Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am Di. 13:00-14:30 Uhr; R (Hörsaal) Universität Kassel (UNIK) FB 16 Elektrotechnik / Informatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115 D Kassel Dr.-Ing. René Marklein Tel.: ; Fax: URL: URL:

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Auswahl des vollständigen Baumes liefert 16 verschiedene vollständige Bäume Tipps: Baum so legen, dass möglichst einfache Umläufe entstehen (a) gut, da Umläufe wie Maschen (c) schlecht für I 6, da Umlauf über Zweige 1, 2,5 Bild Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Auswahl des vollständigen Baumes  Umläufe mit möglichst wenig Kopplungen wählen gibt viele Nullen in Widerstandmatrix (a) gut ▶ Vorgegebene Ströme/Stromquellen in Verbindungszweige legen -> Damit werden sofort entsprechend viele Variablen zu bekannten Größen ▶ Baum so legen, dass gesuchte Ströme in den Verbindungszweigen liegen (nicht immer möglich) ▶ Spannungsquellen in Verbindungszweige legen -> Dann nur einmal für den entsprechenden Umlaufstrom im Gleichungssystem vorhanden ▶ Schaltungssymmetrie ausnutzen (siehe Bsp. 2.29), um schnell Unbekannte eliminieren zu können Widerstands- matrix dazu: Bild Zwei vollständige Bäume für eine viermaschige Kettenschaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 100, 2005]) (b) schlecht, Zweig 1 verkoppelt alle Ströme Widerstands- matrix dazu: Widerstandsmatrix ist voll besetzt! -> Unvorteilhaft! Widerstandsmatrix hat Null-Einträge! -> Dies ist für die Lösung vorteilhaft!

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Knotenanalyse Abhängige und unabhängige Spannungen ► Mit den Spannungen, U Q1, U Q2, U Q3, in allen 3 Baumzweigen sind alle Spannungen festgelegt! Daher Definition: ► unabhängige Spannungen in Baumzweige legen ► abhängige Spannungen in Verbindungszweigen legen! anders als bei der Umlaufanalyse! Bild Unabhängige Spannungen in den Baumzweigen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 101, 2005]) ► Es wäre unmöglich die Spannungen an den Zweigen 4, 5 und 6 vorgeben, da für den äußeren Umlauf ( ) gilt

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen Spannungsquelle durch Ersatzstromquelle ersetzen: Innenleitwert Kurzschlussstrom Bild Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005]) Netzstruktur: Bild Netz mit drei Maschen und einer Stromquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 102, 2005]) Spannungs- quelle in Strom- quelle umwandeln

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen Ohmsches Gesetz für die 6 Leitwerte: Knotengleichungen: Knoten K B : Knoten K C : Spannungen in den Verbindungszweigen über die Umlaufgleichungen: Knoten K A : Bild Netz mit drei Maschen und einer Stromquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 102, 2005]) Gleichungen nach dem Ohmschen Gesetz in die oben stehenden Knotengleichungen einsetzen:

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen Die abhängigen Spannungen mithilfe der Umlaufgleichungen ersetzen Spannungsvektor besteht aus den unabhängigen Spannungen in Baumzweigen Bild Netz mit drei Maschen und einer Stromquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 102, 2005]) Nach den Spannungen umsortieren: In Matrixform schreiben Stromvektor besteht aus den Strömen der Stromquellen Leitwertmatrix

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen Als Matrixgleichung schreiben Die erste Zeile der Leitwertmatrix entsteht aus Knoten A : Allgemein: Die Leitwertmatrix besteht aus den Knotenleitwerten auf der Hauptdiagonalen und den symmetrisch liegenden Kopplungsleitwerten auf den Nebendiagonalen. Knotenleitwert G 1 + G 4 + G 6 Kopplungsleitwert zum Knoten B mit unabhängiger Spannung U 2 ist G 4 Kopplungsleitwert zum Knoten C mit unabhängiger Spannung U 3 ist G 6 Bild Netz mit drei Maschen und einer Stromquelle (vgl. Clausert & Wiesemann Bd. I, S. 102, 2005]) Leitwertmatrix Spannungs- vektor Strom- vektor

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen Schema zum Aufstellen einer Knotengleichung in Matrixform für ein Netzwerk mit K Knoten: 1. Spannungsquellen in Stromquellen umwandeln. 2. ► Bezugsknoten auswählen. Hinweis: Einen Knoten auswählen, der mit möglichst vielen anderen Knoten verbunden ist. ► Sternförmigen vollständigen Baum bilden: Ausgehend vom Bezugsknoten werden die Verbindungen zu allen anderen K – 1 Knoten des Netzes, d.h. die Baumzweige, eingezeichnet. Ggf. zusätzliche Leitwerte G = 0 für Knoten ohne Verbindung zum Bezugsknoten einfügen. 3. Zählpfeile der unabhängigen Spannungen längs der Baumzweige eintragen, d. h. die Spannungen von jedem der K – 1 Knoten zum Bezugsknoten mit Richtung auf den Bezugsknoten eintragen. Leitwertmatrix ist symmetrisch! Der Index,, T" steht für transponiert!

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen Für jeden Knoten i = 1,…,K - 1 – außer dem Bezugsknoten – wird jetzt eine Gleichung (Zeile in dem Gleichungssystem) aufgestellt: 4. Leitwertmatrix [G] a) Hauptdiagonalelemente der Leitwertmatrix [G]: G ij für i = j sind die Knotenleitwerte, d.h. die sich aus der Parallelschaltung aller im Knoten i zusammentreffenden Zweig-Leitwerte ergeben. b) Nebendiagonalelemente der Leitwertmatrix [G]: G ij für i ≠ j sind die Kopplungsleitwerte, d.h. die Summe aller Leitwerte der Verbindungszweige, die den Knoten j direkt mit dem aktuellen Knoten i verbinden: Vorzeichen wegen 2. und 3. immer negativ! Hinweis: Die Leitwertmatrix ist symmetrisch, d. h. es gilt für die Kopplungsleitwerte G ij = G ji. i ≠ j. 5. Spannungsvektor {U}: Die Elemente des Spannungsvektors U i, i = 1,…,K-1 sind alle K - 1 unabhängigen Spannungen, d. h. die Spannungen längs der Baumzweige. 6.Stromvektor des Quellströme {I Q }: Die Elemente des Stromvektors I i, i = 1,…,K-1, werden aus der Summe aller Quellströme gebildet, die am betrachteten Knoten i angeschlossen sind: ► positives Vorzeichen, wenn der Strom in den Knoten hineinfließt ► negatives Vorzeichen, wenn der Strom aus dem Knoten herausfließt Leitwertmatrix ist symmetrisch! Der Index,, T" steht für transponiert! Schema zum Aufstellen einer Knotengleichung in Matrixform für ein Netzwerk mit K Knoten:

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle Gegeben: Leitwerte und Quellstrom Bezugsknoten D: A lle unabhängigen Spannungen, U 1, U 2, U 3, zeigen von dem jeweiligen Knoten, A, B, C, auf den Bezugsknoten D Lösung: Bild Dreimaschiges Netz mit einer Spannungsquelle: (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 104, 2005]) Gesucht: Die Spannung U 3 ist gesucht. Umzeichnung der Schaltung ergibt:

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle z.B. Bezugsknoten D erden! Ist z. B. bei der Schaltungssimulation mit SPICE erforderlich. SPICE = Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis ElectronicsWORKBENCH - MultiSIM OrCAD – Capture CIS

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V PSPICE – PC-Version von SPICE – CAD-Schaltungssimulation (SPICE = Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis) PSPICE OrCAD 9.1 Studentenversion OrCAD 15.7 Demo CD

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V PSPICE - OrCAD – Capture CIS Simulation - Schaltung

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V PSPICE - OrCAD – Capture CIS Simulation Gleichstromanalyse (DC-Analyse) - Simulationsergebnisse

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle Knoten- leitwert Kopplungsleitwert zum Knoten B mit unabhängiger Spannung U 2 ist G 4 Kopplungsleitwert zum Knoten C mit unabhängiger Spannung U 3 ist G 6

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle Knoten- leitwert Kopplungsleitwert zum Knoten A mit unabhängiger Spannung U 2 ist G 4 Kopplungsleitwert zum Knoten C mit unabhängiger Spannung U 3 ist G 5

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle Knoten- leitwert Kopplungsleitwert zum Knoten A mit unabhängiger Spannung U 1 ist G 6 Kopplungsleitwert zum Knoten B mit unabhängiger Spannung U 2 ist G 5

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle 3. Gl. *3: dann alle addieren, U 3 bleibt übrig: Oder über Cramersche Regel!

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Ende der Vorlesung