Impulsverzerrungen © Roland Küng, 2009

Übertragungssystem Basisband 2 Fragen: Wie filtere ich im Empfänger so, dass das S/N für den gegebenen Sendeimpuls maximal wird. Wie forme ich die Impulse aus der Leitungscodierung so, dass beim Abtasten im Empfänger keine Interferenz durch Impuls-Verschmierung auftritt

Aufsplitten der Problematik gefiltert S(f): Pulsspektrum Sendesignal C(f): Frequenzgang Kanal H(f): Frequenzgang Empfangsfilter Design Empfangsfilter : 2 Challenges Beschränkung Rauschbandbreite Pulsformung für optimales Abtasten

Optimales Filter = Matched Filter 1. Problem: Noise minimieren ¦S(f)¦ s(t) Optimale Filterung intuitive: Man gewichtet im Frequenzgang des Filters genau jene spektralen Anteile, die vom Sendepuls belegt sind und zwar proportional der Belegungsstärke ! Amplitudengang des Filterspektrum H(f)= Amplitudengang Pulsspektrum S(f) Nach dem Filter detektiert man die Signalenergie S2(f) des Pulses

Matched Filter (MF) Matched Filter mathematisch: P(t) mit Spektrum S(f): Pulsspektrum Sender C(f): Frequenzgang Kanal H(f): Frequenzgang Empfangsfilter Zum Zeitpunkt T soll vor dem Abtaster das Verhältnis des Effektivwert des Impulses p(T) zum Rauschsignal n(t) maximal werden Anders formuliert: Signal/Geräuschverhältnis S/N von p(t) zur Zeit T soll maximal werden

Matched Filter (MF) Matched Filter mathematisch aber ohne Beweis: wird maximal wenn gilt: das heisst: Mit C(f) = 1 vereinfacht sich: se(t) = s(t)

Beispiel Matched Filter

Beispiel Matched Filter 2T T/2 3T/2 T t T/2

S/N am Ausgang des MF Man kann zeigen, dass gilt N0 = einseitige Rauschleistungsdichte Es = Impulsenergie von s(t) Das S/N ist unabhängig von der Pulsform! Eine Erhöhung ist nur durch Erhöhung der Symbolenergie möglich, also durch mehr mittlere Signalleistung oder längere Symboldauer. umgeformt: d.h. MF Bandbreite ist immer

Matched Filter … Korrelator Mathematisch äquivalent zur Zeit t=nT: Der Korrelator vgl. Faltung und Korrelation Allg. Def: Sender liefert Impuls s1(t) oder Impuls s2(t) MF wird auf die Differenz s1(t) – ss(t) entworfen

MF – Korrelator: Handhabung

MF für Rechteckimpuls s(t) Rechteck-Impulse: MF Stossantwort: Rechteckimpuls Amplitudengang: sinx/x Realisation: Integrate & Dump Korrelator ist identisch mit MF

MF: Intersymbol Interferenz Problem s(t) Wahl: sinx/x-Impulse: MF Stossantwort: sinx/x Amplitudengang: Rechteck Realisation: TP sehr hoher Steilheit Leider: Dauer Impulsantwort >> Bitdauer Problem Nr. 2 : Pulsübersprechen auf Nachbar Bit d.h. Intersymbolinterferenz ISI  f Auch bei andern Pulsformen z.B. Rechteckpuls nach RC-Tiefpass

Lösungsansatz Nyquist Kriterien 1. Kriterium Zeit Bsp Spektrum Kriterium vertikal: okay Volle Öffnung Entscheider: Schwelle bei 0.5 Augendiagramm Problem bei Signal Jitter (horizontal) Jitter z.B durch Taktregeneration

Nyquist Kriterien 2. Kriterium Zeit Spektrum Bsp: Spektrum breiter: Raised Cosine Augendiagramm

Nyquist Kriterien Kompromiss: 1. Nyquist Krit. ganz erfüllen 2. Nyquist Krit. so gut wie möglich Bandbreite einstellen mit Roll-off Faktor  Zeit Spektrum Bsp. Fig.  = 0.5 Spektrum allg: Augendiagramm

Root Raised Cosine und MF Rauschen macht das Auge zu! Matched Filter für P(f) verwenden Da nach dem Matched Filter entschieden wird, sind eigentlich 2 Filter in der Übertragungsstrecke: Das Sendepuls formende Filter und das passende MF.  Verteilen der Nyquist Impulsform auf Sender und Empfänger in gleichem Mass: Root Raised Cosine Filter P.S. Übrige Filter im System tendenziell breitbandig halten  kaum ISI

Bitfehler-Wahrscheinlichkeit Bit Error Rate = BER Entscheidende Frage: Welche BER kann man für ein gegebenes S/N bekommen, wenn man alles richtig macht ? Standardabweichung Schwelle Signalwerte

Bitfehler-Wahrscheinlichkeit Unipolar (0/1) Eb = Es/2 (muss statistisch auf 2 Bit verteilt werden) Es = Symbolenergie Eb = Bitenergie (Energie/Bit) N0 = Rauschleistungsdichte (spektral einseitig) MF:

Bitfehler-Wahrscheinlichkeit bipolar (+1/-1) Es = Symbolenergie Eb = Bitenergie N0 = Rauschleistungsdichte (spektral einseitig) Eb = Es MF: Vergleich mit unipolar: Gleiche BER erreichbar für ¼ S/N, bzw. ½ Eb/N0

Bitfehler-Wahrscheinlichkeit

BER - Allgemeiner Fall Verwendete Symbole

The 100 $ Question Ist es besser unipolar mit 2 V Amplitude zu senden oder bipolar mit ±1 V Scheint wie bipolar zu sein Check:  Der Schein trügt: Ja es ist besser punkto BER bezogen auf Energie pro Bit Das Matched Filter liefert S/N = Ed/2N0 und Ed ~ Amplitude2 Nachteile: Keine Referenz für Entscheider bei Fading, Doppelter Leistungsverbrauch (4fach Peak Power) No free lunch !

Summary Ein Optimalfilter (Matched Filter) ist eine Art Mittelungsfilter Es maximiert das Signal zu Geräuschverhältnis des Empfangsignals Das Matched Filter minimiert die BER des Empfangsignals. Die BER Gleichungen gehen immer von der Annahme aus, dass ein Matched Filter verwendet wurde Seine Stossantwort ist die zeitlich gespiegelte Form des gesendeten Signals. Ist die Stossantwort symmetrisch, so kann dasselbe Filter für Empfänger und Sender benutzt werden Root raised cosine Filter ist ein solches Matched Filter, welches auch noch die Intersymbol Interferenz reduziert Integrate & Dump Filter sind nur für Rechtecksignale Matched Filter Weitere systembedingte Filter (Kanal) machen das Optimalfilter nicht ideal aber sind meist immer noch der beste Praxis Ansatz