5. Rotationsbewegung 5.1 Translation - Rotation Kapitel 5 Rotation

Translation Rotation Rotation Kapitel 5 Rotation

5. Rotationsbewegung 5.1 Translation – Rotation Eine Rotationsbewegung liegt vor, wenn sich ein starrer Körper relativ zu einem Inertialsystem um einen festen Punkt dreht. Im Folgenden wollen wir eine feste Drehachse annehmen. Beispiele: Schaukel, Karussell, Drehstuhl, ... Kapitel 5 Rotation

Der Drehwinkel (Winkelweg) Die Punkte des starren Körpers umlaufen die Achse umso schneller, je weiter sie von der Achse entfernt sind. Drehwinkel: Einheit: Radiant ist dimensionslos. In der Physik wird fast ausschließlich mit dem Bogenmaß gearbeitet. Kapitel 5 Rotation

Umrechnung Gradmaß Bogenmaß: Eine volle Umdrehung (360°) entspricht 2 π. Wiederhole die Formel zur Berechnung der Bogenlänge! φ ... Winkel im Bogenmaß α … Winkel im Gradmaß Daraus folgt: Gradmaß 30° 45° 57° 90° 180° 360° Bogenmaß 1 π 2π Kapitel 5 Rotation

Führe Aufgabe A 2 S. 77 (Basiswissen 5RG) aus! Sekundenzeiger: dreht sich in 1/2 h 30 mal. s = 30*15*2π = 900 π mm Minutenzeiger: min = 14* π mm Stundenzeiger: h = 12 * π /12 = mm Kapitel 5 Rotation

5.2 Winkelgeschwindigkeit, Winkelbe-schleunigung, Bahngeschwindigkeit  Einheit: Die Winkelgeschwindigkeit ist ein Vektor in Richtung der Drehachse. Seine Richtung wird mit Hilfe der Korkenzieherregel (Rechtsschraubenregel) bestimmt. Winkelgeschwindigkeitsvektor Kapitel 5 Rotation

Für eine gleichförmige Drehung gilt: ω = const. Für viele Anwendungen ist die Zeitdauer für eine Umdrehung wichtig. Periodendauer: T ( = Zeit für einen Umlauf) Umdrehungszahl: f ( = Frequenz) Kapitel 5 Rotation

5.2.2 Winkelbeschleunigung – ungleichförmige Rotation Wird eine Rotation schneller oder langsamer, ändert sich die Winkelgeschwindigkeit. Dies geben wir durch die Winkelbeschleunigung an. Winkelbeschleunigung = Einheit: Die Winkelbeschleunigung ist ebenso ein Vektor in Richtung der Drehachse. Kapitel 5 Rotation

5.2.3 Die Bahngeschwindigkeit  Die Geschwindigkeit ist ein Vektor. Vektorielles Produkt: v r r  v = x Beispiel: Berechne die Bahngeschwindigkeit der Erde am Äquator! Kapitel 5 Rotation

  v r r  v = x Winkelgeschwindigkeitsvektor Bahngeschwindigkeitsvektor   v r r  v = x Kapitel 5 Rotation

Kreuzprodukt Kapitel 5 Rotation

Um wie viel springt K2 höher? Versuch: Mit der Faust wird auf das Brett geschlagen. Dadurch werden die beiden Körper in die Höhe geschleudert. Um wie viel springt K2 höher? Vermutung: wegen v = r → doppelt so hoch. Richtig: Wegen der kinetischen Energie 4 mal so hoch. Kapitel 5 Rotation

5.3 Die Zentripetalkraft Versuch: Eine Gruppe von SchülerInnen stellt sich im Kreis auf und versucht ein Spielzeugauto auf einer Kreisbahn zu halten. Was ist dazu notwendig? Die Zentripetalkraft ist jene Kraft, die nötig ist, einen Körper auf einer Kreisbahn zu halten. Sie ist zum Zentrum hin gerichtet. Kapitel 5 Rotation

Kapitel 5 Rotation

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Zentripetalbeschleunigung v   v s r Kapitel 5 Rotation

Die Zentripetalkraft ergibt sich somit zu: Führe Rechenbeispiel A1 S. 81 (Basiswissen 5RG) aus! Ein Auto fährt durch eine Kurve, deren kleinster Krümmungsradius r = 15 m beträgt. Welche Zentripetalbeschleunigung muss auf das Auto wirken, wenn die Kurve mit 30, 60 und 120 km/h durchfahren werden soll? Welche Werte sind realistisch? Wird die Zentripetalbeschleunigung doppelt so groß, wenn die Geschwindigkeit auf das Doppelte erhöht wird? 1) 30 km/h 2) 60 km/h Nicht realistisch 3) 120 km/h Kapitel 5 Rotation

