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31 Rückblick §3.2 Bsp.: Rotierende Bezugssysteme O=O‘
Der Beobachter im rotierenden System O‘ beschreibt A: Rückblick §3.2 Für den Beobachter im ruhenden System O ändern sich auch die Einheitsvektoren des Rotienrenden Systems. Gaub WS 2014/15

32 Die Endpunkte der Einheitsvektoren im rotierenden System beschreiben Kreisbahnen:
Rückblick §3.2 Geschwindigkeit im ruhenden System Geschwindigkeit im rotierenden System Gaub WS 2014/15

33 Die Euler‘schen Gleichungen
Im Allgemeinen sind w und L nicht colinear => Bewegung komplex! R: Raumfestes System K: Körperfestes Hauptachsen- System (rotiert mit w) siehe Kapitel 3 ausgeschrieben für Achse a: Keltisches Wackelholz Bürostuhl und Motorradfelge mit Hanteln Film Astronauten  Euler‘sche Gleichungen:

34 Der kräftefreie symmetrische Kreisel
Kreisel ohne äußeres Drehmoment => L= const. Bsp.: Fahrradkreisel Ist der Körper rotationssymmetrisch bzgl. einer Achse c, so heißt sie Figurenachse. Dann ist Motorradfelge Bei Rotation um die Figurenachse ist Gaub WS 2014/15

35 Der kräftefreie symmetrische Kreisel
zu unterscheidende Achsen: Drehimpulsachse (raumfest) momentane Drehachse (nicht raumfest) Figurenachse (nur raumfest wenn identisch mit Drehimpulsachse)

36 Der kräftefreie symmetrische Kreisel
Drehimpulserhalt. => Energieerhaltung =>  Die Gleichungen stellen eine Kugel und einen (um rotierenden) Ellipsoiden dar. Beide Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein! => Die Spitze von L wandert auf der Schnittlinie beider Figuren Da Trägheitsellipsoid körperfest und L raumfest wandert Figurenachse c im raumfesten System => Nutation Sichtbarkeit der momentanen Drehachse =>

37  Der kräftefreie symmetrische Kreisel Ansatz: a b w Sei Ia=Ib
Da gilt (Euler): Nutationsfrequenz:  Zerlegt man und w Winkel zwischen Figuren- und Drehimpulsachse: Kegelmodell Winkel zwischen Figuren- und moment. Drehsachse: Die Figurenachse wandert auf dem Nutationskegel mit Öffnungswinkel 2α, die momentane Drehachse ω auf dem Rastpolkegel mit Öffnungswinkel 2(b-a) um die raumfeste Drehimpulsachse L.

38 Der kräftefreie symmetrische Kreisel
Die Bewegung von Figuren- momentaner Drehachse lässt sich mit dem Gangpolkegel veranschaulichen: Gaub WS 2014/15

39 Präzession des symmetrischen Kreisels
Auf einen symmetrischen Kreisel, der sich um seine Figurenachse dreht ( ω||L||r ) und der außerhalb seines Schwerpunkts unterstützt wird, wirkt das Drehmoment: Daraus resultiert: => nur die Richtung von L ändert sich: Präzessionsfrequenz: Ist die Kreiselachse um den Winkel α gegen die Vertikale geneigt, so ist: Profikreisel Kinderkreisel? Änder, absinken um teta => Pot Energie= Kin Energie der Präzesion => wp unabhängig von der räumlichen Orientierung der Kreiselachse, nur bestimmt durch L und D

40 Präzession des symmetrischen Kreisels
Ist ωp nicht mehr klein gegen ω, geht auch die Winkelgeschwindigkeit der Figurenachse mit in die Präzession ein: Zerlegung von w bezgl. Figurenachse

41 mit: Präzession des symmetrischen Kreisels
Mit der Annahme, dass der Kreisel nicht „umkippt“ ( θ = const. ) und dass ω = const. gilt: mit: Gaub WS 2014/15

42 Präzession des symmetrischen Kreisels
Einheitsvektor in Richtung des Drehmoments mit Mathematica: Gaub WS 2014/15

43 Überlagerung von Präzession und Nutation
Rotiert der Kreisel nicht um eine Symmetrieachse, tritt auch noch Nutation auf: Die genaue Form der Bahn hängt von der Nutations- und der Präzessionsfrequenz ab. Gaub WS 2014/15

44 Überlagerung von Präzession und Nutation
Demonstration der Überlagerung: der Kardankreisel Gaub WS 2014/15

45 Drehmoment durch Sonne und Mond
Die Erde als Kreisel Präzession der Erdrotationsachse mit 1/w = Jahre (Platonisches Jahr) Drehmoment durch Sonne und Mond Mehr zum Kreisel Erde: