Das Newton-Verfahren – Vorstellung Manchmal sind die Funktions-vorschriften zu kompliziert um Nullstellen ausrechnen zu können. Darum hat Sir Isaac Newton das nach ihm benannte Verfahren entwickelt. Mit diesem Verfahren kann man mit Hilfe von Tangenten in mehreren Schritten eine Nullstelle finden.
Zur Erinnerung - Tangenten Die Tangente einer Funktion f(x) im Punkt (x0;f(x0)) y x f(x) Hat die Steigung f ‘(x0) und die Gleichung: f(x0) x0 Sie nähert die Funktion in einer kleinen Umgebung von x0 gut an.
Wie funktioniert das Newton-Verfahren? Wenn die Tangente einer Funktion f(x) im Punkt (x0;f(x0)) die Funktion annährt, y x f(x) dann nähert natürlich auch die Tangentennullstelle x1 die Nullstelle x* von f(x) an. f(x0) x0 x* x1
Nun geht es weiter… x1 liegt näher an x* als x0 y f(x) daher zeichnen wir nun eine Tangente in (x1 ; f(x1)). Mit der neuen Tangentennullstelle haben wir x* schon fast erreicht… f(x0) x0 f(x1) x* x1
Nun noch ein bisschen Rechnerei… Nullstelle x1 der Tangentengleichung: Klammer ausmultilpizieren:
Nun noch ein bisschen Rechnerei… Nun nach x1 auflösen: Durch Division auf die andere Seite Durch Addition auf die andere Seite f‘(x0) × x1 - f‘(x0) × x0 + f(x0) = - Durch Subtraktion auf die andere Seite
Noch etwas vereinfachen… Bruch aufteilen kürzen f‘(x0) × x0 x0 - f(x0) x1 = f‘(x0) f‘(x0) fertig