Straßenverkehr Ob eine Kurve noch durchfahren werden kann, kommt auf die Straßenverhältnisse, auf die Enge der Kurve (Kurvenradius) und auf die Geschwindigkeit des Fahrzeuges an. Dabei ist zu beachten, dass die Zentripetalkraft mit dem Quadrat der Geschwindigkeit wächst („Fahre v-denke v2")! Kapitel 5 Rotation

Indirekt proportional zu r v=const. Kapitel 5 Rotation

Direkt proportional zu r F=m2r =const. Kapitel 5 Rotation

Auto in der Kurve F=m2r Kapitel 5 Rotation

5.4 Die Zentrifugalkraft Ein Körper wird auf einer sich gleichmäßig rotierenden Scheibe von einer Federwaage festgehalten. Die Federwaage zeigt eine Kraft an. Kapitel 5 Rotation

Erklärung: 1. Beobachter im Inertialsystem (außerhalb der Scheibe): Der Körper ist relativ zur Scheibe in Ruhe, relativ zum Inertialsystem auf einer Kreisbahn mit der Geschwindigkeit v = ωr. Dazu ist die Zentripetalkraft notwendig. Sie wird von der Feder aufgebracht. 2. Beobachter auf der rotierenden Scheibe (kein Inertialsystem): Die Kugel ist trotz der wirkenden Federkraft in Ruhe. Es muss eine Kraft angreifen, die der Federkraft das Gleichgewicht hält. Sie ist nach außen gerichtet. Kapitel 5 Rotation

ruhend rotierend Zentripetalkraft Zentrifugalkraft Kapitel 5 Rotation Die Zentripetalkraft bewirkt die Kurvenfahrt. Zentripetalkraft ruhend Die Zentrifugalkraft drängt mich nach außen. Zentrifugalkraft rotierend Kapitel 5 Rotation

Beispiele zur Zentrifugalkraft: Zentrifuge, Wäscheschleuder Die Zentrifugalkraft ist eine Trägheitskraft, die nur in rotierenden Systemen auftritt. Trägheitskräfte werden eingeführt, um die Newtonsche Mechanik auch auf Nicht‑Inertialsysteme anwenden zu können. Beachte: Die Zentrifugalkraft ist nicht die Gegenkraft zur Zentripetralkraft. Beispiele zur Zentrifugalkraft: Zentrifuge, Wäscheschleuder Fliehkraftregeler (z. B. in Dampfmaschinen, Kupplungen, ...) Abplattung der Erde (Modell zeigen) Versuch: Prinzip der Flex (Winkelschleifer) Pappscheibe in Bohrmaschine einspannen und in schnelle Rotation versetzen. → Sie ist in der Lage Holz zu durchtrennen Erklärung: Durch die Zentrifugalkraft streben alle Teilchen nach außen. Dadurch erfährt die Scheibe eine große Verbiegungsfestigkeit. Kapitel 5 Rotation

Fliehkraftregler Fliehkraftregler Kapitel 5 Rotation

Geoid Geoid a=6378km, b=6357km Geoid mit überhöhten Abweichungen. Schwarze Linie = Greenwich-Meridian Kapitel 5 Rotation

Fliehkraftversuche m12r1 = m22r2 m1r1 = m2r2 m1 : m2 = r2 : r1 Kapitel 5 Rotation

