Landkarten Landkarten sind Tesselationen mit folgenden Eigenschaften: a) jede Masche ist der geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent b) die Aggregation aller inneren Maschen ist der geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent Beachte: zu jeder Landkarte gehört eine unbeschränkte Masche „Außen“ - die einzige Masche, die nicht der geschlossenen Kreis-scheibe äquivalent ist

Datenstrukturen für Landkarten Nachbarschaften

Spaghetti A: 2.0 0.0 5.0 1.0 7.0 3.0 5.0 4.0 1.0 1.0 B: 5.0 4.0 7.0 3.0 7.0 6.0 5.0 6.0 C: 5.0 4.0 5.0 7.0 0.0 3.0 (5.0 4.0) (5.0 1.0) (2.0 0.0) (7.0 3.0) (1.0 1.0) (7.0 6.0) (5.0 6.0) (5.0 7.0) (0.0 3.0) A B C

UML-Diagramm für die Spaghetti-Struktur

UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkten Masche 1..1 n {geordnet} Punkt

Typischer Fehlerfall für Spaghetti: Änderung der Koordinaten eines gemeinsamen Punktes vorher nachher

Punktobjekte ohne Redundanz Flächen: A: P1 P2 P3 P4 P5 B: P4 P3 P6 P7 C: P4 P7 P8 P9 P5 P8 P7 P6 B C Punkte: P4 P1 2.0 0.0 P2 5.0 1.0 P3 7.0 3.0 P4 5.0 4.0 P5 1.0 1.0 P6 7.0 6.0 ............................. P9 P3 A P5 P2 P1

UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkt-Objekten Masche Punkt n 1..n {geordnet} Beachte: Redundanzfreiheit kann durch dies UML-Diagramm nicht erzwungen werden.

UML-Diagramm für die Knoten- und Kantenstruktur Masche 2 begrenzt UML-Diagramm für die Knoten- und Kantenstruktur Topologie explizit Redundanzfreiheit wird erzwungen 3..* Kante 2 2..* begrenzt neu Knoten Punkt 1 Geometrie

Knoten-Maschen-Struktur Kante End- knoten linke Masche Anfangs- knoten P1 E6 E11 P2 P3 P6 P7 P8 P9 A B C P5 P4 E1 E2 E3 E4 E5 E7 E8 E9 E10 Außen rechte Masche E1 P1 P2 A Außen E2 P2 P3 A Außen E3 P3 P4 A B E4 P4 P5 A C E5 P5 P1 A Außen E6 P3 P6 B Außen .............................................. Kanten: Knoten: P1 2.0 0.0 P2 5.0 1.0 ..............................................

Vor- und Nachteile der Knoten- und Kanten-Struktur Vorteile: Geometrie ist redundanzfrei Topologie ist explizit bei Änderungen können Fehler leichter vermieden werden Nachteil der Kantenumring ist nicht direkt gegeben, sondern muß berechnet werden Lösung: Kanten mit Flügeln

Kanten mit Flügeln

Geflügelte Kanten Kanten: Außen B C A P8 E9 E7 P7 P6 E10 E8 E6 Wie bei Knoten-Kanten- Struktur Geflügelte Kanten Nachfolger im Umring der rechten Masche P1 P8 P2 P3 P6 P7 P9 A B C P5 P4 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 Außen Vorgänger im Umring der linken Masche E1 P1 P2 A Außen E5 E2 E2 P2 P3 A Außen E1 E6 E3 P3 P4 A B E2 E8 E4 P4 P5 A C E3 E11 E5 P5 P1 A Außen E4 E1 E6 P3 P6 B Außen E3 E7 ..................................................... Kanten:

Euler-Charakteristik Die Euler-Formel Für jede Landkarte mit f Maschen (face) e Kanten (edge) v Knoten (vertex) gilt: f - e + v = 2 Euler-Charakteristik: Landkarte: 2 Landkarte mit n Kontinenten: n + 1 Landkarte mit n Inseln und m Kontinenten: n + m + 1 beachte: Außen zählt als eigene Masche! Euler-Charakteristik

Topologische Fehler (I) Fehlender Knoten Zwei Referenzpunkte (Namen) Overshoot Fehlender Referenz- punkt (Name) Undershoot

Topologische Fehler (II) Überlappung zweier Maschen ohne Überschneidung von Kanten

Integritätsbedingungen für Landkarten (I) falsch richtig 1. Schnittfreiheit der Kanten 2. Jede Kante hat zwei Maschen auf verschiedenen Seiten 3. Jede Masche wird von einem einfachen Zyklus begrenzt 4. Kein Mittelpunkt einer Kante liegt in einer Masche

Integritätsbedingungen für Landkarten (II) falsch richtig 1. Schnittfreiheit der Kanten 2. Jede Kante hat zwei Maschen auf verschiedenen Seiten 3. Jede Masche wird von einem einfachen Zyklus begrenzt 4. Es gibt genau eine unbeschränkte Masche

Zusammenfassung „Geometrisch-Topologische Datenstrukturen“ Spaghetti mit Koordinaten: redundante Geometrie Spaghetti mit Punkten: redundante Geometrie Spaghetti mit Punkten als Objekten: redundanzfreie Geometrie Knoten-Kanten-Struktur: redundanzfreie Geometrie, explizite Topologie, Maschenumring muß berechnet werden geflügelte Kanten: redundanzfreie Geometrie, explizite Topologie, Maschenumring leicht zu berechnen

Aus Landkarten abgeleitete Strukturen quadratische Maschen gleicher Größe: Raster, Grid kompakte Speicherung homogene Informationsdichte Maschen sind Dreiecke Triangulation gut zur Modellierung des Geländes Verallgemeinerung Simplizes Simpliziale Komplexe

Simplizes Ein 0-Simplex ist ein Punkt Ein 1-Simplex ist eine gerade Kante Ein 2-Simplex ist ein Dreieck (Inneres + 3 Kanten + 3 Knoten) Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder

Beachte: Das Schwierige an den Simplexen ... ... ist der Plural

Teilsimplizes Ein Knoten ist Teilsimplex einer Kante Eine Kante ist Teilsimplex eines Dreiecks Ein Dreieck ist Teilsimplex eines Tetraeders Der Teilsimplex T eines Simplex S ist ein Simplex, dessen Knoten alle in S vorkommen. Der Rand eines Simplex ist die Menge aller Teilsimplizes. Rand eines Dreiecks

Simpliziale Komplexe falsch: Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften: jeder Teilsimplex in C ist ebenfalls in C der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder in C falsch:

Simpliziale Komplexe Korrektur: Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften: jeder Teilsimplex in C ist ebenfalls in C der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder in C Korrektur:

Simpliziale Komplexe Korrektur: Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften: jeder Teilsimplex in C ist ebenfalls in C der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder in C Korrektur:

Anwendungen Geländemodell Computergraphik Eisberge ...

Resümee Landkarten Simpliziale Komplexe Gemeinsamkeiten beliebige Polygone Simpliziale Komplexe Dreiecke auch 3D Gemeinsamkeiten Konstruktion des Raumes durch Aggregation atomarer Primitive „algebraische“ oder „kombinatorische“ Topologie zurück zur „Punktmengentopologie“