 300 + 100; 7 000 = 2 . 3 000 + 1 000; ……… d.h. bereits bei der „großen“ Multiplikationen sollte die Lösung mit Hilfe des Distributivgesetzes hergeleitet werden: z. B.: 328 . 22 300 . 2 = 20 . 2 = 8 . 2 = 300 . 20 = 20 . 20 = 8 . 20 = These: Die Qualität der Bearbeitung der schriftlichen Division durch Schüler/innen hängt sehr stark von der Einführung der Multiplikation als fortlaufende Addition ab!

Division mit Rest von Zahlen in Zifferndarstellung Was muss man für dieses schnellere Verfahren für die Division mit Rest können bzw. wissen ? Die Division mit Rest für zwei Zahlen, deren Quotient kleiner als 10 ist (bzw. “einziffrig” ist). Für beliebige zwei Zahlen a und b überprüfen können, ob a <= b und b < 10 x a ist. Die Multiplikation mit zehn, hundert, tausend, … erfolgt durch “Anhängen” von 0, 00, 000, … . Für beliebige drei natürliche Zahlen a,b,c ist ( a + b ) x c = a x c + b x c (zum Beispiel: ( 2 x 33 + 8 ) x 10 = ( 2 x 10 ) x 33 + 8 x 10)

Division mit Rest von Zahlen in Zifferndarstellung Die Zifferndarstellung bringt keine Vereinfachung, wenn der Quotient kleiner als 10 ist. In diesem Fall wird die Division mit Rest wie im ersten Abschnitt durch mehrfache (höchstens 9-fache) Subtraktion oder durch “Versuch und Irrtum” durchgeführt. Dieser Fall (“der Quotient ist einziffrig”) muss zuerst gut eingeübt werden (und nicht der Fall, dass der Divisor einziffrig ist !! ) Der allgemeine Fall wird mit Hilfe der Zifferndarstellung auf mehrere Divisionen mit Rest mit einziffrigen Quotienten zurückgeführt.

Division mit Rest von Zahlen in Zifferndarstellung Beispiel: Dividiere 2009 mit Rest durch 13! 2009 = 2000 + 9 = 20 x 100 + 9 20 = 1 x 13 + 7 ( 1 Subtraktion ) 2000 = 100 x 13 + 700 2009 = 100 x 13 + 709 (Die Zifferndarstellung erspart uns 99 Subtraktionen!) 709 > 13 709 = 700 + 9 = 70 x 10 + 9 70 = 5 x 13 + 5 ( 5 Subtraktionen ) 700 = 50 x 13 + 50 709 = 50 x 13 + 59 (Die Zifferndarstellung erspart uns 45 Subtraktionen!) 59 > 13 59 = 4 x 13 + 7 ( 4 Subtraktionen ) 7 < 13 ! 2009 = 100 x 13 + 50 x 13 + 4 x 13 + 7 = 154 x 13 + 7 Anstatt 154 Sutraktionen mussten wir nur 10 ausführen!

Division mit Rest von Zahlen in Zifferndarstellung Kurzschreibweise: 20|0 9 = ( 1 5 4 ) x 13 + 7 - 13 0 0 7 0|9 - 6 5 0 5 9| - 5 2 7 Ganz kurze Schreibweise: 2 0|09 = ( 1 5 4 ) x 13 + 7 7 0 59 7

Division mit Rest von Zahlen in Zifferndarstellung Bei der schriftlichen Division gibt es viele Möglichkeiten, Spuren des Rechenweges auf dem Papier zu hinterlassen. Dieses Beispiel stammt von Gisela aus Holland.

Division mit Rest von Zahlen in Zifferndarstellung Aufgabe: Die Zahlen 111001 (siebenundfünfzig) und 1001 (neun) sind durch Binärziffern dargestellt. Dividieren Sie 111001 mit Rest durch 1001, ohne in Dezimalziffern umzurechnen! 1110|0 1 = (1 1 0 ) x 1001 + 11 -1001 101 0|1 -10 1 1 1 (siebenundfünfzig ist sechs mal neun plus drei)

Optimales Kürzen von Brüchen Eine Bruchzahl ist eindeutig durch ihren Zähler und ihren Nenner bestimmt. Umgekehrt gibt es für jede Bruchzahl viele Möglichkeiten, ihren Zähler und ihren Nenner zu wählen. Zum Beispiel ist 4/6 = 10/15 = 14/21 = …. Zum Rechnen mit Bruchzahlen ist es am einfachsten, wenn Zähler und Nenner möglichst klein sind. Wenn a,b,c positive natürliche Zahlen sind, nennt man den Übergang von der Darstellung der Bruchzahl (a.c)/(b.c) zur Darstellung a/b durch c kürzen. Wenn wir zum Beispiel 2/3 statt 14/21 schreiben, dann haben wir durch 7 gekürzt.