Kugelschwebe Kapitel 5 Rotation Ende

Übungsaufgaben zu Rotation Rotation: Zentrifugalkraft 1. In zukünftigen Weltraumstationen will man das irdische Schwerefeld simulieren. Aus diesem Grund plant man, den Stationen die Form von riesigen, hohlen Rädern zu geben. Die Wohnräume sollen sich am Außenrand des Rades (Radius r=100m ) befinden. a) Mit welcher Winkelgeschwindigkeit muss das Rad umlaufen, um außen das irdische Schwerefeld (g=10ms-2) vorzutäuschen? /(0,3s-1) b) Wie lange benötigt die Station für eine Drehung? (21s) c) Welche Geschwindigkeit (aufgrund der Rotation) hat jeder Körper in den Wohnräumen? (32ms-1) 2. Beim Schispringen wird der Athlet (m=80kg) durch die Krümmung vor dem Schanzentisch in die Anlaufspur gedrückt. a) Berechne diese zusätzliche Kraft: Die Krümmung ist kreisförmig mit einem Krümmungsradius von 70m, die Geschwindigkeit des Springers ist 90km/h. (710N) b) Laut internationaler Regel darf die zusätzliche Beschleunigung durch Krümmungen die Erdbeschleunigung g nicht überschreiten. Wie groß muß der Krümmungsradius zwischen Aufsprung und Auslauf mindestens sein, um diese Forderung zu erfüllen, wenn der Springer eine Maximalgeschwindigkeit von 105km/h erreichen kann? (87m) Kapitel 5 Rotation

5.5 Rotationsenergie - Trägheitsmoment Die Translationsenergie beträgt: Die Massenpunkte haben jeweils andere , ... ………. Weil Kapitel 5 Rotation

Rotationsenergie Das Trägheitsmoment hängt von der Masse des Körpers und vom Abstand der Masse vom Drehzentrum ab. Das Trägheitsmoment spielt bei der Rotationsbewegung dieselbe Rolle wie die Masse bei der Translationsbewegung. Das Trägheitsmoment ist für unregelmäßige Körper schwierig zu bestimmen. Für regelmäßige Körper gibt es Berechnungsformeln (mit Integralrechnung 8. Klasse) Kapitel 5 Rotation

Vollzylinder (mit Drehachse = Körperachse): Kugel: Versuch: Ein Hohl- und ein Vollzylinder mit gleicher Masse rollen eine schiefe Ebene hinunter. Welcher der beiden ist zuerst unten? Ergebnis: Der Vollzylinder. Ansatz: Hohlzylinder: Vollzylinder: Im Hohlzylinder steckt mehr Rotationsenergie. Kapitel 5 Rotation

Beispiele, wo sich das Trägheitsmoment auswirkt: Schwungräder (bei Dampfmaschine, Automotoren, ...) Autoreifen auswuchten (Schwerpunkt muss in der Drehachse liegen, sonst unruhiger Lauf). Kapitel 5 Rotation

5.6 Der Drehimpuls Analog zum Impuls bei der Translation wollen wir den Drehimpuls festlegen.  L Translation: Impuls p = mv Rotation: Drehimpuls: 5.6.1 Der Drehimpulssatz im abgeschlossenen System Translation: = konstant Rotation: Gesamtdrehimpuls: Im abgeschlossenen System bleibt der Drehimpuls erhalten. Anhand von Versuchen soll der Drehimpulssatz überprüft werden. Kapitel 5 Rotation

Drehimpulsvektor  L  L = I · Kapitel 5 Rotation

Drehschemelversuch Kapitel 5 Rotation

Nun zieht die VP die Gewichte ganz nahe an sich. Versuch 1: Versuchsperson sitzt auf Drehschemel und bekommt in beide Hände ein Gewicht. Die Versuchsperson wird bei gestreckten Armen (Gewichte außen) in Rotation versetzt. Nun zieht die VP die Gewichte ganz nahe an sich. → VP rotiert schneller. Mit gestreckten Armen: Mit angezogenen Armen: aus Man könnte auch mit Kräften argumentieren: Durch das Hereinziehen tritt eine zusätzliche Kraft auf (Kräftezerlegung), die eine Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit bewirkt. Kapitel 5 Rotation

 Die VP mit dem Schemel dreht sich im Uhrzeigersinn. Versuch 2: Die Versuchsperson sitzt auf dem Drehschemel und hält ein Rad mit Drehachse parallel zur Schemelachse. Beide sind in Ruhe. Gesamtdrehimpuls: Die VP beginnt das Rad von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn zu drehen.  Die VP mit dem Schemel dreht sich im Uhrzeigersinn. Bremst die VP das Rad wieder ab, kommen VP und Rad zur Ruhe. Kapitel 5 Rotation

 Die VP mit dem Schemel dreht sich nicht. Versuch 3 Die Versuchsperson sitzt auf dem Drehschemel in Ruhe. Sie bekommt ein rotierendes Rad mit Drehachse parallel zur Schemelachse. Gesamtdrehimpuls:  Die VP mit dem Schemel dreht sich nicht. Nun bremst die Versuchsperson ab. Kapitel 5 Rotation