Optimales Kürzen von Brüchen Wenn a und b natürliche Zahlen sind, dann ist die Zahl c:=a x b ein Vielfaches von a und a ein Teiler von c. Beispiel: 7 ist ein Teiler von 28 ( = 4 x 7), 28 ist ein Vielfaches von 7. Ein gemeinsamer Teiler zweier Zahlen ist eine Zahl, die beide teilt. Der größte gemeinsame Teiler (kurz: ggT) zweier Zahlen ist die größte Zahl, die beide teilt. Man kann eine Bruchzahl nur durch gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner kürzen. Bestmöglich (optimal) kürzt man durch den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. Wie können wir diesen schnell und einfach bestimmen? Wie kürzt man z.B. 391/437 ?

Optimales Kürzen von Brüchen Wichtige Beobachtung: Jeder gemeinsame Teiler von zwei Zahlen teilt auch deren Summe und deren Differenz. Denn: c x a + c x b = c x (a+b) und c x a - c x b = c x (a-b) Also ist der größte gemeinsame Teiler von zwei Zahlen x, y auch der größte gemeinsame Teiler von x-y und y. Kurz: ggT(a,b) = ggT(a-b, b) Anstatt ggT(a,b) können wir daher ggT(a-b,b) berechnen, weil diese zwei Zahlen gleich sind.

Optimales Kürzen von Brüchen Beispiel: ggT(437,391) = ggT(391,46) = ggT(345,46) = = ggT(299,46) = ggT(253,46) = ggT(207,46) = = ggT(161,46) = ggT(115,46) = ggT(69,46) = = ggT(46,23) = ggT(23,23) = 23 391 = 23 x 17 und 437 = 23 x 19 Also: 391/437 = 17/19 Im Beispiel haben wir mehrfach 46 von 391 subtrahiert, also 391 mit Rest durch 46 dividiert! 391 = 8 x 46 + 23

Optimales Kürzen von Brüchen Wir können die Berechnung des ggT zweier Zahlen also beschleunigen, indem wir die größere der zwei Zahlen anstatt durch die Differenz der größeren und der kleineren durch den Rest nach Division der größeren durch die kleinere ersetzen! Beispiel: ggT(437,391) = ggT(391,46), denn: 437 = 1 x 391 + 46 ggT(391,46) = ggT(46,23), denn: 391 = 8 x 46 + 23 ggT(46,23) = ggT(23,0) = 23, denn: 46 = 2 x 23 + 0 Dieses Verfahren zur Berechnung des ggT ist mindestens 2300 Jahre alt und heißt Euklidischer Algorithmus (Euklid von Alexandria, ca. 300 v. Chr.).

Optimales Kürzen von Brüchen Aufgabe: Berechnen Sie im Kopf den ggT von 91 und 52! Aufgabe: Berechnen Sie den ggT von 1763 und 2021! Aufgabe: Kürzen Sie die Bruchzahl 1763/2021 bestmöglich! Aufgabe: Warum ist für jede natürliche Zahl n der größte gemeinsame Teiler von 3n+7 und 2n+5 gleich 1? (Zum Beispiel n=20: ggT(67,45)=1 ).

Zusammenfassung “Mit Rest dividieren” bedeutet “mehrfach subtrahieren”. Um eine Zahl durch Dezimal- bzw. Binärziffern darzustellen, muss man mehrfach mit Rest durch zehn bzw. zwei dividieren. Kennt man die Zifferndarstellung zweier Zahlen, kann man die Division mit Rest wesentlich schneller durchführen. Um die Division mit Rest (für Zahlen in Zifferndarstellung) zu unterrichten, muss zuerst der Fall, dass der Quotient einziffrig ist, gut eingeübt werden. Durch mehrfache Division mit Rest kann man den größten gemeinsamen Teiler von zwei Zahlen rasch berechnen und so Bruchzahlen optimal kürzen.

Danke für Ihr Interesse! … und zum Schluss: Danke für Ihr Interesse!