Zusatzversuch: VP bekommt wieder das rotierende Rad. Gesamtdrehimpuls: Nun dreht die VP die Achse des rotierenden Rades um 180°. Kapitel 5 Rotation

Gesamtdrehimpuls am Beginn: Gesamtdrehimpuls nach Drehen der Radachse um 180°: Die Versuchsperson dreht sich in die ursprüngliche Richtung des Rades (vor Drehen) aber mit höherer Geschwindigkeit als im Abbremsversuch. Kapitel 5 Rotation

In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtdrehimpuls nach Betrag und Richtung konstant. Kapitel 5 Rotation

Kapitel 5 Rotation

5.6.2.1 Gleichgewichtsbedingung 5.6.2 Das Drehmoment 5.6.2.1 Gleichgewichtsbedingung Der Hebel ┴ Wir heben die Last F1. Dazu üben wir eine Kraft F2 längs b2 aus. Arbeit: W1 = W2 Hebelgesetz: F1 b1 = F2 b2 Kraft x Kraftarm = Last x Lastarm Das Produkt r·F wird als Drehmoment bezeichnet. Gleichgewichtsbedingung am Hebel: Wenn die Summe der Drehmomente 0 ist. Kapitel 5 Rotation

Wir haben vorausgesetzt. ┴ Es kommt aber auch auf den Winkel zwischen r und F an. Die Einheit des Drehmoments ist 1 Nm. Definition des Drehmoments als Vektor: vektorielles Produkt M ist ein Vektor in Richtung der Drehachse (Rechtsschraubenregel) M = 0 wenn r║ F M = max wenn r ┴ F Ein Drehmoment bewirkt eine Beschleunigung oder Verzögerung einer Drehbewegung. Kapitel 5 Rotation

5.6.3 Bewegungsgleichung für die Rotation Analog zu F = m·a setzen wir: wobei: M .... Drehmoment; I ... Trägheitsmoment; α... Winkelbeschleunigung M = I·α Ursache für eine beschleunigte Rotationsbewegung ist ein Drehmoment. Kapitel 5 Rotation

5.6.4 Drehimpulssatz im nicht abgeschlossenen System Versuch: Rad einseitig aufhängen und in Rotation versetzen. M F L L Ergebnis: Durch das zusätzliche Drehmoment wird der Drehimpuls verändert. Kapitel 5 Rotation

Regel vom gleichsinnigen Parallelismus. Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem gesamten von außen angreifenden Drehmoment. Der Drehimpulsvektor sucht sich zum angreifenden Drehmoment gleichsinnig parallel einzustellen. Regel vom gleichsinnigen Parallelismus. Die Achse kippt also nicht, sondern weicht senkrecht dazu aus. Kapitel 5 Rotation

Beispiel: Kurve mit dem Fahrrad fahren. Kippt man das Fahrrad nach links, entsteht ein Drehmoment, welches eine Richtungsänderung der Radachse nach links hervorruft. Kapitel 5 Rotation

Präzession der Erde Auf der sonnenzuge-wandten Seite ist die Gravitationskraft größer, auf der abgewandten Seite die Zentrifugalkraft. Die resultierenden Kräfte rufen ein Drehmoment hervor. Erde kippt nicht, sondern weicht senkrecht dazu aus. Präzessionskegel. Diese Präzession dauert 26000 Jahre und hat zur Folge, dass in 13000 Jahren die Wega im Norden steht und nicht mehr der Polarstern. Kapitel 5 Rotation

5.7 Analogien Translation-Rotation Erstelle eine Tabelle ähnlich wie im Buch auf Seite 93! Füge zusätzlich noch die Einheiten dazu! Translation Rotation Größe Formel Einheit Weg m Winkelweg rad Geschwindigkeit Winkel- geschwin-digkeit Kapitel 5 Rotation

Translation Rotation Ende Zeit Weg Geschwindigkeit Beschleunigung Masse Impuls Impulssatz n.abg.S. Kinetische Energie Bewegungsgleichung Rotation t Zeit t Drehwinkel Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung m Trägheitsmoment I=m·r2 Drehimpuls Drehimpulss.n.abg.S. Rotationsenergie Kapitel 5 Rotation Bewegungsgleichung Ende

Frisbee Frisbee Kapitel 5 Rotation

Kreiselachse einseitig aufgehängt F=m·g M L schräggestellter Kreisel Kapitel 5 Rotation